§ 6. Дифференцирование комплексных функций

Производная. Пусть в области плоскости задана пара дифференцируемых функций двух переменных:

мы будем рассматривать ее как функцию комплексного переменного принимающую комплексные значения

Для таких функций естественно ввести понятие производной в точке как предела

где комплексное число стремится к нулю (т. е. произвольным образом, лишь бы только в эллиптическом и в гиперболическом случае.

Легко видеть, что дифференцируемости функций недостаточно для существования производной . В самом деле, дифференцируемость функций (1) означает возможность выделения из их приращений главной линейной части

где - частные производные в точке малые высшего порядка относительно Если подставить эти выражения в (2), то

будет видно, что в общем случае предел зависит от способа приближения к 0, т. е. не существует в смысле принятого нами определения (в ко тором требуется существование предела при произвольном стремлении h к 0).

Мы придем к дополнительным условиям, необходимым для существования если потребуем совпадения пределов при двух различных способах стремления h к нулю: а) в направлении оси х, когда и б) в направлении оси у, когда Сравнивая эти пределы, мы получим

т. e. . В эллиптическом случае, когда это условие приводит к уравнениям

а в гиперболическом, когда к уравнениям

Легко проверить, что эти соотношения и достаточны для существования при условии дифференцируемости функций u и у, т. е. что при их выполнении предел (2) существует независимо от способа приближения h к 0.

Аналитичность. Таким образом, комплексная дифференцируемость (т. е. существование производной оказывается более ограничительным требованием, чем обычная дифференцируемость функций и и у. Мы скоро увидим, однако, что дополнительные ограничения, связанные с комплексной дифференцируемостью, имеют естественный геометрический и физический смысл. Именно эти ограничения и приводят к созданию аппарата, хорошо описывающего плоские течения жидкости.

Функции, имеющие производную в каждой точке области называются аналитическими в этой области, если мы имеем дело с обычными комплексными числами; в случае гиперболической системы мы будем

называть их гиперболически аналитическими, или, короче, h-аналитическими. Уравнения (4) и (5) называют соответственно условиями аналитичности и -аналитичности. Первые из них называют еще условиями Коши — Римана.

Примеры. Хотя условия аналитичности и -аналитичности довольно ограничительны (например, такая простая функция, как не является ни аналитической, ни -аналитической), им все же удовлетворяет весьма большой запас функций. Приведем примеры таких функций.

1) Полиномы

где произвольные комплексные постоянные, а Здесь произведения могут пониматься как в эллиптическом, так и в гиперболическом смысле, например,

(в обычном смысле) или

(в гиперболическом смысле). В обеих случаях производная

существует для всех комплексных 2.

2) Рациональные дроби

аналитичны всюду, где знаменатель отличен от нуля -аналитичны, где знаменатель не является делителем нуля). Легко видеть, что производная вычисляется по той же формуле, что и в действительном анализе.

3) Показательная функция. По определению в эллиптическом случае полагаем

а в гиперболическом

Прямой подсчет показывает, что эти функции удовлетворяют условиям (4) или соответственно (5) во всей плоскости и что для них сохраняется обычная формула дифференцирования

4) Логарифм определяется как функция, обратная показательной. В эллиптическом случае, полагая мы находим из соотношения по формуле (9): Значение определено лишь с точностью до целого кратного поэтому и логарифм оказывается многозначным:

Выделяя одно какое-либо значение аргумента, мы выделяем и одно значение логарифма:

Если в окрестности точки выделить какую-нибудь однозначную и непрерывную ветвь аргумента (обозначим ее через то соответствующая однозначная ветвь логарифма окажется аналитической функцией; в этом смысле называют многозначной аналитической функцией. Заметим, что производная логарифма не зависит от выбора ветви и всегда равна в этом смысле можно говорить, что (многозначный) логарифм имеет (однозначную) производную:

В гиперболическом случае, ограничиваясь числами мы получим, что логарифм определяется той же формулой (12), в которой теперь Это — однозначная -аналитическая функция с производной, равной (деление — гиперболическое).

5) Тригонометрические функции в эллиптическом случае просто выражаются через показательную, например,

(для комплексных мы принимаем эти формулы за определение). Они также аналитичны во всей плоскости и для них сохраняются обычные формулы дифференцирования. В гиперболическом случае аналогично выражаются

Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или -аналитичность) функций; такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций — это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов: однозначного и многозначного характера.

Особые точки однозначного характера делятся на полюсы, при приближении к которым функция стремится к бесконечности, и существенные особенности, при приближении к которым функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Примером полюса служит точка для любой функции где целое положительное число, примером существенной особенности — та же точка для функции справа по действительной оси эта функция стремится к бесконечности, а слева — к нулю).

Особые точки многозначного характера называются еще точками ветвления. Они характеризуются тем, что в их окрестности нельзя выделить однозначных и непрерывных ветвей рассматриваемой функции. Примером такой особенности является точка для функций где целое число, большее 1 (точка ветвления конечного порядка), и для функции (точка ветвления бесконечного порядка, или логарифмическая точка ветвления). При полном однократном обходе окружности аргумент числа

меняется на так что изменится на и функция придет к другому своему значению; лишь -кратный обход этой окружности приведет к начальному значению функции. Для логарифма однократный обход такой окружности меняет на мнимую часть этой функции, а каждый новый обход в том же направлении будет снова добавлять к функции значение двигаясь по окружности в одну сторону, мы никогда не вернемся к начальному значению.