§ 1. Несжимаемая невязкая жидкость

Основные уравнения. В некоторых вопросах сжимаемость среды оказывается несущественной, и ею можно пренебречь. В этом случае движение невязкой жидкости в отсутствии внешних сил описывается следующими уравнениями Эйлера:

Первое из этих уравнений представляет собой математическую запись условия несжимаемости, а второе является собственно уравнением движения: в левой его части стоит ускорение движущихся частиц, а в правой — действующие на них силы: гидродинамические и внешние

Система (1) — (2) уравнений с частными производными имеет еще весьма общий характер, и в силу этого ее применения ограничиваются сравнительно узким кругом задач гидродинамики. Более содержательные приложения мы получим, если наложим на рассматриваемые движения некоторые дополнительные условия. Перечислим несколько таких условий.

Потенциальность. Предположим, что жидкость находится в потенциальном силовом поле, т. е. действующие на нее внешние силы F имеют потенциал

(например, жидкость находится в поле тяжести, направленном по оси тогда Тогда оказывается справедливой теорема, согласно которой циркуляция Г вектора скорости по произвольному замкнутому «жидкому» контуру (т. е. замкнутой линии, состоящей из одних и тех же частиц жидкости; при фиксированном любой контур в пространстве является жидким контуром) в процессе движения остается постоянной:

Из этого следует, что если движение возникает из состояния покоя, то циркуляция по произвольному замкнутому «жидкому» контуру тождественно равна нулю. Отсюда в силу формулы Стокса, по которой

где поверхность, натянутая на контур силу произвольности поверхности можно заключить, что во все время движения

Величина называется завихренностью и определяет угловую скорость вращения элементарного объема жидкости. Уравнение (4) есть, таким образом, условие отсутствия вращения.

Как известно, (4) представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности поля скоростей, т. е. существования скалярной функции потенциала скоростей, такой, что

(здесь, как градиент берется только по пространственным координатам

Условие потенциальности приводит к значительным упрощениям. Прежде всего, из (5) видно, что скорость вполне определяется потенциалом, так что вместо векторной искомой функции V нам достаточно найти скалярную Далее, подставляя (5) в (1), мы видим, что Ф по пространственным переменным удовлетворяет уравнению Лапласа:

т. е. является гармонической функцией. Свойства гармонических функций хорошо изучены и широко используются в гидродинамике.

Роль уравнения (2) сводится теперь к определению зависимости функции от времени и определению давления Р. Но условие потенциальности позволяет упростить и это уравнение. В самом деле, пользуясь известной из векторного анализа формулой

(в которой у нас сейчас где — величина вектора скорости, а также формулами (3) и (5), мы можем записать уравнение (2) в виде

Отсюда получается так называемый интеграл Коши — Лагранжа-.

где Ф — некоторая функция времени; он заменяет уравнение движения (2).

Установившиеся движения. Однако и упрощения, обусловленные предположением о потенциальности, оказываются еще недостаточными, особенно если нужно получить не только качественные, но и количественные результаты. Дальнейшее упрощение мы получим, если предположим, что движение установившееся, т. е. что поле скоростей не зависит от времени. Тогда уравнение Лапласа (6) полностью описывает скорости, а соотношение (8) примет вид

в котором оно называется интегралом Бернулли.

Таким образом, задача полностью свелась к отысканию той гармонической функции, которая соответствует условиям задачи. Интеграл Бернулли является теперь конечным (а не дифференциальным) соотношением, которое связывает величину скорости с давлением; потенциал внешнего поля сил в обычных задачах известен.

Плоское движение. И все же запас гармонических функций столь велик, что отыскание той из них, которая отвечает условиям задачи, обычно бывает

затруднительным. Поэтому лишь очень немногие пространственные задачи гидродинамики удается решить до конца.

Значительно легче решаются плоские задачи, к которым приходят, делая дополнительное предположение о том, что поле скоростей плоскопараллельно. Это означает, что существует направление такое, что все скорости поля ему перпендикулярны, причем во всех плоскостях, перпендикулярных картина поля одинакова (так что при сдвиге в направлении поля совпадают, рис. 1).

Рис. 1.

Такое поле полностью описывается полем скоростей в одной из плоскостей, перпендикулярных Будем считать, что направление совпадает с направлением оси и обозначим через соответственно компоненты вектора скорости V по осям х и у. Тогда условия несжимаемости и потенциальности, т. е. уравнения (1) и (4), примут вид

Потенциал скоростей будет гармонической функцией двух переменных, т. е. будет удовлетворять двумерному уравнению Лапласа

и компоненты скорости будут выражаться через него так:

Первое уравнение (10) показывает, что выражение является (локально) точным дифференциалом некоторой функции так что

Очевидно, направление касательной к линии которое определяется из равенства совпадает с направлением вектора скорости см. рис. 1, поэтому линии уровня являются векторными линиями поля скоростей. При установившемся движении эти линии совпадают с траекториями движущихся частиц, т. е. с линиями тока, и потому называется функцией тока. Из второго уравнения (10) видно, что как и Ф, является гармонической функцией, а сравнение (12) и (13) показывает, что эти функции связаны соотношениями

Функции, связанные такими соотношениями, называются сопряженными гармоническими.

Существенные упрощения, вносимые предположением о том, что движение-—плоское, объясняются следующими двумя обстоятельствами: 1) функция тока, в терминах которой формулируются многие задачи, естественно вводится в плоском случае, а в пространственном ее введение затруднительно; 2) потенциал и функция тока в плоских задачах образуют в совокупности аналитическую функцию, а теория таких функций

очень хорошо развита как с качественной, так и с количественной стороны.

Применение схемы плоского движения далеко не ограничивается плоскопараллельными полями скоростей — она применяется для приближенного описания существенно более общих ситуаций. Например, ей можно пользоваться при изучении обтекании крыла самолета на значительной части его длины (теория крыла бесконечного размаха), лишь у концов крыла эта схема перестает действовать и нуждается в уточнениях.

Рис. 2.

Осесимметрическое движение. Движение называется осесимметрическим, если все векторы скорости лежат в полуплоскостях, проходящих через некоторую прямую, называемую осью симметрии, причем во всех таких полуплоскостях картина поля одинакова (рис. 2). Поле скоростей осесимметрического движения полностью описывается плоским полем в любой из таких полуплоскостей.

Ось симметрии мы примем за ось х, а расстояние до оси обозначим через у, через обозначим, соответственно, координаты вектора скорости в этой системе. Условия несжимаемости и потенциальности имеют в ней вид

Из второго уравнения следует, что выражение является (локально) точным дифференциалом функции которая называется потенциалом скоростей. Мы имеем

причем из первого уравнения (15) видно, что удовлетворяет соотношению

которое представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах, так что является гармонической функцией декартовых координат.

Согласно первому уравнению (15) выражение (также локально) является точным дифференциалом функции которая называется функцией тока. Мы имеем

откуда, как и в плоском случае, получается, что линии уровня являются линиями тока. Функция удовлетворяет уравнению

которое уже не является уравнением Лапласа, так что в декартовых координатах — не гармоническая функция. Функция тока и потенциал связаны соотношениями

Таким образом, осесимметрические движения во многом аналогичны плоским. Из отмеченных выше двух преимуществ плоского движения первое сохраняется для них полностью, а второе только частично: качественную теорию решений системы дифференциальных уравнений (20) построить удается довольно полно, а количественная теория далеко не так развита, как для решений системы (14), т. е. аналитических функций.

Движение с заданной завихренностью. Как мы видели, существование потенциала скоростей является следствием предположения об отсутствии завихренное? и, т. е. о том, что . В силу известного тождества справедливо и обратное — для потенциальных течений завихренность равна 0.

При изучении ряда важных гидродинамических явлений схема потенциальных движений оказывается неприменимой и ее заменяют схемой движения с заданной завихренностью Предполагая по-прежнему, что

жидкость несжимаема, а внешние силы, на нее действующие, имеют потенциал мы вводим так называемую функцию Лэмба

величина скорости, Р — давление, плотность). Тогда, применяя к уравнению движения (2) формулу (7), мы можем переписать это уравнение в виде

в котором оно называется уравнением в форме Лэмба. В такой форме уравнение движения удобно применять к движениям с заданной завихренностью.

Остановимся на случае плоского движения. Здесь вектор завихренности

направлен перпендикулярно к плоскости течения и вполне характеризуется скалярной величиной

которую в этом случае мы и будем называть завихренностью. Предположим еще, что движение установившееся, тогда, подставив в уравнение Лэмба (22), мы можем переписать его в виде двух скалярных равенств

Если ввести функцию тока по формулам (13) и приравнять смешанные производные функции , то получится тождество

из которого видно, что величина должна принимать постоянные значения на линиях уровня зависеть только от

В приложениях вид этой зависимости обычно считается известным.

Вводя функцию тока в (23), мы получим, что эта функция удовлетворяет уравнению с частными производными

Если функция не линейна, то уравнение (26) также является нелинейным и в силу этого оно весьма трудно для исследования. В случае постоянной правой части это уравнение легко сводится к уравнению Лапласа (см. гл. V этой книги).

Аналогичную ситуацию мы имеем и в случае движений с осевой симметрией. И здесь завихренность характеризуется скалярной величиной которая в принятых выше обозначениях координата вдоль оси симметрии, у — расстояние до этой оси) имеет вид (23). Тождество (24) заменяется тождеством

из которого видно, что

где некоторая функция. Функция тока удовлетворяет уравнению

Граничные условия. Вернемся к схеме потенциального движения. Решение задач гидродинамики в этой схеме сводится к отысканию решения уравнения с частными производными (6), удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые и отражают специфику задачи. Изучение свойств решений этого уравнения, не связанных с такими дополнительными

условиями, может лишь прояснить общие свойства потенциальных течений, а вся тяжесть решения конкретных задач падает на формулировку этих условий и построение решения, которое им удовлетворяет.

Дополнительные условия бывают двух родов: начальные и граничные; причем начальные условия нужно ставить только при изучении неустановившихся движений, для установившихся они не ставятся. Начальные условия сводятся к заданию в исходный момент времени (обычно области занятой жидкостью, и распределения потенциала в этой области

Заданная функция должна в удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. быть гармонической в

Дальнейшее движение определяется граничными условиями, которые задаются на границе области течения для любого момента Во многих задачах делится на три части (см. рис. 3): твердая неподвижная граница подвижная твердая граница и свободная граница Выпишем граничные условия, которые соответствуют этим частям.

Рис. 3.

а) Твердые подвижные границы. Пусть уравнение такой границы будет функция F считается заданной. Скорость движения границы в направлении нормали к ней равна

где градиент, как всегда у нас, берется по пространственным переменным. Для твердых границ принимается еще условие непроницаемости, согласно которому должна совпадать с нормальной (по отношению к границе) составляющей скорости движения жидкости, т. е. с величиной

Таким образом, граничное условие в рассматриваемом случае имеет вид: для всех удовлетворяющих уравнению где заданная функция, должно выполняться соотношение

б) Твердые неподвижные границы можно рассматривать как частный случай подвижных, когда функция F не зависит от Соответствующее граничное условие имеет, следовательно, вид: для всех х, удовлетворяющих уравнению и для всех должно выполняться соотношение

где — производная в направлении нормали к границе.

в) Свободные границы. Форма таких границ заранее не задается, условие же (28) (или (29), если рассматриваемая граница неподвижна) сохраняется как кинематическое условие с неизвестной функцией Зато обычно считают, что на свободной поверхности постоянно давление Р (равное атмосферному, если речь идет об открытых водоемах). На основании интеграла Коши-Лагранжа (8) это приводит к дополнительному соотношению, выполняемому на свободной границе:

здесь потенциал внешних сил, действующих на границу (функцию Ф из правой части (8) можно включить в как несущественное слагаемое).

В случае установившегося движения границы не зависят от поэтому на твердых (известных) участках должно выполняться граничное условие (29), а на свободных участках — то же условие (29) с неизвестной функцией F и еще условие (30), в котором отсутствует член с

Для плоского или осесимметрического установившегося движения граничные условия особенно хорошо

формулируются в терминах функции тока. В самом деле, для таких движений линии тока и линии взаимно ортогональны, и кроме того, из равенства нулю производной по какому-либо направлению следует, что равна нулю производная в направлении перпендикулярном Поэтому вдоль всей границы течения условие — 0 можно заменить условием где производная берется в направлении границы. Но последнее условие эквивалентно тому, что вдоль всей границы что граница является одной из линий тока.

Такая простая формулировка граничных условий в плоских и осесимметрических задачах и составляет одно из тех двух упрощающих обстоятельств, о которых говорилось выше.