§ 40. Равновесия в жидких средах

К числу мало изученных относится значительный цикл задач гидродинамики и механики твердого тела, связанных с проблемой устойчивости в жидких средах. Здесь мы рассмотрим несколько примеров таких задач.

Ртуть над водой. Начнем с простейшего явления. Представим себе, что в сосуде, наполненном водой, над поверхностью воды расположен тонкий слой ртути

(рис. 139). Если поверхности воды и ртути — идеальные плоскости, то ртуть будет в равновесии, однако очевидно, что это равновесие неустойчиво. Ставится вопрос о механизме проникания ртути через воду на дно.

Физически описанное явление можно реализовать еще так: на дно закрытого стакана налить ртуть, а сверху нее — воду. Это равновесие устойчиво, но оно потеряет устойчивость, если сообщить стакану ускоренное движение вниз, с ускорением в 2—5 раз больше

Рис. 139.

Механизм этого явления был осознан несколько лет тому назад за рубежом и у нас.

Приведем качественный ответ на поставленный вопрос и его принципиальное обоснование.

Займемся сначала более простой моделью, когда толщина слоя ртути равна или больше диаметра стакана. Здесь довольно очевидно, что если вследствие случайной асимметрии в каком-то месте нижней поверхности ртути появится бугорок, то этот бугорок будет расти и он образует в воде воронку, по которой вся ртуть стечет вниз. Последовательные положения ртути и воды в этой постановке можно построить графоаналитическим методом.

В основной постановке, когда толщина слоя ртути мала сравнительно с диаметром стакана, процесс потери устойчивости и проливания ртути вниз может начаться в любой точке поверхности воды. Но влияние этого процесса будет затухать по мере удаления от места слива по закону

где V — скорость жидкости в некоторой точке, скорость в зоне начала процесса, толщина слоя ртути и расстояние рассматриваемой точки от точки слива (см. § 12).

Таким образом, части ртути, расположенные от точки начавшегося слива на расстоянии более нескольких

толщин слоя ртути, будут мало реагировать на начало процесса. Для этих частей найдется более близкий бугорок, где организуется новый слив.

Поэтому при малой толщине слоя ртути ртуть устремится вниз по многим струйкам, расположенным друг от друга на расстоянии порядка (рис. 139).

В эту модель укладывается одно любопытное явление, наблюдаемое при определенных условиях при подводном взрыве. После взрыва под водой над гладкой поверхностью воды появляется группа фонтанчиков, расположенных друг от друга на одинаковых расстояниях. Дело в том, что когда ударная волна в воде подходит к поверхности, то при разгрузке слой воды стремится оторваться от основной массы. Если при этом потенциальная энергия сжатия не достаточна для того, чтобы оторвать слой жидкости от ее основной массы, то мы окажемся в условиях, сходных с условиями ртути на воде, — вместо отрыва получается система фонтанчиков.

Аналогичное явление можно наблюдать и в металле, когда ударная волна подходит к его свободной поверхности. Будет или не будет иметь место описанное явление, зависит от ряда факторов — длины ударной волны, кривизны фронта, прочности на разрыв среды и др.

Для количественного исследования описанного здесь явления можно поставить следующую задачу. Пусть слой идеальной несжимаемой жидкости имеет ускорение а, направленное вертикально вверх. Пусть, далее, верхняя поверхность слоя в момент получает малое возмущение которое дальше меняется по закону

Требуется найти дальнейшее движение свободной поверхности.

Если толщина слоя h мала по сравнению с длиной волны возмущения, то уравнения движения можно заменить приближенными точно так, как это сделано в гл. I для задачи о мелкой воде. Различие будет лишь в том, что ускорение силы тяжести во всех соотношениях заменится на —а (в рассматриваемой здесь задаче ускорение направлено вверх). В частности, для

свободной поверхности жидкости получится уравнение

Подставляя в него выражение (2), найдем

откуда

где постоянные. Начальные условия для Т имеют вид откуда следует, что Поэтому амплитуда колебаний (2) неограниченно возрастает и движение оказывается неустойчивым.

В нашем приближении неустойчивы возмущения любой длины волны В действительности же очень мелкие волны должны затухать вследствие действия сил поверхностного натяжения, и неустойчивыми являются только гармоники, длина волн которых превышает некоторую критическую величину Эту величину и следует считать характерным расстоянием между фонтанчиками в рассмотренных здесь явлениях; расчеты [6] дают для нее приближенную формулу

где а — коэффициент поверхностного натяжения, плотность жидкости.

Образование волн. Проблеме образования ветровых волн посвящено огромное количество статей, обзоров и монографий. Каков механизм образования волн при заданном ветровом режиме, существует ли обратная связь, т. е. влияют ли в свою очередь волны на ветровой режим? Эти и многие другие вопросы не решены до сих пор, хотя качественная картина была ясна уже давно.

Свободная поверхность воды, при наличии над ней воздушного потока, неустойчива: при малых случайных колебаниях давление во впадинах по закону Бернулли больше, чем на выступах, поэтому каждое волновое движение под действием ветра должно прогрессировать. Этот результат легко получить и аналитически (см

например, Ландау и Лифшиц [2]). Если обозначить через V скорость ветра, плотность воды, плотность воздуха, X — длина волны, то рост амплитуды волны определяется множителем где

С другой стороны, если высота волны становится порядка своей длины, то гребень волны срывается ветром и преимущества роста приобретают волны большей длины. В этих условиях по истечении достаточно большого времени должен наступить установившийся режим. Можно показать, что для этого скорость ветра должна быть вдвое больше скорости волн.

В самом деле, естественно предположить, что здесь (как в задаче обтекания траншеи из § 22) между каждыми двумя соседними горбами волны имеется зона вихревого движения (рис. 140). Перейдем к системе координат, связанной с волной. В этой системе скорость течения жидкости равна скорости движения волны и направлена в отрицательную сторону. В силу непрерывности поля скоростей на границе вихревой зоны скорость ветра тоже должна быть равной С, но направлена в положительную сторону. Переходя снова к неподвижной системе координат, получаем доказательство высказанного утверждения.

Рис. 140.

Наряду с теоретическими работами проводилось много наблюдений ветровых волн в натурных условиях. Лет 20 назад в Крыму был построен специальный «штормовой бассейн» с вертикальными круговыми цилиндрическими стенками. Над свободной поверхностью там расположено несколько мощных компрессоров, которые способны создавать ветер в большом диапазоне скоростей. Волны в этом штормовом бассейне действительно образуются, но их характер существенно отличен от нормальных ветровых волн, при образовании

которых ветер имеет достаточно стабильную направленность. В кольцевом бассейне образовавшиеся волны, имея определенную направленность в зоне зарождения, очень быстро переходят в колебания воды в направлении оси бассейна — создаются группы стоячих волн.

Очень интересно наблюдать, но трудно рассчитать явления, которые связаны с кольцевыми волнами. Отметим одно из них — если каким-либо образом, например, шнуровым зарядом ВВ, имеющим форму окружности, создать кольцевую волну (кольцевую выпуклость или кольцевую яму), то в стороны от центра кольца волны будут распространяться с обычным законом затухания. Но в сторону центра длина волны будет меняться медленно, и не будет обычного расщепления волны на более мелкие. В соответствии с этим высота волны при приближении к центру будет нарастать и даст всплеск по высоте, в несколько раз превышающей начальную высоту волны.

Устойчивость струй. В круге идей, рассмотренных выше, имеется большая группа задач по устойчивости жидких струй. Классической является проблема устойчивости водяной струи в воздухе. В частности, если заданы выходная скорость и диаметр струи, то какой высоты можно достигнуть струей? Какого расстояния можно достигнуть струей?

В этих постановках воду можно рассматривать как идеальную жидкость. При скорости струи, близкой к скорости звука в воздухе, естественно, будет существенным фактор сжимаемости воздуха. До сих пор до конца не решена проблема затопленной струи — водяной струи, движущейся в воде; в этом случае существенным фактором является вязкость, а при значительных скоростях — турбулентность.

Сюда же относится весьма интересная как принципиально, так и с точки зрения приложений проблема устойчивости жидкого стержня при одновременном растяжении и закручивании. Пусть дана осесимметричная трубка из мягкого железа или меди, осевое сечение которой имеет синусоидальный характер; диаметр трубки 10—15 мм, толщина стенки 1-1,5 мм.

Опишем, как можно изготовлять такие трубки. Вытачивается матрица, внутренняя поверхность которой

совпадает с внешней поверхностью будущей трубки. В матрицу вставляется цилиндрическая трубка, которая герметически закрыта с одного конца, а с другого конца матрицу нужно завинтить крышкой с небольшим отверстием по оси (рис. 141). В это отверстие под большим давлением нагнетается вода, в результате чего внешняя поверхность вставленной трубки вплотную подходит к матрице.

Рис. 141.

При таком способе отштампованная трубка будет иметь переменную толщину стенок; чтобы избежать этого, вставляемый в матрицу цилиндр следует предварительно немного выточить снаружи в нужных местах.

Рассматривается два случая: когда трубка пустая и когда она заполнена водой. В каждом случае трубка растягивается в направлении своей оси и, кроме того, при постоянном растяжении она. еще закручивается, причем скорость закручивания меняется. Требуется выяснить, в каких случаях волны на поверхности трубки будут сглаживаться (устойчивость) и в каких они будут нарастать (неустойчивость).

Качественно довольно ясно, что при простом растяжении (или растяжении с достаточно малым закручиванием) мы получим устойчивый процесс — волны на поверхности трубки будут сглаживаться. В самом деле, растягивающая сила будет увеличивать диаметр сечений трубок в шейках и уменьшать диаметр сечений в пучностях.

Все изменится, если наряду с растяжением трубка достаточно сильно закручивается. Волокна трубки, расположенные в ее осевом сечении, превратятся в спирали, а растяжение будет сжимать эти спирали, особенно сильно в узких местах, соответствующих шейкам

трубки. Это приведет к дальнейшему сжатию шеек, и процесс будет неустойчивым.

Очень желательно построить количественную модель описанного явления. Предварительно следует выяснить статическую и динамическую устойчивость стержней и трубок (упругих и с пластичностью) при чистом закручивании. При этом нужно рассмотреть два случая: а) расстояние между торцами трубки или стержня не меняется, б) действуют только крутящие силы.

Взрыв в воде. Здесь будут описаны три явления, наблюдаемых при взрыве в воде. Для них не построено количественных теорий и даже качественно еще не все в них ясно.

1) Выше говорилось о том, что если цилиндрическую трубку, заделанную с обеих концов, опустить вертикально в воду и под ней произвести взрыв, то трубка обожмется по законам потери динамической устойчивости — сечение трубки примет волновой характер, причем частота волн будет убывать по мере удаления от нижнего конца. Это явление мы объяснили простой приближенной схемой.

Рис. 142.

Однако в этом эксперименте обнаруживается еще одно интересное явление, которое не укладывается в простейшую схему, - обжатая трубка (см. рис. 138) имеет вид туго заплетенной косы! Как объяснить это явление?

2) Возьмем сферическую оболочку из упругого материала (например, надутый воздухом мяч) и погрузим ее в резервуар с водой, в котором можно создавать большие давления (рис. 142). Считая, что материал становится пластичным за пределами упругости, найти по его характеристикам: а) критическое давление, при котором происходит потеря упругости, б) форму сферической оболочки после того, как она потеряет устойчивость, в) форму потери устойчивости в случае, если давление в воде мгновенно превысит в раз критическое.

Словом, задача состоит в том, чтобы перенести на случай сферической оболочки схемы статической и динамической неустойчивости, которые выше рассматривались для случая стержней (в связи с этим см. [8]).

3) В одной из стенок толстостенного бака имеется круглое отверстие, в которое можно вставлять тонкие мембраны различной толщины и из разных материалов (железо, медь, свинец и др.). В центре бака, против закрытого мембраной отверстия, производятся взрывы различной мощности, причем после каждого взрыва прогнутая мембрана заменяется новой (рис. 143).

Рис. 143.

В одной серии опытов был обнаружен следующий парадоксальный эффект. При увеличении заряда прогиб мембраны увеличивался до определенной величины, а при дальнейшем увеличении заряда прогиб еще увеличился, но изменил направление — мембрана оказывалась прогнутой навстречу взрыву!

Качественно явление можно объяснить так. При потере устойчивости под действием взрыва на мембрану (как и на стержень, случай которого был рассмотрен в начале главы) действует сила F не только переменной величины, но и переменного направления. Когда F направлена во внешность бака, она дает прогиб вовне, а когда внутрь, то и мембрана прогибается вовнутрь. Для построения схемы этого явления нужно прежде всего изучить вопросы потери устойчивости круговых мембран, закрепленных на краю.

Литература

(см. скан)