Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 20. Задачи со свободными границамиСюда относится большой круг классических задач, в которых ищется движение идеальной жидкости или идеального газа в областях с частично известными границами. Неизвестную часть границы в этих задачах нужно определить из каких-либо дополнительных условий. Простейшим из таких условий является постоянство на неизвестной части границы величины скорости (задача Кирхгофа). Другое важное условие выступает в задачах о волновых движениях тяжелой несжимаемой жидкости: условие постоянства давления на волновую поверхность согласно интегралу Бернулли (см. § 1) приводит на искомой части границы
где Задача Кирхгофа. Начнем с простейшей задачи о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в условиях, когда силой тяготения можно пренебречь, движение плоско параллельно и давление над свободной поверхностью постоянно. Из интеграла Бернулли тогда следует, что на свободной поверхности постоянна величина скорости V, и математически задача ставится следующим образом. Задана кривая
так, чтобы на ней величина скорости течения была заданной постоянной величиной. Если ввести комплексный потенциал течения Разрешимость и единственность решения задачи Кирхгофа можно доказать вариационным методом. Сущность этого метода состоит в следующем. Если задаться кривой Г, удовлетворяющей неравенству (2), то можно найти конформное отображение
которая при фиксированной постоянной С вполне определяется кривой Г. Таким образом, каждой кривой Г из некоторого множества ставится в соответствие число значения
Если выбрать кривую Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, на таком множестве непрерывный функционал Аналитическое решение задачи можно получить, если воспользоваться выражением для растяжения конформного отображения на полосу области типа полосы, которое приводилось в гл. III. Этот путь приводит к интегральному уравнению, из которого можно найти искомую функцию на форму дна задачу можно решить и для случая сжимаемой жидкости. Волны в тяжелой жидкости. Если считать дно водоема плоским (т. е. Построить периодическую кривую
где
Рис. 52. Обозначим через
Но функция
возможны лишь тривиальные движения, для которых Трудность этой задачи состоит в том, что граничное условие (5) нелинейно — оно содержит квадрат модуля искомой функции. Задача существенно упрощается, если рассматривать только волны малой амплитуды, для которых кривая Г мало отличается от прямой при такой гипотезе условие (5) можно приближенно заменить линейным. Для этой цели мы полагаем комплексный потенциал где
имеем
или, после замены и введения новых постоянных и
Наконец, заметим, что в пределах принятой точности граничное условие (7) можно снести с кривой Г на прямую
Эта задача решается в элементарных функциях. В самом деле, функция
гармонична при любом выборе значений параметров
для выполнения которого необходимы и достаточны соотношения
У нас остался неопределенным параметр В, его можно найти из нормировочного условия
Задача свелась к вопросу о разрешимости первого уравнения (10), которое после введения переменной
Это уравнение, очевидно, разрешимо при Учет нелинейности. В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экспериментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каждый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значительной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум. Более точную теорию (которая, в частности, включает и эти явления) мы получим, если при той же гипотезе малости амплитуды воспользуемся приближенной формулой для растяжения при конформном отображении узких полос:
Подставляя это выражение в граничное условие (5), мы получим для определения формы свободной поверхности обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. В пределах принятой точности в этом уравнении можно пренебречь членом с
где
и расход Правая часть дифференциального уравнения (13) имеет три корня (два из которых, возможно, комплексные сопряженные). Можно доказать, что у него существуют решения
Для определенности будем считать, что Меняя Пользуясь вариационными методами теории конформных отображений, можно доказать, что в окрестности построенного только что описанным методом приближенного решения существует единственное точное решение, причем ширина этой окрестности мала по сравнению с амплитудой приближенного решения (см. М. А. Лаврентьев [2]).
Рис. 53. Волна Стокса. В настоящее время методы теории функций и функционального анализа позволили решить почти все вопросы, связанные с существованием и единственностью волн в тяжелой жидкости. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться, например, по сборникам [9] и [10]. Остановимся на одном из оставшихся нерешенными вопросов — доказательстве существования так называемой предельной волны Стокса, которая имеет острия на гребнях. Даже проведенное выше приближенное исследование, в котором было принято условие малости амплитуды, показало, что при увеличении амплитуды волны ее горб становится круче. Если же отказаться от этого условия, то естественно ожидать, что увеличение амплитуды до некоторого критического значения приведет к появлению на грёбнях волны острых углов. Это явление было предсказано еще Стоксом, и оно хорошо подтверждается экспериментами. Величину угла на гребне волны легко подсчитать, пользуясь граничным условием (5) и свойствами конформных отображений. В самом деле, пусть угол на гребне волны
Учитывая поведение конформного отображения в угловых точках (§ 12), можно заключить, что в окрестности точки имеет разложение вида
где
из которого вытекает, что непременно должно быть
Рис. 54. Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки
(т. е. Ю. П. Красовекий [11] указал достаточное условие, обеспечивающее выполнение (18) и, следовательно, гладкость волновой поверхности: угол наклона волны к оси х строго меньше критического значения Вопрос о существовании волн с угловыми точками на поверхности, т. е. с углами наклона, большими или равными у, до сих пор остается открытым. Получены доказательства существования (гладких) волн с наклонами, близкими к критическому, но критическое значение еще не достигнуто и, таким образом, существование волны Стокса не доказано.
|
1 |
Оглавление
|