Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9. Гармонические функцииСвязь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа
В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности
по х, а второе по у и приравнивая смешанные производные С другой стороны, для каждой гармонической в односвязной области аналитической в Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:
где Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области Задача Дирихле. Принцип экстремума показывает, что гармоническая Возникает естественная задача восстановления гармонической в области функции по ее граничным значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется: На границе у области Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией. Пусть, например,
Постараемся преобразовать правую часть этой формулы так, чтобы ее действительная часть содержала лишь известные граничные значения и и не зависела от
Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что
(у нас
Наша цель достигнута, ибо справа при
Прямой оценкой можно доказать, что он и решает задачу Дирихле для круга — при любой непрерывной на окружности функции Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию
эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной. Такую же задачу для полосы
где Связь с конформными отображениями. Между гармоническими и аналитическими функциями имеется еще одна связь — гармоничность сохраняется при аналитических преобразованиях. Это выражается следующей теоремой: если функция и
В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования. Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана: Заданы две односвязные области Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области
Остается вернуться к переменной
Во многих случаях оказывается полезным обратный ход — построение конформного отображения области
Рис. 19. В ней функция
где
должна быть гармонической в Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если круг, то
и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой
Рис. 20. Теперь мы знаем функцию
откуда искомое отображение находится по формуле
Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция В заключение заметим, что задача конформного отображения криволинейной полосы Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|