§ 20. Задачи со свободными границами

Сюда относится большой круг классических задач, в которых ищется движение идеальной жидкости или идеального газа в областях с частично известными границами. Неизвестную часть границы в этих задачах нужно определить из каких-либо дополнительных условий. Простейшим из таких условий является постоянство на неизвестной части границы величины скорости (задача Кирхгофа). Другое важное условие выступает в задачах о волновых движениях тяжелой несжимаемой жидкости: условие постоянства давления на волновую поверхность согласно интегралу Бернулли (см. § 1) приводит на искомой части границы к условию

где ускорение силы тяжести, плотность жидкости, К — величина скорости и А — некоторая постоянная.

Задача Кирхгофа. Начнем с простейшей задачи о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной

поверхностью в условиях, когда силой тяготения можно пренебречь, движение плоско параллельно и давление над свободной поверхностью постоянно. Из интеграла Бернулли тогда следует, что на свободной поверхности постоянна величина скорости V, и математически задача ставится следующим образом.

Задана кривая — дно водоема, причем предполагается, что функция непрерывна и ограничена вместе с двумя производными на всей оси х; задан также расход h. Требуется найти свободную поверхность, т. е. кривую

так, чтобы на ней величина скорости течения была заданной постоянной величиной.

Если ввести комплексный потенциал течения то эта задача сводится к геометрической задаче построения конформного отображения на полосу области типа полосы, у которой нижняя граница задана, а верхняя Г неизвестна — известно только, что на ней постоянно растяжение отображение нормируется условиями

Разрешимость и единственность решения задачи Кирхгофа можно доказать вариационным методом. Сущность этого метода состоит в следующем. Если задаться кривой Г, удовлетворяющей неравенству (2), то можно найти конформное отображение области ограниченной кривыми на полосу причем условия нормировки определяют это отображение с точностью до постоянного слагаемого. Предположим еще, что функция ограничена вместе с двумя производными, тогда на Г существует ограниченная производная и можно рассматривать величину

которая при фиксированной постоянной С вполне определяется кривой Г.

Таким образом, каждой кривой Г из некоторого множества ставится в соответствие число причем близким кривым (с учетом значений функций и их первых двух производных) соответствуют близкие

значения В таких случаях говорят, что на рассматриваемом множестве кривых задан непрерывный функционал. Далее, нужно сузить множество допустимых кривых до компактного множества, т. е. такого, что из любой последовательности принадлежащих ему кривых можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой кривой из того же множества (в смысле близости с учетом значений функций и их первых двух производных). Для этого нужно задать постоянные в следующих неравенствах:

Если выбрать кривую то при малых растяжение на Г будет большим, а при больших малым, поэтому при заданном значении скорости С можно выбрать постоянные так, чтобы на кривой К растяжение было всюду больше С, а на кривой - всюду меньше С. В остальных неравенствах мы считаем достаточно большими.

Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, на таком множестве непрерывный функционал достигает своего наименьшего значения. Пользуясь вариационным принципом для конформных отображений полос, можно доказать, что если бы полученное наименьшее значение было отличным от нуля, то оставаясь в классе допустимых кривых, можно было бы проварьировать Г так, чтобы величина уменьшилась. Отсюда следует, что т. е. что построенная кривая — искомая. Из того же вариационного принципа можно заключить, что кривая Г, которая дает решение задачи, определяется единственным образом. Подробнее об этом методе см. М. А. Лаврентьев [2].

Аналитическое решение задачи можно получить, если воспользоваться выражением для растяжения конформного отображения на полосу области типа полосы, которое приводилось в гл. III. Этот путь приводит к интегральному уравнению, из которого можно найти искомую функцию При дополнительных ограничениях

на форму дна задачу можно решить и для случая сжимаемой жидкости.

Волны в тяжелой жидкости. Если считать дно водоема плоским (т. е. совпадающей с осью то задача об установившемся волновом движении тяжелой несжимаемой жидкости сведется к следующей задаче теории конформных отображений:

Построить периодическую кривую (рис. 52), так, чтобы при конформном отображении области на полосу всюду на Г удовлетворялось условие

где некоторая постоянная (интеграл Бернулли).

Рис. 52.

Обозначим через соответственно максимальное и минимальное значения функции Из вариационного принципа для отображения полос следует, что в точке максимума растяжение а в точке минимума Подставляя это в (5), мы получим

Но функция при достигает своего единственного минимума, а так как у нас должно быть то мы заключаем, что при

возможны лишь тривиальные движения, для которых т. е.

Трудность этой задачи состоит в том, что граничное условие (5) нелинейно — оно содержит квадрат модуля искомой функции. Задача существенно упрощается, если рассматривать только волны малой амплитуды, для которых кривая Г мало отличается от прямой

при такой гипотезе условие (5) можно приближенно заменить линейным. Для этой цели мы полагаем комплексный потенциал где аналитическая функция со столь малой производной, что ее квадратом можно пренебречь. Таким образом, у нас

имеем Подставляя это в (5), получим приближенно

или, после замены и введения новых постоянных и

Наконец, заметим, что в пределах принятой точности граничное условие (7) можно снести с кривой Г на прямую Мы приходим к следующей линейной граничной задаче: найти гармоническую в полосе функцию равную 0 при и удовлетворяющую условию (7) при волновая поверхность, соответствующая решению этой задачи, находится по формуле

Эта задача решается в элементарных функциях. В самом деле, функция

гармонична при любом выборе значений параметров равна 0 при и нам остается выбрать эти параметры так, чтобы удовлетворить условию (7). Мы приходим к тождеству

для выполнения которого необходимы и достаточны соотношения

У нас остался неопределенным параметр В, его можно найти из нормировочного условия откуда

Задача свелась к вопросу о разрешимости первого уравнения (10), которое после введения переменной можно переписать в виде

Это уравнение, очевидно, разрешимо при при 1 оно не имеет решений. Легко видеть, что последнее неравенство совпадает с (6), так что условия разрешимости общей и линеаризованной задачи о волнах оказываются одинаковыми.

Учет нелинейности. В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экспериментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каждый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значительной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум.

Более точную теорию (которая, в частности, включает и эти явления) мы получим, если при той же гипотезе малости амплитуды воспользуемся приближенной формулой для растяжения при конформном отображении узких полос:

Подставляя это выражение в граничное условие (5), мы получим для определения формы свободной поверхности обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. В пределах принятой точности в этом

уравнении можно пренебречь членом с и тогда оно примет вид

где положительные постоянные, определяемые физическими параметрами задачи. Заметим, что в качестве таких физических параметров естественно принять так называемую среднюю глубину водоема

и расход

Правая часть дифференциального уравнения (13) имеет три корня (два из которых, возможно, комплексные сопряженные). Можно доказать, что у него существуют решения ограниченные на всей оси, лишь в том случае, когда из этих корней в точности два положительны и различны (тогда третий корень непременно отрицателен). Предположим, что это условие выполняется; пусть будут такие корни, и рассмотрим для уравнения (13) начальную задачу

Для определенности будем считать, что т. е. ограничимся рассмотрением тех волн, которые в точке имеют гребень, а не впадину; для этого нужно предположить, что

Меняя мы получим однопараметрическое семейство волн различной длины. При это прямая, при и мало отличающихся от периодическая кривая с крутыми горбами и пологими впадинами. При возрастании период кривой возрастает, и при стремящемся к некоторому значению которое, можно выразить через параметры период возрастает неограниченно — мы получаем кривую с единственным максимумом в точке т. е. уединенную волну (рис. 53).

Пользуясь вариационными методами теории конформных отображений, можно доказать, что в окрестности построенного только что описанным методом

приближенного решения существует единственное точное решение, причем ширина этой окрестности мала по сравнению с амплитудой приближенного решения (см. М. А. Лаврентьев [2]).

Рис. 53.

Волна Стокса. В настоящее время методы теории функций и функционального анализа позволили решить почти все вопросы, связанные с существованием и единственностью волн в тяжелой жидкости. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться, например, по сборникам [9] и [10]. Остановимся на одном из оставшихся нерешенными вопросов — доказательстве существования так называемой предельной волны Стокса, которая имеет острия на гребнях.

Даже проведенное выше приближенное исследование, в котором было принято условие малости амплитуды, показало, что при увеличении амплитуды волны ее горб становится круче. Если же отказаться от этого условия, то естественно ожидать, что увеличение амплитуды до некоторого критического значения приведет к появлению на грёбнях волны острых углов. Это явление было предсказано еще Стоксом, и оно хорошо подтверждается экспериментами.

Величину угла на гребне волны легко подсчитать, пользуясь граничным условием (5) и свойствами конформных отображений. В самом деле, пусть угол на гребне волны равен а (рис. 54), тогда в окрестности точки уравнение волновой поверхности должно иметь вид

Учитывая поведение конформного отображения в угловых точках (§ 12), можно заключить, что в окрестности точки комплексный потенциал течения

имеет разложение вида

где и следовательно, Подставляя это в (5), мы находим, что Теперь подставим в (5) выражения (16) и (17) и получим соотношение

из которого вытекает, что непременно должно быть Отсюда заключаем, что и значит, угол на гребне волны Читатель, без сомнения, не раз видел волны с такими углами в 120° на гребнях (см. рис. 54).

Рис. 54.

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала:

(т. е. не есть критическая точка течения).

Ю. П. Красовекий [11] указал достаточное условие, обеспечивающее выполнение (18) и, следовательно, гладкость волновой поверхности: угол наклона волны к оси х строго меньше критического значения .

Вопрос о существовании волн с угловыми точками на поверхности, т. е. с углами наклона, большими или равными у, до сих пор остается открытым. Получены доказательства существования (гладких) волн с наклонами, близкими к критическому, но критическое значение еще не достигнуто и, таким образом, существование волны Стокса не доказано.