Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Размерностный подходВо многих задачах механики можно получить полезную информацию, если использовать соображения, основанные на анализе размерностей величин, существенных для рассматриваемой задачи. Здесь мы кратко опишем, как это делается, отсылая за подробностями к книге Л. И. Седова [6]. Размерности. Пусть выбрана некоторая система основных величин
где
Так, в механике обычно пользуются системой единиц
Функциональные связи между величинами, которые определяются в результате исследования математической модели явления или экспериментально, должны сохраняться при любом изменении масштабов единиц для основных величин. Это требование можно выразить еще и так: пусть размерная величина
тогда для этой функции должно выполняться соотношение
Требование сохранения размерности, несмотря на его большую общность, дает повод к высказываниям о характере зависимости
Пусть теперь
Предположим, что величина
Тогда зависимость (3) равносильна следующей зависимости между безразмерными величинами:
Это утверждение известно под названием величина
который находится или экспериментально, или в процессе решения соответствующей математической задачи. Выбор Автомодельность. В задачах механики искомые величины, как правило, являются функциями времени
Число основных единиц, как мы говорили, в этих задачах равно 3. Пусть в результате приведения зависимости (9) к безразмерному виду мы получаем, что безразмерная искомая величина зависит только от комбинаций
где В автомодельных, задачах число независимых переменных снижается на 1: вместо В заключение приведем несколько примеров применения размерностного подхода. Удар струи о плоскость. Пусть струя невязкой несжимаемой жидкости плотности наклоненную к оси струи под углом а (рис. 9). Требуется найти силу
Рис. 9. Анализ размерностей позволяет конкретизировать вид этой зависимости. Действительно,
Вид функции Сфера в вязкой жидкости. В несжимаемой вязкой жидкости с коэффициентом вязкости V и плотностью В этой задаче
но из размерностных соображений, аналогичных тем, которые проводились в предыдущей задаче, эту зависимость можно заменить другой:
где Определение вида функции Диффузия вихревой нити. Приведем, наконец, пример автомодельной задачи, которую благодаря размерностным соображениям удается решить полностью. Пусть в вязкой жидкости в момент времени Примем вихревую нить за ось х и введем цилиндрические координаты
где Г — некоторая постоянная, характеризующая интенсивность вихревой нити. Из соображений симметрии ясно, что характер поля сохранится во все время движения: Удобно вместо скорости рассмотреть завихренность поля, которая в этой задаче будет характеризоваться скалярной величиной
Изменение завихренности описывается уравнением Гельмгольца (3) § 3, которое в нашем случае имеет вид
и следующим начальным условием: при
(так что Перейдем к рассмотрению размерностных соображений. Из характера задачи ясно, что, кроме переменных
Размерности величин, сюда входящих, таковы:
Среди четырех величин
Мы видим, что задача является. автомодельной, и уравнение с частными производными (17) в ней можно заменить обыкновенным дифференциальным уравнением. Для этого мы вводим переменное
Подставляя это в (17), получаем для функции
Нетрудно видеть, что соотношение (18) остается справедливым в любой момент времени
Решением уравнения (21), удовлетворяющим условию (22), является
и, следовательно, решением исходной задачи является
Так происходит изменение (диффузия) завихренности в нашей задаче. По формуле (16) можно найти и закон изменения скоростей
Задача решена полностью. Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|