§ 4. Размерностный подход

Во многих задачах механики можно получить полезную информацию, если использовать соображения, основанные на анализе размерностей величин, существенных для рассматриваемой задачи. Здесь мы кратко опишем, как это делается, отсылая за подробностями к книге Л. И. Седова [6].

Размерности. Пусть выбрана некоторая система основных величин через которые выражаются остальные величины, рассматриваемые в той или иной теории, и для этих основных величин пусть выбраны единицы измерения. Пусть некоторая величина выражается через так, что при изменении величины раз, в раз величина изменяется в раз, причем

где некоторые числа. Тогда говорят, что величина в системе единиц имеет размерность и записывают это в виде

Так, в механике обычно пользуются системой единиц в которой за основные величины приняты длина (в см), масса М (в г) и время Т (в сек). В этой системе, например, скорость, ускорение, плотность, давление и энергия имеют размерности

Функциональные связи между величинами, которые определяются в результате исследования математической модели явления или экспериментально, должны сохраняться при любом изменении масштабов единиц для основных величин. Это требование можно выразить еще и так: пусть размерная величина является функцией других размерных величин

тогда для этой функции должно выполняться соотношение

Требование сохранения размерности, несмотря на его большую общность, дает повод к высказываниям о

характере зависимости которые в ряде задач могут оказаться весьма полезными.

-теорема. Пусть среди размерных величин первые величин имеют независимые размерности. Это означает, что размерность ни одной из этих величин нельзя выразить в виде произведения размерностей других величин (из них же) в некоторых степенях. Число величин с независимыми размерностями не может превышать числа основных единиц. (Например, размерности скорости ускорения и давления независимы, а размерности плотности скорости и давления зависимы.)

Пусть теперь является наибольшим числом величин с независимыми размерностями в группе так что размерности можно выразить через Поэтому можно составить безразмерные комбинации

Предположим, что величина выражается через по формуле (3) и, значит, можно составить безразмерную комбинацию

Тогда зависимость (3) равносильна следующей зависимости между безразмерными величинами:

Это утверждение известно под названием -теоремы. Его доказательство можно найти в книге Л. И. Седова [6]. Преимущество зависимости (7) перед (3) в меньшем числе независимых переменных: в (3) их В ряде задач это преимущество оказывается решающим. В частности, если то соображениями, основанными на размерности,

величина определяется с точностью до постоянного множителя:

который находится или экспериментально, или в процессе решения соответствующей математической задачи.

Выбор параметров с независимыми размерностями из параметров, определяющих величину можно производить разными способами. При этом вид функции F в -теореме, конечно, меняется, но число независимых переменных всегда снижается с до

Автомодельность. В задачах механики искомые величины, как правило, являются функциями времени координат х, у, z и некоторых постоянных величин , существенных для данной задачи,

Число основных единиц, как мы говорили, в этих задачах равно 3.

Пусть в результате приведения зависимости (9) к безразмерному виду мы получаем, что безразмерная искомая величина зависит только от комбинаций

где постоянная, и еще от некоторых постоянных безразмерных комбинаций. Задачи, в которых это происходит, называются автомодельными.

В автомодельных, задачах число независимых переменных снижается на 1: вместо мы имеем три величины (10), и тем самым эти задачи упрощаются. Особенно существенное упрощение из-за автомодельности достигается в задачах, в которых искомая функция зависит от времени и только от одной пространственной координаты — здесь вместо уравнений с частными производными мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение.

В заключение приведем несколько примеров применения размерностного подхода.

Удар струи о плоскость. Пусть струя невязкой несжимаемой жидкости плотности которая в бесконечности имеет радиус и скорость V, ударяет о плоскость,

наклоненную к оси струи под углом а (рис. 9). Требуется найти силу с которой струя действует на плоскость. Давление вне струи мы считаем равным 0 и пренебрегаем силой тяжести. Так как жидкость невязкая, то F будет направлена перпендикулярно плоскости, и остается найти ее величину Эта величина определяется параметрами и а, т. е. имеет вид

Рис. 9.

Анализ размерностей позволяет конкретизировать вид этой зависимости. Действительно, и комбинация также имеет размерность силы, следовательно, является безразмерной величиной. Так как размерности независимы, то на основании -теоремы зависимость (11) можно заменить такой:

Вид функции можно определить либо решая соответствующую задачу, либо опытным путем. Переход от зависимости (11) к (12) сильно сокращает число опытов, ибо теперь можно считать постоянными и менять лишь угол а.

Сфера в вязкой жидкости. В несжимаемой вязкой жидкости с коэффициентом вязкости V и плотностью движется с постоянной скоростью V сфера радиуса требуется найти силу сопротивления действующую на сферу.

В этой задаче

но из размерностных соображений, аналогичных тем, которые проводились в предыдущей задаче, эту зависимость можно заменить другой:

где число Рейнольдса,

Определение вида функции является важной и трудной задачей гидродинамики. В полном объеме она еще не решена, так что с теоретической точки зрения размерностный подход к успеху не привел. Но с точки зрения экспериментальных исследований достигнуто серьезное преимущество — вместо функции четырех переменных теперь нужно исследовать функцию одного переменного

Диффузия вихревой нити. Приведем, наконец, пример автомодельной задачи, которую благодаря размерностным соображениям удается решить полностью. Пусть в вязкой жидкости в момент времени имеется распределение скоростей, соответствующее прямолинейной вихревой нити; требуется найти распределение скоростей в следующие моменты.

Примем вихревую нить за ось х и введем цилиндрические координаты ; координаты вектора скорости в этой системе обозначим через . В начальный момент во всех плоскостях, перпендикулярных оси х, поле скоростей одинаково и имеет вид

где Г — некоторая постоянная, характеризующая интенсивность вихревой нити. Из соображений симметрии ясно, что характер поля сохранится во все время движения: останутся равными нулю, а будет зависеть от

Удобно вместо скорости рассмотреть завихренность поля, которая в этой задаче будет характеризоваться скалярной величиной скорость через нее выражается. В самом деле, по формуле Стокса, примененной к кругу радиуса с центром на оси х, мы получаем

переменная интегрирования).

Изменение завихренности описывается уравнением Гельмгольца (3) § 3, которое в нашем случае имеет вид

и следующим начальным условием: при функция со равна 0 всюду, кроме точки где она бесконечна, причем

(так что является обобщенной функцией).

Перейдем к рассмотрению размерностных соображений. Из характера задачи ясно, что, кроме переменных завихренность зависит еще от двух параметров так что

Размерности величин, сюда входящих, таковы:

Среди четырех величин имеется только две с независимыми размерностями, например При таком выборе мы можем составить три безразмерные комбинации: и на основании -теоремы заменить (19) зависимостью

Мы видим, что задача является. автомодельной, и уравнение с частными производными (17) в ней можно заменить обыкновенным дифференциальным уравнением.

Для этого мы вводим переменное из (20) выражаем производные со по времени и координате (зависимость от параметра — мы для простоты не пишем):

Подставляя это в (17), получаем для функции обыкновенное дифференциальное уравнение

Нетрудно видеть, что соотношение (18) остается справедливым в любой момент времени (для этого достаточно проинтегрировать (17) по всей плоскости предполагая, что вместе с производными достаточно быстро убывает на бесконечности). В автомодельных переменных это соотношение принимает вид

Решением уравнения (21), удовлетворяющим условию (22), является

и, следовательно, решением исходной задачи является

Так происходит изменение (диффузия) завихренности в нашей задаче. По формуле (16) можно найти и закон изменения скоростей

Задача решена полностью.

Литература

(см. скан)