Глава IX. ВИХРИ

В этой главе изложены некоторые результаты теоретических и экспериментальных исследований, связанных с образованием, структурой и движением кольцевых вихрей.

Несмотря на болыцое число работ, посвященных этой проблеме, многие важные и интересные вопросы, к ней относящиеся, до последнего времени оставались без ответа. Исследования, проведенные за последнее десятилетие, улучшили положение. Были поставлены многочисленные опыты, на основе которых создана математическая модель, позволяющая определить закон движения, структуру кольцевых вихрей, количество примеси, которое они могут переносить, и другие характеристики. Полученные результаты дают хорошее совпадение с опытом.

Более трудным для исследования оказался механизм образования кольцевых вихрей. Здесь получены некоторые экспериментальные результаты, дающие основу для качественного понимания явления, однако задача его полного математического описания еще не решена.

§ 35. Кольцевые вихри

Если обычному воздушному шарику в резиновой оболочке сообщить скорость 5—10 м/сек, то он проходит расстояние 1,5-2 м. С другой стороны, давно известно, что если с той же скоростью кинуть (например, вытолкнуть поршнем из трубки) такую же массу воздуха без оболочки, то она пройдет расстояние, в 10—15 раз большее.

Опыт показывает, что во втором случае движение происходит так, как показано на рис. 121, где изображены линии тока для движения относительно системы координат, движущейся вместе с вытолкнутой массой воздуха. Движение обладает осевой симметрией; внутри выпуклой области, образованной вращением участка ABC линии тока, оно вихревое, а вне этой области — практически потенциальное. На ABC скорости внутреннего и внешнего движений совпадают, так что поле скоростей оказывается непрерывным. Это и объясняет эффект, с которого мы начали, — из-за непрерывности трение на границе движущейся без оболочки массы меньше, чем массы в оболочке, следовательно, меньше сопротивление и больше проходимое массой расстояние.

Рис. 121.

Аналогичное движение можно наблюдать и в воде. Оно известно уже давно и называется кольцевым вихрем. В конце прошлого века такая схема движения привлекала внимание в связи с попытками создания вихревой модели атомов (У. Томсон-Кельвин, Дж. Дж. Томсон). Эти попытки успеха не имели, но они послужили поводом для интересных исследований, с которыми можно ознакомиться по книге Ламба [4].

Интерес к проблеме сильно возрос после появления атомных бомб, при взрыве которых образуется характерное грибовидное облако, структура которого аналогична структуре кольцевого вихря, изображенного на фото рис. 122. Такое облако с большой скоростью поднимается на высоту нескольких километров. Аналогичное явление наблюдается и при взрыве больших зарядов обычных ВВ.

В последнее время исследуются возможности практического применения кольцевых вихрей для удаления дыма, вредных газов и т. п. на промышленных предприятиях. В связи с этим возникает много вопросов, ответы на которые нельзя получить без учета вязкости, диссипации энергии, турбулентного характера движения и т. д. Однако прежде чем переходить к описанию математической модели, учитывающей эти факторы, мы

должны напомнить некоторые результаты, полученные в схеме идеальной несжимаемой жидкости.

Вихри в идеальной жидкости. Если пренебречь вязкостью и рассматривать осесимметричные движения несжимаемой жидкости, стационарные в системе координат, движущейся вместе с вихрем, то уравнения, связывающие функцию тока и завихренность со в цилиндрических координатах имеют вид

(см. гл. I).

Рис. 122.

Из (1) следует, что отношение постоянно вдоль линии тока, т. е. что

где произвольная функция.

Так как движение на бесконечности должно быть потенциальным, то F должна тождественно обращаться в нуль вне некоторой области, ограниченной замкнутой линией тока, а на этой линии составляющие скорости должны быть непрерывными. При заданной F возникает типичная задача о склейке потенциального и вихревого

течения, аналогичная тем, кторые мы рассматривали в гл.

В такой форме эта задача не исследована даже для простейших функций известны только отдельные примеры точных и приближенных решений. Пример точного решения дает сферический вихрь Хилла.

Рис. 123.

Здесь завихренность распределена внутри шара радиуса R по закону где b - постоянная; вне шара поток — потенциальный и жидкость, содержащаяся в этом шаре, движется вместе с вихрем со скоростью

относительно неподвижной системы координат (см. Ламб [4], стр. 309-310).

Вихри такого типа в опытах не наблюдаются. Большее сходство с наблюдениями имеет приближенное решение, полученное еще Максвеллом, где завихренная область представляет собой тор, радиус а поперечного сечения которого много меньше радиуса R самого тора. Тороидальный вихрь Максвелла движется со скоростью

а форма объема, заключенного внутри замкнутой поверхности тока и дйижущегося вместе с вихрем, зависит от отношения (см. Ламб [4], стр. 299—305). На рис. 123 изображены линии тока при различных

область, движущаяся вместе с вихрем, на этом рисунке заштрихована, а область завихренной жидкости зачернена. При форма области, движущейся с вихрем, мало отличается от наблюдаемой. При эта область, как и область завихренности, имеет тороидальную форму; в опытах этот случай не наблюдается, что, по-видимому, можно объяснить его неустойчивостью (строгого исследования здесь еще нет).

В плоском варианте задачи о кольцевом вихре завихренность должна быть постоянной на линиях тока, т. е. При постоянной F эта задача совпадает с задачей о склейке потенциального и вихревого движения, рассмотренной в гл. Точное решение имеется для случая где — постоянная (Ламб [4], стр. 308—309), но он далек от практики.

Итак, в схеме идеальной жидкости возможны различные модели кольцевых вихрей — эта схема не дает никаких условий для определения вида функции F и формы области, в которой завихренность отлична от нуля. Поэтому ясно, что решения, полученные в рамках невязкой несжимаемой жидкости, не позволяют определить изменение скорости и размеров вихрей, наблюдаемых в экспериментах.

Влияние вязкости. Вязкость жидкости приводит к диссипации энергии, поэтому движение вихря в отсутствии внешних сил становится нестационарным. Можно было бы ожидать, что закон движения и распределение завихренности в кольцевом вихре определяются начальными и краевыми условиями и, следовательно, существенно зависят от способа образования вихря. Однако опыт показывает, что дело обстоит не совсем так.

Классический способ образования вихря состоит в следующем: в верхней крышке коробки с эластичным дном делается отверстие, диаметр которого существенно меньше, чем размеры коробки. К отверстию могут прикрепляться насадки в виде сопел различной формы. Коробка наполняется дымом, после чего по дну производится удар.

При малых числах Рейнольдса, определяемых радиусом и скоростью вихря, образуется ламинарный вихрь

(кликните для просмотра скана)

с четко выраженной спиральной структурой, хорошо видимой на фотографиях (рис. 124, а). В этом случае распределение завихренности действительно определяется начальным полем скоростей, формой насадки, зависит от того, плавный или резкий был удар, и т. д. Это движение в принципе может быть описано с помощью уравнений Навье — Стокса, но решение соответствующей нестационарной задачи, даже с применением вычислительных машин, связано с огромными трудностями.

С другой стороны, начиная с ; характер движения резко меняется, оно становится турбулентным (рис. 124, б). В этом случае, как показывает опыт, структура кольцевого вихря не зависит (или, по крайней мере, зависит очень слабо) от деталей начальных и краевых условий. После того, как вихрь проходит расстояние порядка нескольких радиусов отверстия, вырабатывается некоторое распределение завихренности, вообще не зависящее от способа образования вихря. Усредненное движение в турбулентном вихре определяется только размером и скоростью вихря. При дальнейшем движении, как показывает эксперимент, размеры вихря линейно увеличиваются с пройденным расстоянием, причем форма вихря преобразуется подобно.

Турбулентная вязкость. Турбулентное движение вязкой жидкости, как известно, не описывается замкнутой системой уравнений — в каждом конкретном случае для получения такой системы приходится выдвигать дополнительные гипотезы, т. е. рассматривать какую-либо модель движения.

В безграничном пространстве турбулентно движущуюся жидкость можно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью отличной от истинной кинематической вязкости. Такое феноменологическое описание свободной турбулентности (в отсутствии границ) дает хорошие результаты в теории турбулентных струй и в некоторых других случаях.

Турбулентный характер движения жидкости в кольцевом вихре можно описать введением коэффициента турбулентной вязкости Предположим, что этот коэффициент есть некоторая функция времени, не зависит от пространственных координат и определяется характерными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Более того, предположим, что

где скорость и радиус вихря, а коэффициент X — постоянная, величина которой должна определяться сравнением результатов расчета с экспериментом.

Опыт показывает, что на значительном участке движения вихря турбулентная вязкость во много раз больше кинематической, и последней можно пренебречь. Окончательно получаем следующее: усредненное движение турбулентного вихря описывается уравнениями Гельмгольца (гл. I), в которые вместо кинематической вязкости входит турбулентная вязкость

Уравнения Гельмгольца. Будем рассматривать в вязкой жидкости одновременно осесимметричные кольцевые вихри и соответствующий плоский аналог. В силу сделанных предположений система уравнений, описывающая такие движения, имеет вид:

Уравнения (7) называются уравнениями Гельмгольца, при они описывают осесимметричное движение, а при плоское соответствующая компонента вектора завихренности, функция тока).

Предположение о коэффициенте турбулентной вязкости заведомо неверно на больших расстояниях от кольцевого вихря, так как там этот коэффициент должен обращаться в нуль. Однако из уравнений Гельмгольца (7) видно, что члены с вязкостью существенны только там,

где завихренность заметно отличается от нуля. Поскольку в кольцевом вихре завихренность очень быстро уменьшается с удалением от него, можно ожидать, что сделанное предположение не будет давать существенной ошибки. Аналогичная ситуация имеет место в теории турбулентных струй, дающей хорошее соответствие с экспериментом.

Система (7) обладает важным законом сохранения. Умножая первое уравнение на при или на при и интегрируя по всему пространству, в предположении, что и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности, получим:

Этот результат есть частный случай общего утверждения о том, что в безграничной вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, величина

не зависит от времени (доказательство дано в работе [6]). Величину Р естественно назвать импульсом вихря, а постоянство этой величины есть не что иное, как закон сохранения импульса.

Автомодельная задача. Для полученной системы уравнений необходимо, вообще говоря, задать начальное условие — начальное распределение завихренности, определяемое способом образования кольцевого вихря. Однако, как уже отмечалось раньше, распределение завихренности очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий, которое в дальнейшем линейно зависит от расстояния. Естественно поэтому предположить, что предельное распределение завихренности описывается автомодельным решением системы Гельмгольца (4).

Поставим следующую задачу, которую снова будем рассматривать и в осесимметричном и в плоском вариантах. Пусть в момент времени завихренность равна нулю всюду в безграничном пространстве, за исключением начала координат, где в осесимметричном случае расположен кольцевой вихрь бесконечно малого

радиуса и бесконечной большой интенсивности так, что

В плоском варианте будем считать, что в начале координат имеется вихревой диполь: пара вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга так, что

Легко видеть, что это импульсы кольцевого вихря в начальный момент соответственно для осесимметричного и плоского вариантов.

В такой постановке единственной размерной постоянной, определяющей движение вихря, будет в осесимметричном случае и плоском.

Следовательно, в осесимметричном случае искомые функции имеют такой вид:

а турбулентная вязкость в соответствии с (6) — вид

Анализ размерностей (см. § 4) позволяет уточнить вид этих функций, именно

где

а — постоянная. Таким образом, сформулированная задача оказывается автомодельной (см. гл. I).

В плоском случае точно так же можно заключить, что искомые функции имеют следующий вид:

где

Подставляя выражения (12) и (14) в (7), мы получим уравнения для определения и и Ограничимся далее плоским случаем здесь получается следующая система уравнений с частными производными:

Нам нужно найти решения этой системы со и стремящиеся к нулю на бесконечности и удовлетворяющие условию нормировки

которое следует из закона сохранения импульса и начального условия. Из соображений симметрии ясно также, что со и должны быть нечетными функциями от у.

Постоянная входящая в первое уравнение (16), остается неопределенной — ее величина должна определяться сравнением с экспериментом.

К сожалению, точное решение системы (16) получить не удается и мы ограничимся замечаниями общего характера. Назовем радиусом вихря и расстоянием, им пройденным, соответственно такие значения при которых функция имеет максимум при фиксированном значении Эти величины, очевидно, определяются равенствами, которые в осесимметричном случае имеют вид

здесь координаты точки, где достигает максимума функция положение этой точки зависит от

Равенства (19) определяют закон движения вихря. Из них сразу следует, что

где а Мы получаем, что радиус вихря линейно зависит от расстояния, им проходимого; этот результат хорошо подтверждается экспериментом. Величина а измеряется в эксперименте и оказывается малой порядка Зная а и имея решение системы (16), можно определить

Естественно ожидать, что малым а соответствуют малые и следовательно, для сравнения с экспериментом достаточно получить решение системы (16) для малых значений Но и эта задача оказалась сложной.

Модельная задача. Следуя Б. А. Луговцову [7], рассмотрим модельную задачу, в которой (16) заменяется похожей системой уравнений

где координаты точки максимума функции

Сделаем замену переменных, полагая

Тогда из первого уравнения (21) мы получим для уравнение

Оно допускает разделение переменных: полагая мы сведем его к обыкновенным дифференциальным уравнениям

где с — постоянная разделения. Нас интересуют решения, стремящиеся к нулю при кроме того, в силу (18) функция должна быть нечетной.

Эта задача хорошо изучена — в квантовой механике ей соответствует задача о гармоническом осцилляторе (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1]). Решения уравнений (22), удовлетворяющие нашим дополнительным условиям, существуют только при

Отсюда следует, что либо либо условие нечетности по оставляет только одну возможность Соответствующее решение имеет вид откуда

где -произвольная постоянная, определяемая нормировкой (17).

Во втором уравнении (21) теперь правая часть известна, и оно становится уравнением Пуассона, решение которого, обращающееся в нуль на бесконечности, определяется формулой

(см., например, В. С. Владимиров [2]).

Зная мы можем определить постоянную и найти окончательное решение модельной задачи:

здесь координаты точки максимума со

следовательно,

Это модельное решение можно использовать для грубой оценки положения максимума в точной задаче, что очень важно для возможности применения численных методов.

Сравнение с экпериментом. Закон движения вихря (19) дает хорошее согласие с экспериментом. Удобно преобразовать формулы (19) так, чтобы в них входили экспериментально измеряемые величины — начальный радиус и начальная скорость В качестве начала отсчета удобно выбирать не момент выхода вихря из отверстия, а более поздний момент, когда вихрь от отверстия отойдет на некоторое расстояние (че-тыре-пять диаметров отверстия), — это объясняется тем, что на вырабатывание автомодельного распределения завихренности в вихре необходимо некоторое время. Если время и расстояние проходимое вихрем, отсчитывать от этой точки, то вместо (19) получим

Рис. 125.

На рис. 125 кружками отмечены экспериментальные точки, соответствующие движению вихря, начальные параметры которого равны , а величина Сплошная кривая получена по формуле (26). Отклонение расчетной кривой от экспериментальных точек при больших объясняется тем, что турбулентная вязкость со временем уменьшается и, начиная с некоторого момента, делается сравнимой с

кинематической, после чего пренебрежение кинематической вязкостью становится неправомерным. После того как кинематическая вязкость становится существенной вихрь быстро останавливается.