§ 24. Пространственные движения

Трудности пространственного случая. Основным математическим аппаратом решения плоских задач и задач с осевой симметрией является теория конформных и квазиконформных отображений. К великому сожалению, в пространстве конформные отображения составляют очень узкий класс (согласно классической теореме Лиувилля они сводятся к сдвигу, растяжению с поворотом и инверсиям относительно сфер), а квазиконформные — хотя их запас и достаточно велик — еще сравнительно мало изучены.

Мы ограничимся установившимися движениями идеальной несжимаемой жидкости. Если, как и раньше, предположить еще, что движение — безвихревое и без источников в области течения, то по-прежнему будет существовать потенциал скоростей гармоническая функция трех переменных:

Гармонические функции в пространстве хорошо изучены и обладают многими свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций двух переменных. Однако в пространстве нет понятия сопряженности гармонических функций, которое связывало бы потенциал с функцией тока, как на плоскости. Хотелось бы наряду с потенциалом скоростей иметь еще две функции — гармонические или удовлетворяющие другим простым уравнениям, такие, что поверхности уровня пересекаются по линиям тока течения, причем три семейства поверхностей взаимно ортогональны. К сожалению, таких функций тока построить в общем случае не удается.

Поэтому задачи обтекания нельзя по аналогии с плоским случаем сводить к отображению области течения на область в «пространстве потенциала» Условие обтекания приходится формулировать лишь в терминах одной функции как условие ортогональности вектора с нормалью к обтекаемой поверхности:

где единичный вектор нормали, а производная в направлении нормали. Если область течения содержит бесконечную точку, то требуют еще существования предела габф при скорости на бесконечности и считают этот вектор заданным.

В теории уравнений с частными производными доказывается, что для областей с достаточно гладкой границей гармоническая в функция удовлетворяющая граничному условию (2) и сформулированному выше условию на бесконечности, если содержит

бесконечную точку, всегда существует и определяется с точностью до действительной постоянной. Для некоторых задач область течения содержит бесконечность не внутри, а на границе, и тогда задание условий на бесконечности несколько усложняется — об этом мы будем говорить ниже.

Только очень немногие пространственные задачи решаются до конца в элементарных или специальных функциях. Поэтому классические методы почти ничего не дают для решения таких задач и пространственная гидродинамика осталась еще очень мало разработанной. Между тем, именно в этой области можно надеяться на существенные продвижения, если широко пользоваться, с одной стороны, вычислительными машинами и с другой — новыми методами, основанными на локальном изучении явлений в отдельных зонах и склейке полученных при этом решений в соседних зонах.

Элементарные решения. Отметим несколько простых решений уравнения Лапласа (1), которыми можно пользоваться для локального приближения произвольных решений. Это, прежде всего, большой запас гармонических полиномов: любая константа, любая линейная функция полиномы второй степени, которые представляют собой линейные комбинации с произвольными коэффициентами функций

полиномы третьей степени — такие же комбинации функций

и двух других, получаемых из последней круговой заменой х, у и z, и т. д.

Линейными комбинациями гармонических многочленов можно с любой точностью приблизить в произвольной ограниченной области со связным дополнением любую функцию гармоническую в окрестности (теорема Рунге).

Наряду с гармоническими полиномами, которые (кроме константы) имеют особенность в бесконечности, можно рассматривать запас функций, правильных в бесконечности: это функция

где постоянная и расстояние от произвольной фиксированной точки до точки а также любые ее производные

Функция (3) имеет простой физический смысл — это потенциал точечного источника, расположенного в точке В силу гармоничности поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность, содержащую точку А внутри, имеет одно и то же значение (теорема Остроградского). Вычисляя этот поток через сферу с центром в А, находим

так что величина характеризует обильность источника.

Предельное образование, получаемое слиянием источника и стока обильностей расположенных в точках когда по прямой направления называется диполем с осью I и моментом потенциал диполя равен

где угол между векторами и осью диполя Аналогично трактуются и старшие производные функции (3).

Рассмотрим теперь примеры сочетания этих элементарных решений.

Метод источников. В предыдущем параграфе мы рассмотрели течение с осевой симметрией, которое получается, если в поступательный поток в направлении оси х внести источники, расположенные на оси х. Если

источники располагаются не на оси поступательного потока, то течение осевой симметрией обладать уже не будет.

Внесем, например, в поступательный поток со скоростью направленной вдоль оси х, два источника одинаковой обильности расположив их перпендикулярно к этой оси, в точках оси z; мы получим течение с потенциалом

Координаты вектора скорости равны соответствующим частным производным функции и мы имеем

где расстояния точки от источников. При у нас следовательно, рассматриваемый поток обтекает плоскость В этой плоскости мы получаем векторное поле

которое (как плоское поле) не является ни потенциальным, ни соленоидальным.

Построим еще семейство поверхностей, образованных линиями тока этого течения, которое зависит от параметра h. Такие поверхности должны удовлетворять уравнению с частными производными первого порядка

с коэффициентами, определяемыми по формулам (6). Мы рассмотрим решение асимптотической задачи Коши для этого уравнения: при где

— некоторая постоянная.

Можно доказать, что такое решение представляет собой поверхность с единственным максимумом на оси х вблизи начала координат (величина этого максимума зависит от и асимптотически стремящуюся к плоскости при причем имеет порядок (рис. 71). Эти утверждения основаны на том, что влияние источников сказывается лишь в окрестности начала координат; при удалении в бесконечность их влияние затухает со скоростью и превалирующим становится поступательное движение.

Рис. 71.

Мы построили течение, обтекающее пространственный слой со скоростью в бесконечности Кос, направленной по оси х.

Этот пример можно обобщить, если вместо одной пары источников рассмотреть семейство таких пар, расположенных над кругом в точках Если варьировать функцию и плотность распределения обильности источника то формула

даст потенциал течения, обтекающего пространственный слой где поверхность из достаточно широкого класса.