§ 19. Течения с постоянной завихренностью

Движения с точечными вихрями. Здесь мы рассмотрим некоторые новые схемы установившегося движения идеальной жидкости в ограниченных областях с достаточно гладкой границей. Прежде всего заметим, что

согласно принципу максимума для гармонических функций в этих задачах единственным решением с ограниченными скоростями будет покой. В самом деле, по условию обтекания функция тока на границе области, и если не имеет особенностей внутри или на границе области, то по этому принципу

Помещая внутри области или на ее границе точечные источники или точечные вихри, мы можем получить движения следующих типов:

Рис. 50

Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно малую вязкость, то под ее влиянием движение быстро перестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная диссипация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на границе нет трения, под влиянием вязкости будет стремиться к вращению жидкости как твердого тела.

Постоянная завихренность. Новую схему установившегося движения в ограниченной односвязной области с гладкой границей мы получим, если откажемся от условия отсутствия вихрей, предполагая, что вихри располагаются во всех точках области. Для простоты будем считать завихренность постоянной во всей области Тогда вместо обычных уравнений, приводящих к условию аналитичности, для координат вектора скорости — мы будем их здесь обозначать через получим следующие уравнения:

(второе уравнение по-прежнему выражает условие отсутствия источников).

Дифференцируя эти уравнения, мы получим, что каждая из функций гармоническая,

однако они не являются сопряженными, и функция не аналитична. Поэтому удобнее перейти от функциям

тогда (1) перейдет, очевидно, в систему Коши — Римана

и функция будет аналитической. Это позволяет привлечь для изучения рассматриваемой схемы аппарат теории аналитических функций.

Рассмотрим для примера простейшую задачу о течении в круге Условие обтекания окружности состоит в ортогональности векторов т. е. имеет вид

Переходя к функции мы перепишем его в виде

или, после умножения на в виде Последнее условие можно переписать так:

Из принципа максимума следует, что единственным решением задачи, которое не имеет особенностей в круге будет откуда

Траекториями этого движения (векторными линиями поля V) будут кривые, на которых т. е.

окружности В отличие от классического вихревого движения, изображенного на рис. 50, в, это движение устойчиво, ибо для него энергия всюду конечна.

Такую же задачу можно решить и для произвольной ограниченной области с гладкой границей Г. Если обозначить через а угол касательной к Г с осью х, то условие обтекания будет состоять в коллинеарности векторов Оно записывается в виде

или, после перехода к аналитической функции в виде

Это — одна из так называемых линейных граничных задач теории аналитических функций. В классе ограниченных функций она имеет единственное решение для любого гладкого контура Г (см. Л. и Ш., гл. III).

Для решения задач обтекания в рассматриваемой схеме удобно, как и в классическом случае, ввести функцию тока Она по-прежнему вводится как функция, дифференциал которой равен

(в силу второго уравнения (1) выражение справа является точным дифференциалом). Мы имеем

так что линии уровня совпадают с векторными линиями поля скоростей Условие обтекания (5) теперь записывается просто в виде условия, что на границе

Подставляя (8) в первое уравнение (I), мы найдем, что функция тока удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона

Потенциала скоростей в этой схеме не существует просто потому, что движение не потенциально.

Заметим, что принятое в схеме условие постоянства завихренности является естественным, если рассматривать течение как предельное для ламинарного течения вязкой жидкости в предположении, что вязкость самом деле, завихренность для установившегося плоского движения вязкой несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Гельмгольца

(см. § 3). Это уравнение можно переписать в виде

где обозначает производную вдоль линии тока.

Пусть теперь так, что остается ограниченным; тогда О и, следовательно, при малых максимум и минимум о на любой линии тока, в частности, на границе области сколь угодно близки друг к другу. Но для решений уравнения (10) и максимум и минимум достигаются на границе области (см. Курант [1], стр. 324), следовательно, при малых максимум со в мало отличается от минимума — завихренность со почти постоянна в

Свойства течений. При завихренных течениях (без особенностей) в ограниченной односвязной области в этой области найдется по крайней мере одна неподвижная точка, в которой скорость равна нулю. В самом деле, на границе области и поэтому либо максимум, либо минимум этой функции в достигается во внутренней точке области, а там .

Далее заметим, что в рассматриваемом случае, как и в классическом, поток вектора скорости V через любую кривую лежащую в равен приращению

функции тока на этой кривой (т. е. разности значений в ее концах). Отсюда следует, что поток V через любую кривую, соединяющую фиксированную точку области с ее границей Г, равен где и не зависит от вида этой кривой, так как у нас постоянна на Г. В частности, если точка в которой достигается минимум или максимум функции то такой поток

называется угловым расходом рассматриваемого течения (рис. 51).

Важно выяснить, в какой мере на движения с постоянной завихренностью распространяются вариационные принципы. Рассмотренный выше пример круга показывает, что при фиксированном основной вариационный принцип неверен. В самом деле, из (4) видно, что скорость на границе равна при уменьшении радиуса круга она не увеличивается, а уменьшается.

Рис. 51.

Однако этот принцип можно сохранить, если рассматривать движения с одинаковым угловым расходом. Для случая ограниченных областей он формулируется так:

Пусть область содержится в а ее граница Г имеет общую дугу у с границей Г области рассматриваются течения с постоянными завихренностями и с одинаковым угловым расходом При этих условиях на у скорость второго течения меньше скорости первого, т. е. во всех точках Если дополнительно предположить, что выпуклые области, то в точках наибольшей деформации

Представляет интерес изучение течений с постоянной завихренностью в областях типа полосы. Пусть дана такая область ограниченная двумя непересекающимися кривыми и в ней требуется построить движение с заданной завихренностью и с заданным расходом Н.

Задача сводится к отысканию функции удовлетворяющей уравнению (9) и граничным условиям

Последнюю задачу легко свести к задаче Дирихле для гармонических функций. В самом деле, вместо можно искать функцию Для которой и следовательно, она является гармонической в Граничные условия для этой функции принимают вид

где правые части известны из условий задачи. Задача Дирихле имеет в классе ограниченных гармонических функций единственное решение, а значит, однозначно разрешима и наша задача построения течения с постоянной завихренностью в областях типа полосы.