будет видно, что в общем случае предел
зависит от способа приближения
к 0, т. е. не существует в смысле принятого нами определения (в ко тором требуется существование предела при произвольном стремлении h к 0).
Мы придем к дополнительным условиям, необходимым для существования
если потребуем совпадения пределов при двух различных способах стремления h к нулю: а) в направлении оси х, когда
и б) в направлении оси у, когда
Сравнивая эти пределы, мы получим
т. e.
. В эллиптическом случае, когда
это условие приводит к уравнениям
а в гиперболическом, когда
к уравнениям
Легко проверить, что эти соотношения и достаточны для существования
при условии дифференцируемости функций u и у, т. е. что при их выполнении предел (2) существует независимо от способа приближения h к 0.
Аналитичность. Таким образом, комплексная дифференцируемость (т. е. существование производной
оказывается более ограничительным требованием, чем обычная дифференцируемость функций и и у. Мы скоро увидим, однако, что дополнительные ограничения, связанные с комплексной дифференцируемостью, имеют естественный геометрический и физический смысл. Именно эти ограничения и приводят к созданию аппарата, хорошо описывающего плоские течения жидкости.
Функции, имеющие производную
в каждой точке области
называются аналитическими в этой области, если мы имеем дело с обычными комплексными числами; в случае гиперболической системы мы будем
называть их гиперболически аналитическими, или, короче, h-аналитическими. Уравнения (4) и (5) называют соответственно условиями аналитичности и
-аналитичности. Первые из них называют еще условиями Коши — Римана.
Примеры. Хотя условия аналитичности и
-аналитичности довольно ограничительны (например, такая простая функция, как
не является ни аналитической, ни
-аналитической), им все же удовлетворяет весьма большой запас функций. Приведем примеры таких функций.
1) Полиномы
где
произвольные комплексные постоянные, а
Здесь произведения могут пониматься как в эллиптическом, так и в гиперболическом смысле, например,
(в обычном смысле) или
(в гиперболическом смысле). В обеих случаях производная
существует для всех комплексных 2.
2) Рациональные дроби
аналитичны всюду, где знаменатель отличен от нуля
-аналитичны, где знаменатель не является делителем нуля). Легко видеть, что производная вычисляется по той же формуле, что и в действительном анализе.
3) Показательная функция. По определению в эллиптическом случае полагаем
а в гиперболическом
Прямой подсчет показывает, что эти функции удовлетворяют условиям (4) или соответственно (5) во всей плоскости
и что для них сохраняется обычная формула дифференцирования
4) Логарифм определяется как функция, обратная показательной. В эллиптическом случае, полагая
мы находим из соотношения
по формуле (9):
Значение
определено лишь с точностью до целого кратного
поэтому и логарифм оказывается многозначным:
Выделяя одно какое-либо значение аргумента, мы выделяем и одно значение логарифма:
Если в окрестности точки
выделить какую-нибудь однозначную и непрерывную ветвь аргумента (обозначим ее через
то соответствующая однозначная ветвь логарифма
окажется аналитической функцией; в этом смысле
называют многозначной аналитической функцией. Заметим, что производная логарифма не зависит от выбора ветви и всегда равна
в этом смысле можно говорить, что (многозначный) логарифм имеет (однозначную) производную:
В гиперболическом случае, ограничиваясь числами
мы получим, что логарифм определяется той же формулой (12), в которой теперь
Это — однозначная
-аналитическая функция с производной, равной
(деление — гиперболическое).
5) Тригонометрические функции в эллиптическом случае просто выражаются через показательную, например,
(для комплексных
мы принимаем эти формулы за определение). Они также аналитичны во всей плоскости и для них сохраняются обычные формулы дифференцирования. В гиперболическом случае аналогично выражаются
Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или
-аналитичность) функций; такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций — это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов: однозначного и многозначного характера.
Особые точки однозначного характера делятся на полюсы, при приближении к которым функция стремится к бесконечности, и существенные особенности, при приближении к которым функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Примером полюса служит точка
для любой функции
где
целое положительное число, примером существенной особенности — та же точка для функции
справа по действительной оси эта функция стремится к бесконечности, а слева — к нулю).
Особые точки многозначного характера называются еще точками ветвления. Они характеризуются тем, что в их окрестности нельзя выделить однозначных и непрерывных ветвей рассматриваемой функции. Примером такой особенности является точка
для функций
где
целое число, большее 1 (точка ветвления конечного порядка), и для функции
(точка ветвления бесконечного порядка, или логарифмическая точка ветвления). При полном однократном обходе окружности
аргумент
числа