§ 9. Гармонические функции

Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа

В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности

по х, а второе по у и приравнивая смешанные производные мы найдем, что функция — действительная часть аналитической функции — является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической.

С другой стороны, для каждой гармонической в односвязной области функции и можно найти другую гармоническую в функцию V, которая называется сопряженной гармонической вместе с которой и удовлетворяет системе (2), так что будет

аналитической в . В самом деле, в силу уравнения (1) выражение в односвязной области является точным дифференциалом некоторой функции V, которая и является искомой. Таким образом, сопряженные гармонические функции находятся простым интегрированием.

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:

где столь мало, что круг принадлежит области гармоничности .

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области функция не может достигать внутри ни максимума, ни минимума.

Задача Дирихле. Принцип экстремума показывает, что гармоническая области и непрерывно продолжающаяся в замыкание функция полностью определяется своими значениями на границе. Действительно, пусть существуют две такие функции их и с одинаковыми граничными значениями. Тогда их разность будет гармонической в и непрерывной в функцией, равной нулю всюду на границе. По свойствам непрерывных функций должна достигать и максимума и минимума где-то в а по принципу экстремума это должно происходить на границе. Но там следовательно, и максимум и минимум оба равны нулю. Таким образом, т. е. всюду в

Возникает естественная задача восстановления гармонической в области функции по ее граничным

значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется:

На границе у области задана функция требуется найти гармоническую в и непрерывную в функцию так, чтобы в каждой точке она принимала заданные значения

Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией.

Пусть, например, представляет собой единичный круг. Предположим сначала, что задача решена и мы нашли гармоническое продолжение заданной на окружности функции Тогда мы можем построить сопряженную с ней гармоническую функцию и к аналитической в круге функции применить интегральную формулу Коши:

Постараемся преобразовать правую часть этой формулы так, чтобы ее действительная часть содержала лишь известные граничные значения и и не зависела от Для этого возьмем точку и, заметив, что она не принадлежит единичному кругу (ибо у нас и, следовательно, , воспользуемся теоремой Коши, по которой

Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что

(у нас ) и что при мы имеем мы получим

Наша цель достигнута, ибо справа при теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так называемый интеграл Пуассона

Прямой оценкой можно доказать, что он и решает задачу Дирихле для круга — при любой непрерывной на окружности функции определяет гармоническую в круге функцию с заданными граничными значениями.

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию по граничным значениям ее действительной части:

эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной.

Такую же задачу для полосы решает формула

где обозначают, соответственно, значения действительной части на нижней и верхней границах полосы.

Связь с конформными отображениями. Между гармоническими и аналитическими функциями имеется еще

одна связь — гармоничность сохраняется при аналитических преобразованиях. Это выражается следующей теоремой: если функция и гармонична в области а функция аналитична в области и принимает там значения из то сложная функция гармонична в А. Теорема доказывается прямым подсчетом, по которому оператор Лапласа

В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования.

Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана:

Заданы две односвязные области и требуется построить функцию реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение на единичный круг то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, продолжается до непрерывного и взаимно однозначного отображения на А. Поэтому на единичной окружности мы можем рассматривать обратную к функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения: . Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге функцию

Остается вернуться к переменной и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях; мы получим искомое решение:

Во многих случаях оказывается полезным обратный ход — построение конформного отображения области на единичный круг при помощи решения в задачи Дирихле. Зададимся точкой которую искомое отображение переводит в центр круга (рис. 19).

Рис. 19.

В ней функция должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности функция должна иметь тейлоровское разложение вида

где Отсюда следует, что функция аналитична в точке а в остальных точках она и подавно аналитична. Нигде в области эта функция не обращается в 0, потому что числитель дроби равен 0 лишь при но там эта функция равна Но тогда логарифм этой функции аналитичен в а значит, его действительная часть, т. е. функция

должна быть гармонической в

Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если отображает на единичный

круг, то должен равняться 1 на границе а значит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны

и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой (рис. 19). Чтобы найти искомое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным граничным значениям построить гармоническую в функцию (задача Дирихле), 2) найти функцию гармонически сопряженную с и (интегрирование).

Рис. 20.

Теперь мы знаем функцию

откуда искомое отображение находится по формуле

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция аналитична в В и что на границе ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения на круг), то такая проверка излишня — проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11).

В заключение заметим, что задача конформного отображения криволинейной полосы на прямолинейную полосу с нормировкой сводится к задаче Дирихле еще проще. Из геометрических соображений (рис. 20) ясно, что гармоническая функция на нижней границе полосы должна принимать значение а на верхней границе Г — значение кроме того, функция должна быть ограниченной Таким образом, искомую гармоническую функцию мы знаем на всей границе области исключая бесконечные точки Можно доказать, что эта обобщенная задача Дирихле имеет и притом единственное решение в классе ограниченных гармонических функций. Интегрированием мы найдем сопряженную гармоническую к функцию и (с точностью до постоянного слагаемого) и тогда будет искомым конформным отображением.

Литература

(см. скан)