§ 37. Формирование и движение вихрей

Вихри в воздухе. Экспериментально известен ряд способов создания вихревых движений. Описанный выше способ получения дымовых колец из ящика позволяет получать вихри, радиус и скорость которых имеют порядок 10—20 см и 10 м/сек соответственно, в зависимости от диаметра отверстия и силы удара. Такие вихри проходят расстояния 15—20 м.

Вихри гораздо большего размера (радиусом до 2 м) и большей скорости (до 100 м/сек) получаются с помощью ВВ. В трубе, закрытой с одного конца и заполненной дымом, производится подрыв заряда ВВ, расположенного у дна. Вихрь, получаемый из цилиндра радиусом 2 м при заряде весом около 1 кг, проходит расстояние около 500 м. На большей части пути вихри, получаемые таким способом, имеют турбулентный характер и хорошо описываются законом движения, который изложен в § 35.

Механизм образования таких вихрей качественно ясен. При движении в цилиндре воздуха, вызванном взрывом, на стенках образуется пограничный слой. На краю цилиндра пограничный слой отрывается, в

результате чего создается тонкий слой воздуха со значительной завихренностью. Затем происходит сворачивание этого слоя. Качественная картина последовательных этапов приведена на рис. 127, где изображен один край цилиндра и срывающийся с него вихревой слой. Возможны и другие схемы образования вихрей.

При малых числах Рейнольдса спиральная структура вихря сохраняется довольно долго. При больших числах Рейнольдса, в результате неустойчивости, спиральная структура разрушается сразу и происходит турбулентное перемешивание слоев. В результате образуется вихревое ядро, распределение завихренности в котором можно найти, если решить поставленную в § 35 задачу, описываемую системой уравнений (16).

Рис. 127.

Однако в настоящий момент нет никакой схемы расчета, которая позволяла бы по заданным параметрам трубы и весу ВВ определять начальные параметры сформировавшегося турбулентного вихря (т. е. его начальные радиус и скорость). Эксперимент показывает, что для трубы с заданными параметрами существует наибольший и наименьший вес заряда, при которых вихрь образуется; на его образование сильно влияет и расположение заряда.

Вихри в воде. Мы уже говорили, что вихри в воде можно получать аналогичным способом, выталкивая поршнем из цилиндра некоторый объем жидкости, подкрашенной чернилами.

В отличие от воздушных вихрей, начальная скорость которых может достичь 100 м/сек и более, в воде при начальной скорости 10—15 м/сек вследствие сильного вращения жидкости, движущейся вместе с вихрем, возникает кавитационное кольцо. Оно возникает в момент образования вихря при срыве пограничного слоя с края Цилиндра. Если пытаться получить вихри со скоростью

более 20 м/сек, то кавитационная каверна становится столь большой, что возникает неустойчивость и вихрь разрушается. Сказанное относится к диаметрам цилиндра порядка 10 см возможно, что с увеличением диаметра удастся получить устойчивые вихри, движущиеся с большой скоростью.

Интересное явление возникает, когда вихрь движется в воде вертикально вверх по направлению к свободной поверхности. Часть жидкости, образующая так называемое тело вихря, взлетает над поверхностью, сначала почти без изменения формы - водяное кольцо выпрыгивает из воды. Иногда скорость вылетевшей массы в воздухе увеличивается. Это можно объяснить отбрасыванием воздуха, которое происходит на границе вращающейся жидкости. В дальнейшем вылетевший вихрь разрушается под действием центробежных сил.

Падение капель. Легко наблюдать вихри, образующиеся при падении капель чернил в воду. Когда чернильная капля попадает в воду, образуется кольцо, состоящее из чернил и движущееся вниз. Вместе с кольцом движется некоторый объем жидкости, образующий тело вихря, которое также окрашено чернилами, но гораздо слабее. Характер движения сильно зависит от соотношения плотностей воды и чернил. При этом оказываются существенными различия плотности в десятые доли процента.

Плотность чистой воды меньше, чем чернил. Поэтому при движении вихря на него действует сила, направленная вниз, по ходу вихря. Действие этой силы приводит к увеличению импульса вихря. Импульс вихря

где Г — циркуляция или интенсивность вихря, и R - радиус вихревого кольца, а скорость движения вихря

Если пренебречь изменением циркуляции, то из этих формул можно сделать парадоксальный вывод: действие силы в направлении движения вихря приводит к уменьшению его скорости. Действительно, из (1) следует, что с ростом импульса при постоянной

циркуляции должен увеличиваться радиус R вихря, но из (2) видно, что при постоянной циркуляции с ростом R скорость падает.

В конце движения вихря чернильное кольцо распадается на 4—6 отдельных сгустков, которые в свою очередь превращаются в вихри с маленькими спиральными кольцами внутри. В некоторых случаях эти вторичные кольца распадаются еще раз.

Механизм этого явления не очень ясен, и существует несколько его объяснений. В одной схеме главную роль играет сила тяжести и неустойчивость так называемого тейлоровского типа, которая возникает, когда в поле тяжести более плотная жидкость находится над менее плотной, причем обе жидкости вначале покоятся. Плоская граница, разделяющая две такие жидкости, неустойчива — она деформируется, и отдельные сгустки более плотной жидкости проникают в менее плотную.

При движении чернильного кольца циркуляция на самом деле уменьшается, и это приводит к полной остановке вихря. Но на кольцо продолжает действовать сила тяжести, и в принципе оно должно было бы опускаться дальше как целое. Однако возникает тейлоровская неустойчивость, и в результате кольцо распадается на отдельные сгустки, которые опускаются под действием силы тяжести и в свою очередь образуют маленькие вихревые кольца.

Возможно и другое объяснение этого явления. Увеличение радиуса чернильного кольца приводит к тому, что часть жидкости, движущаяся вместе с вихрем, принимает форму, изображенную на рис. 127 (стр. 352). В результате действия на вращающийся тор, состоящий из линий тока, сил, аналогичных силе Магнуса, элементы кольца приобретают скорость, направленную перпендикулярно скорости движения кольца как целого. Такое движение неустойчиво, и происходит распад на отдельные сгустки, которые снова превращаются в маленькие вихревые кольца.

Механизм образования вихря при падении капель в воду может иметь разный характер. Если капля падает с высоты 1—3 см, то ее вход в воду не сопровождается всплеском и свободная поверхность деформируется слабо. На границе между каплей и водой

образуется вихревой слой, сворачивание которого и приводит к образованию кольца чернил, окруженного захваченной вихрем водой. Последовательные стадии образования вихря в этом случае качественно изображены на рис. 128.

Рис. 128.

При падении капель с большой высоты механизм образования вихрей иной. Здесь падающая капля, деформируясь, растекается на поверхности воды, сообщая на площади, много большей ее диаметра, импульс с максимальной интенсивностью в центре. В результате на поверхности воды образуется впадина, она по инерции расширяется, а потом происходит схлопывание и возникает кумулятивный всплеск — султан (см. гл. VII).

Рис. 129.

Масса этого султана в несколько раз больше массы капли. Падая под действием силы тяжести в воду, султан образует вихрь по уже разобранной схеме (рис. 128); на рис. 129 изображена первая стадия падения капли, приводящая к образованию султана.

По этой схеме образуются вихри, когда на воду падает редкий дождь с крупными каплями — поверхность воды покрывается тогда сеткой небольших султанчиков. Вследствие образования таких султанчиков каждая

капля значительно наращивает свою массу, и поэтому вихри, вызванные ее падением, проникают на довольно большую глубину.

По-видимому, это обстоятельство можно положить в основу объяснения известного эффекта гашения дождем поверхностных волн в водоемах. Известно, что при наличии волн горизонтальные составляющие скорости частиц на поверхности и на некоторой глубине имеют противоположные направления. Во время дождя значительное количество жидкости, проникающее на глубину, гасит волновую скорость, а восходящие из глубины токи гасят скорость на поверхности. Было бы интересно подробнее разработать этот эффект и построить его математическую модель.

Рис. 130.

Вихревое облако атомного взрыва. Явление, очень похожее на образование вихревого облака при атомном взрыве, можно наблюдать при взрывах обычных ВВ, например, при подрыве плоской круглой пластины ВВ, расположенной на плотном грунте или на стальной плите. Можно также располагать ВВ в виде сферического слоя или стакана, как показано на рис. 130.

Наземный атомный взрыв отличается от обычного взрыва прежде всего существенно большей концентрацией энергии (кинетической и тепловой) при очень малой массе бросаемого вверх газа. При таких взрывах образование вихревого облака происходит за счет выталкивающей силы, которая появляется из-за того, что масса горячего воздуха, образующаяся при взрыве, легче окружающей среды. Выталкивающая сила играет существенную роль и при дальнейшем движении вихревого облака. Точно так же, как при движении чернильного вихря в воде, действие этой силы приводит к росту радиуса вихревого облака и уменьшению скорости. Явление осложняется тем, что плотность воздуха меняется с высотой. Схема приближенного расчета этого явления имеется в работе [8].

Вихревая модель турбулентности. Пусть поток жидкости или газа обтекает поверхность, которая представляет собой плоскость с вмятинами, ограниченными сферическими сегментами (рис. 131, а). В гл. V мы показали, что в районе вмятин естественно возникают зоны с постоянной завихренностью.

Рис. 131.

Предположим теперь, что завихренная зона отделяется от поверхности и начинает двигаться в основном потоке (рис.

131,6). В силу закрученности эта зона, кроме скорости V основного потока, будет иметь еще компоненту скорости, перпендикулярную к V. В результате такая движущаяся вихревая зона вызовет турбулентное перемешивание в слое жидкости, размер которого в десятки раз превышает размеры вмятины.

Это явление, по-видимому, можно использовать для объяснения и расчетов передвижения больших масс воды в океанах, а также передвижения масс воздуха в горных районах при сильных ветрах.

Снижение сопротивления. В начале главы мы говорили о том, что воздушные или водяные массы без оболочек, которые движутся вместе с вихрем, несмотря на плохо обтекаемую форму испытывают значительно меньшее сопротивление, чем такие же массы в оболочках. Мы указали и причину такого снижения сопротивления — оно объясняется непрерывностью поля скоростей.

Возникает естественный вопрос о том, нельзя ли придать обтекаемому телу такую форму (с подвижной границей) и сообщить ему такое движение, чтобы возникающее при этом течение было аналогично течению при движении вихря, и тем самым попытаться уменьшить сопротивление?

Мы приведем здесь принадлежащий Б. А. Луговцову пример, который показывает, что такая постановка вопроса имеет смысл. Рассмотрим симметричное относительно оси х плоское потенциальное течение несжимаемой невязкой жидкости, верхняя половина которого изображена на рис. 132. На бесконечности поток имеет скорость, направленную вдоль оси х, на рис. 132 штриховкой отмечена каверна, в которой поддерживается такое давление, что на ее границе величина скорости постоянна и равна

Рис. 132.

Нетрудно видеть, что если вместо каверны в поток поместить твердое тело с подвижной границей, скорость которой также равна то наше течение можно рассматривать и как точное решение задачи обтекания этого тела вязкой жидкостью. В самом деле, потенциальное течение удовлетворяет уравнению Навье—Стокса, а условие прилипания на границе тела выполняется в силу того, что скорости жидкости и границы совпадают. Таким образом, благодаря подвижной границе течение останется потенциальным, несмотря на вязкость, след не появится и полная сила, действующая на тело, будет равной нулю.

В принципе такую конструкцию тела с подвижной границей можно осуществить и на практике. Для поддержания описанного движения необходим постоянный подвод энергии, который должен компенсировать диссипацию энергии вследствие вязкости. Ниже мы подсчитаем необходимую для этого мощность.

Характер рассматриваемого течения таков, что его комплексный потенциал должен быть многозначной функцией. Чтобы выделить его однозначную ветвь, мы

сделаем в области течения разрез вдоль отрезка (рис. 132). Ясно, что комплексный потенциал отображает эту область с разрезом на область, изображенную на рис. 133, а (соответствующие точки помечены одинаковыми буквами), на нем указаны также образы линий тока (соответствующие помечены одинаковыми цифрами). Разрыв потенциала на линии не нарушает непрерывности поля скоростей, ибо производная комплексного потенциала остается непрерывной на этой линии.

Рис. 133.

На рис. 133,б показан образ области течения при отображении это круг радиуса с разрезом по действительной оси от точки до точка разветвления потока В, в которой скорость равна нулю, переходит в центр круга

Итак, в плоскости образ области течения и положение точек вполне определены. В плоскости напротив, можно произвольно задавать размеры прямоугольника Задав их, можно найти по

теореме Римана (гл. И) единственное конформное отображение левой половины области рис. 133, а на нижний полукруг рис. 133 ,б, при котором точки на обоих рисунках соответствуют друг другу. В силу симметрии тогда вся область рис. 133, а отобразится на круг с разрезом рис. 133, б. Если при этом выбрать надлежащим образом положение точки В на рис. 133, а (т. е. длину разреза), то она перейдет в центр круга и отображение определится полностью.

Это отображение удобно выразить через параметр , меняющийся в верхней полуплоскости (рис. 133, в). Конформное отображение этой полуплоскости на круг с разрезом рис. 133, б с нужным соответствием точек выписывается элементарно:

Здесь — абсцисса точки на рис. 133, б — величина, которую можно задавать произвольно; чтобы точка В рис. 133, в переходила в , ее абсцисса должна быть равной

Конформное отображение верхней полуплоскости на область рис. 133, а выражается через эллиптические интегралы, а производная этого отображения имеет вид

где абсцисса точки на рис. 133,в — произвольно задаваемая величина, постоянная, которую можно выразить через (см. формулу Шварца—Кристоффеля, Л. и Ш., гл. II).

Из формул (3) и (5) легко находится

Если меняется на отрезке то отделяя здесь действительные и мнимые части, мы получим

уравнения, из которых можно найти форму обтекаемого тела (каверны) в плоскости течения:

Меняя значения параметров мы можем варьировать форму и размеры обтекаемого тела.

Перейдем к подсчету мощности, необходимой для поддержания такого движения в вязкой жидкости. Эта мощность равна энергии, которая за счет вязкости диссипируется в единицу времени в слое толщиной 1, параллельном плоскости течения. По формуле (6) § 3 ее величина

где вся область течения. Если учесть, что функция аналитическая в и воспользоваться симметрией области течения относительно оси х, то эту формулу можно переписать в виде

где D - часть области течения в верхней полуплоскости. Остается заметить, что интеграл в последней формуле равен площади образа области при отображении т. е. площади круга радиуса и мы получим окончательно

Предположим, что длина обтекаемого тела в направлении, перпендикулярном плоскости течения, много больше поперечных размеров этого тела, и пренебрежем граничными эффектами. Тогда мы получим, что полная мощность, необходимая для поддержания движения такого тела,

Интересно отметить, что эта мощность не зависит от поперечных размеров обтекаемого тела (конечно, если форма этого тела получается описанным выше способом). Можно убедиться в том, что обтекание тела по рассмотренной схеме требует значительно меньшей мощности, чем та, которая, например, затрачивается на обтекание плоской пластины сравнимых размеров

Проделанный расчет справедлив для ламинарных течений. В действительности же, при достаточно больших числах Рейнольдса, движение будет турбулентным, и необходимая мощность может увеличиться. Для выяснения фактической возможности снижения сопротивления за счет применения описанной схемы обтекания необходимы дальнейшие исследования.

Литература

(см. скан)