Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1. Несжимаемая невязкая жидкостьОсновные уравнения. В некоторых вопросах сжимаемость среды оказывается несущественной, и ею можно пренебречь. В этом случае движение невязкой жидкости в отсутствии внешних сил описывается следующими уравнениями Эйлера:
Первое из этих уравнений представляет собой математическую запись условия несжимаемости, а второе является собственно уравнением движения: в левой его части стоит ускорение движущихся частиц, а в правой — действующие на них силы: гидродинамические Система (1) — (2) уравнений с частными производными имеет еще весьма общий характер, и в силу этого ее применения ограничиваются сравнительно узким кругом задач гидродинамики. Более содержательные приложения мы получим, если наложим на рассматриваемые движения некоторые дополнительные условия. Перечислим несколько таких условий. Потенциальность. Предположим, что жидкость находится в потенциальном силовом поле, т. е. действующие на нее внешние силы F имеют потенциал
(например, жидкость находится в поле тяжести, направленном по оси
Из этого следует, что если движение возникает из состояния покоя, то циркуляция по произвольному замкнутому «жидкому» контуру тождественно равна нулю. Отсюда в силу формулы Стокса, по которой
где
Величина Как известно, (4) представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности поля скоростей, т. е. существования скалярной функции
(здесь, как Условие потенциальности приводит к значительным упрощениям. Прежде всего, из (5) видно, что скорость вполне определяется потенциалом, так что вместо векторной искомой функции V нам достаточно найти скалярную
т. е. является гармонической функцией. Свойства гармонических функций хорошо изучены и широко используются в гидродинамике. Роль уравнения (2) сводится теперь к определению зависимости функции
(в которой у нас сейчас
Отсюда получается так называемый интеграл Коши — Лагранжа-.
где Ф — некоторая функция времени; он заменяет уравнение движения (2). Установившиеся движения. Однако и упрощения, обусловленные предположением о потенциальности, оказываются еще недостаточными, особенно если нужно получить не только качественные, но и количественные результаты. Дальнейшее упрощение мы получим, если предположим, что движение установившееся, т. е. что поле скоростей не зависит от времени. Тогда уравнение Лапласа (6) полностью описывает скорости, а соотношение (8) примет вид
в котором оно называется интегралом Бернулли. Таким образом, задача полностью свелась к отысканию той гармонической функции, которая соответствует условиям задачи. Интеграл Бернулли является теперь конечным (а не дифференциальным) соотношением, которое связывает величину скорости с давлением; потенциал Плоское движение. И все же запас гармонических функций столь велик, что отыскание той из них, которая отвечает условиям задачи, обычно бывает затруднительным. Поэтому лишь очень немногие пространственные задачи гидродинамики удается решить до конца. Значительно легче решаются плоские задачи, к которым приходят, делая дополнительное предположение о том, что поле скоростей плоскопараллельно. Это означает, что существует направление
Рис. 1. Такое поле полностью описывается полем скоростей в одной из плоскостей, перпендикулярных
Потенциал скоростей
и компоненты скорости будут выражаться через него так:
Первое уравнение (10) показывает, что выражение
Очевидно, направление касательной к линии
Функции, связанные такими соотношениями, называются сопряженными гармоническими. Существенные упрощения, вносимые предположением о том, что движение-—плоское, объясняются следующими двумя обстоятельствами: 1) функция тока, в терминах которой формулируются многие задачи, естественно вводится в плоском случае, а в пространственном ее введение затруднительно; 2) потенциал и функция тока в плоских задачах образуют в совокупности аналитическую функцию, а теория таких функций очень хорошо развита как с качественной, так и с количественной стороны. Применение схемы плоского движения далеко не ограничивается плоскопараллельными полями скоростей — она применяется для приближенного описания существенно более общих ситуаций. Например, ей можно пользоваться при изучении обтекании крыла самолета на значительной части его длины (теория крыла бесконечного размаха), лишь у концов крыла эта схема перестает действовать и нуждается в уточнениях.
Рис. 2. Осесимметрическое движение. Движение называется осесимметрическим, если все векторы скорости лежат в полуплоскостях, проходящих через некоторую прямую, называемую осью симметрии, причем во всех таких полуплоскостях картина поля одинакова (рис. 2). Поле скоростей осесимметрического движения полностью описывается плоским полем в любой из таких полуплоскостей. Ось симметрии мы примем за ось х, а расстояние до оси обозначим через у, через
Из второго уравнения следует, что выражение
причем из первого уравнения (15) видно, что
которое представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах, так что Согласно первому уравнению (15) выражение
откуда, как и в плоском случае, получается, что линии уровня
которое уже не является уравнением Лапласа, так что
Таким образом, осесимметрические движения во многом аналогичны плоским. Из отмеченных выше двух преимуществ плоского движения первое сохраняется для них полностью, а второе только частично: качественную теорию решений системы дифференциальных уравнений (20) построить удается довольно полно, а количественная теория далеко не так развита, как для решений системы (14), т. е. аналитических функций. Движение с заданной завихренностью. Как мы видели, существование потенциала скоростей При изучении ряда важных гидродинамических явлений схема потенциальных движений оказывается неприменимой и ее заменяют схемой движения с заданной завихренностью жидкость несжимаема, а внешние силы, на нее действующие, имеют потенциал
в котором оно называется уравнением в форме Лэмба. В такой форме уравнение движения удобно применять к движениям с заданной завихренностью. Остановимся на случае плоского движения. Здесь вектор завихренности
направлен перпендикулярно к плоскости течения и вполне характеризуется скалярной величиной
которую в этом случае мы и будем называть завихренностью. Предположим еще, что движение установившееся, тогда, подставив
Если ввести функцию тока
из которого видно, что величина
В приложениях вид этой зависимости обычно считается известным. Вводя функцию тока в (23), мы получим, что эта функция удовлетворяет уравнению с частными производными
Если функция Аналогичную ситуацию мы имеем и в случае движений с осевой симметрией. И здесь завихренность характеризуется скалярной величиной
из которого видно, что
где
Граничные условия. Вернемся к схеме потенциального движения. Решение задач гидродинамики в этой схеме сводится к отысканию решения уравнения с частными производными (6), удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые и отражают специфику задачи. Изучение свойств решений этого уравнения, не связанных с такими дополнительными условиями, может лишь прояснить общие свойства потенциальных течений, а вся тяжесть решения конкретных задач падает на формулировку этих условий и построение решения, которое им удовлетворяет. Дополнительные условия бывают двух родов: начальные и граничные; причем начальные условия нужно ставить только при изучении неустановившихся движений, для установившихся они не ставятся. Начальные условия сводятся к заданию в исходный момент времени (обычно
Заданная функция Дальнейшее движение определяется граничными условиями, которые задаются на границе
Рис. 3. а) Твердые подвижные границы. Пусть уравнение такой границы будет
где градиент, как всегда у нас, берется по пространственным переменным. Для твердых границ принимается еще условие непроницаемости, согласно которому
Таким образом, граничное условие в рассматриваемом случае имеет вид: для всех
б) Твердые неподвижные границы можно рассматривать как частный случай подвижных, когда функция F не зависит от
где в) Свободные границы. Форма таких границ заранее не задается, условие же (28) (или (29), если рассматриваемая граница неподвижна) сохраняется как кинематическое условие с неизвестной функцией
здесь В случае установившегося движения границы не зависят от Для плоского или осесимметрического установившегося движения граничные условия особенно хорошо формулируются в терминах функции тока. В самом деле, для таких движений линии тока Такая простая формулировка граничных условий в плоских и осесимметрических задачах и составляет одно из тех двух упрощающих обстоятельств, о которых говорилось выше.
|
1 |
Оглавление
|