Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 19. Течения с постоянной завихренностьюДвижения с точечными вихрями. Здесь мы рассмотрим некоторые новые схемы установившегося движения идеальной жидкости в ограниченных областях с достаточно гладкой границей. Прежде всего заметим, что согласно принципу максимума для гармонических функций в этих задачах единственным решением с ограниченными скоростями будет покой. В самом деле, по условию обтекания функция тока Помещая внутри области или на ее границе точечные источники или точечные вихри, мы можем получить движения следующих типов:
Рис. 50 Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно малую вязкость, то под ее влиянием движение быстро перестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная диссипация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на границе нет трения, под влиянием вязкости будет стремиться к вращению жидкости как твердого тела. Постоянная завихренность. Новую схему установившегося движения в ограниченной односвязной области с гладкой границей мы получим, если откажемся от условия отсутствия вихрей, предполагая, что вихри располагаются во всех точках области. Для простоты будем считать завихренность
(второе уравнение по-прежнему выражает условие отсутствия источников). Дифференцируя эти уравнения, мы получим, что каждая из функций
однако они не являются сопряженными, и функция
тогда (1) перейдет, очевидно, в систему Коши — Римана
и функция Рассмотрим для примера простейшую задачу о течении в круге
Переходя к функции
или, после умножения на
Из принципа максимума следует, что единственным решением задачи, которое не имеет особенностей в круге
Траекториями этого движения (векторными линиями поля V) будут кривые, на которых окружности Такую же задачу можно решить и для произвольной ограниченной области
или, после перехода к аналитической функции
Это — одна из так называемых линейных граничных задач теории аналитических функций. В классе ограниченных функций она имеет единственное решение для любого гладкого контура Г (см. Л. и Ш., гл. III). Для решения задач обтекания в рассматриваемой схеме удобно, как и в классическом случае, ввести функцию тока
(в силу второго уравнения (1) выражение справа является точным дифференциалом). Мы имеем
так что линии уровня Подставляя (8) в первое уравнение (I), мы найдем, что функция тока удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона
Потенциала скоростей в этой схеме не существует просто потому, что движение не потенциально. Заметим, что принятое в схеме условие постоянства завихренности является естественным, если рассматривать течение как предельное для ламинарного течения вязкой жидкости в предположении, что вязкость
(см. § 3). Это уравнение можно переписать в виде
где обозначает производную вдоль линии тока. Пусть теперь Свойства течений. При завихренных течениях (без особенностей) в ограниченной односвязной области Далее заметим, что в рассматриваемом случае, как и в классическом, поток вектора скорости V через любую кривую функции тока
называется угловым расходом рассматриваемого течения (рис. 51). Важно выяснить, в какой мере на движения с постоянной завихренностью распространяются вариационные принципы. Рассмотренный выше пример круга показывает, что при фиксированном
Рис. 51. Однако этот принцип можно сохранить, если рассматривать движения с одинаковым угловым расходом. Для случая ограниченных областей он формулируется так: Пусть область Представляет интерес изучение течений с постоянной завихренностью в областях типа полосы. Пусть дана такая область Задача сводится к отысканию функции Последнюю задачу легко свести к задаче Дирихле для гармонических функций. В самом деле, вместо
где правые части известны из условий задачи. Задача Дирихле имеет в классе ограниченных гармонических функций единственное решение, а значит, однозначно разрешима и наша задача построения течения с постоянной завихренностью в областях типа полосы.
|
1 |
Оглавление
|