Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава Х. ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬПростейшее представление об устойчивости и неустойчивости механических систем дает известный пример с тяжелым шариком на сферической поверхности или на плоскости — в зависимости от характера изменения потенциальной энергии шарика здесь различают случай устойчивого, неустойчивого или безразличного равновесия. Если на поверхности сферы имеется небольшая вмятина, как на рис. 134, а, то при малых смещениях (в линейной постановке задачи о равновесии) мы будем иметь устойчивость, а при больших смещениях (в нелинейной постановке задачи) получим неустойчивость.
Рис. 134. Рис. 134, б иллюстрирует динамическую потерю устойчивости — на поверхности сферы здесь имеется желобок, и наиболее вероятен случай, что шарик будет скатываться вниз именно по желобку; в этом случае скорость убывания потенциальной энергии будет больше, чем при движении в других направлениях. В этой главе мы рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к изучению динамических форм потери устойчивости механических систем. Начнем со случая стержней. § 38. Неустойчивость стержнейСтатическая и динамическая потери устойчивости. Простейший эксперимент, поясняющий различие между этими двумя формами потери устойчивости стержней, можно поставить так. Пусть стержень (т. е. упругая тонкая полоса) расположен вертикально, его нижний конец закреплен в твердом основании, а сверху на него действует не слишком большая вертикальная сила F (рис. 135). Если стержень немного отклонить от вертикального положения и затем отпустить, то он будет совершать затухающие колебания вокруг положения равновесия и через некоторое время вернется в это положение. Мы имеем случай устойчивого равновесия.
Рис. 135. Будем теперь постепенно увеличивать силу Величина критической силы Иначе ставится эксперимент по динамической потере устойчивости. Здесь в некоторый момент времени стержень немного изгибается, и к нему сразу прикладывается вертикальная сила, величина которой превышает критическую. Оказывается, что в этой постановке потеря устойчивости происходит иначе, чем при статическом нагружении. Ниже мы рассмотрим это различие подробнее. В механике упругих тел большинство изученных задач относится к случаю статической устойчивости. Наиболее классическая из таких задач была решена Л. Эйлером еще в 1744 году. Задача Эйлера. Пусть концы стержня закреплены шарнирно, причем нижний шарнир неподвижен, а верхний может перемещаться вертикально; к верхнему концу прикладывается вертикальная сила F (рис. 136). Предположим, что сечения стержня одинаковы, длина его равна При равновесии в каждом сечении стержня изгибающий момент упругих сил должен равняться моменту силы F относительно середины изогнутого стержня. Момент упругих сил, как известно, пропорционален кривизне стержня
Рис. 136. Задачу будем решать в линейном приближении, предполагая, что прогибы стержня малы. Тогда кривизна
(знак выбран с учетом того, что Общее решение уравнения (1) имеет вид
где
Условие шарнирного закрепления концов приводит к граничным условиям
из которых следует, что
Если
Мы получаем спектр собственных значений (6) величины
она называется эйлеровой силой. При медленном возрастании нагрузки F потеря устойчивости происходит при этом значении Отметим, что величина А амплитуды прогиба стержня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угодно большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обоснованным приближенное выражение для кривизны, которым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение Калифорнии (1968 г.) этим проблемам был посвящен обзорный доклад французского ученого Л. Готье. Динамическая постановка. При изучении действия взрыва на стержни и оболочки были обнаружены формы потери устойчивости, которые не укладываются в разобранную статическую схему [4]. Представим себе следующий эксперимент. Пусть имеется стержень, расположенный вертикально и закрепленный так же, как в предыдущей задаче. Мы предположим, что разрушение стержня наступает при малых деформациях, когда еще применима линейная теория. Пусть сверху к стержню мгновенно прилагается вертикальная сила Как мы видели выше, в схеме статического нагружения стержень разламывается на два куска. Опыт показывает, что в принятых здесь условиях стержень разламывается на несколько кусков, число которых зависит от отношения Как известно, уравнение малых движений стержня описывается дифференциальным уравнением
где Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (4), к которым теперь следует добавить
Если правая часть уравнения (9) также представлена рядом Фурье
где
Величина
которой соответствует изгиб стержня по синусоиде с Уравнение (11) показывает, что при
где
(мы считаем, что
Естественно ожидать, что если стержень не выдержит нагрузки и сломается, то число изломов будет равно именно этому числу. К тому же выводу можно прийти и из энергетических соображений. Существует принцип, согласно которому движение консервативной механической системы осуществляется так, чтобы в каждый данный момент ее полная потенциальная энергия была возможно меньшей. (Скажем, в примере, которым начиналась глава, шарик скатывается по желобку на сферической поверхности, если такой желобок есть.) Подсчитаем полную потенциальную энергию стержня в нашей задаче. Она составляется из энергии упругого изгиба стержня
и потенциала внешних сил
Так как
а значит,
Отсюда с учетом формул (12) получаем выражение полной потенциальной энергии для гармоники (13):
Мы видим, что минимальное значение 11 достигается для той гармоники
Рис. 137. Таким образом, мы двумя способами пришли к одному и тому же выводу: когда к стержню мгновенно прикладывается нагрузка На рис. 137 приведены фотографии эксперимента, иллюстрирующего изгиб стержня при динамической нагрузке и его разрушение на несколько кусков. Конечно, на практике наш вывод осуществляется лишь в вероятностном смысле: при проведении большого числа опытов среднее число осколков близко к Интересно отметить, что аналогичный результат наблюдается при мгновенном нагружении тонкостенной трубки, когда эта трубка подвергается внешнему давлению. Так же, как в случае стержня, имеется критическое давление Если нагрузка будет в
Рис. 138. Наиболее яркий пример динамической неустойчивости дает следующий опыт. Если тонкостенную трубку с заделанными концами погрузить в воду, а затем вблизи нижнего конца произвести взрыв, то трубка будет обжата так, что ее сечение будет волнистым с наибольшим количеством волн вблизи заряда (рис. 138). Хотя за последние 20 лет проблема динамической устойчивости значительно продвинулась, все же здесь осталось еще много нерешенных задач: динамическая устойчивость труб при осевой нагрузке, динамическая неустойчивость сферических оболочек и многие другие.
|
1 |
Оглавление
|