Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 12. Вариационные принципыЭти богатые как математическими, так и механическими приложениями принципы показывают, как меняются конформные (или квазиконформные) отображения при малом изменении отображаемых областей. Основной принцип. Сформулируем один из таких принципов для случая конформного отображения области типа полосы. Пусть
Рис. 31. Основной вариационный принцип утверждает, что если заменить Г кривой 1) все линии уровня опустятся, причем соприкосновение 2) в любой точке
3) во всех точках
(при этом знак равенства в (1) и (2) достигается только при отсутствии деформации); 4) в точках наибольшей деформации, где
Принцип допускает простую механическую трактовку: при вдавливании одной стенки канала все линии тока прижимаются к противоположной стенке, скорости течения в точках недеформированной стенки и в точках наибольшей деформации возрастут, а в точках первой стенки, оставшихся недеформированными, уменьшатся. Этот принцип выводится из принципа максимума для гармонических функций. Рассмотрим в
отсюда следует утверждение 1). Утверждения 2) и 3) также получаются из неравенства (4), если заметить, что остались на месте, В такой качественной постановке принцип можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат и имеют вид
В частности, мы получим тогда, что описанный выше закон изменения линий тока и скоростей течения в канале при деформации его стенки полностью распространяется на газовые потоки со скоростью, нигде не достигающей скорости звука. Количественные уточнения. Доказанный принцип допускает и количественное уточнение. Для случая конформных отображений это уточнение получается несложно на основе формулы (8) § 10 для отображения полосы с выброшенной малой луночкой на полосу. Пусть область
где конформного отображения проварьированной полосы
где В пределе, когда верхняя граница области
Эта формула дает возможность количественно оценить, насколько сдвигаются линии тока при нашей деформации контура. Дифференцируя ее, получим формулу
по которой можно оценить, насколько при деформации меняются скорости. Особо отметим, что в случае локальной вариации, когда верхняя граница полосы деформируется лишь в малой окрестности точки Это утверждение называют принципом локализации. Для простейшего случая прямолинейной полосы оно вытекает непосредственно из формул (7) и (8); оно имеет место и для произвольных гладких областей типа полосы, причем постоянная также от верхних оценок для наклона и кривизны ее границ). Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно получить и для квазиконформных отображений, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем вида (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие сильную эллиптичность системы. Они получаются значительно сложнее, чем в случае конформных отображений, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя. Отметим, что принцип локализации, по которому влияние локальных вариаций сильно убывает по мере удаления от места вариации, также распространяется на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем.
Рис. 32. Другие области. Вариационные принципы можно получить и для других канонических областей: верхней полуплоскости, круга, внешности круга. Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку Если продеформировать область звездны относительно точки Отправляясь от формулы (7) § 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ
имеем
При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область справедлива приближенная формула
Для случая локальной вариации, когда область
где Вариационный принцип и его количественные уточнения, а также принцип локализации можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5). Граничные производные. При изучении движений жидкости и газа наиболее интересным является определение скорости вблизи границы области течения у обтекаемых тел. Поэтому для приложений особенно важно знать поведение модуля производной отображения на границе отображаемой области. Мы приведем здесь некоторые факты, относящиеся к этому вопросу. Прежде всего отметим условия, обеспечивающие существование граничной производной. Пусть граница Г области участке
где
Рис. 33. Отсюда, в частности, следует, что, если на границе области течения есть угол, направленный в сторону течения, где Покажем теперь, как получать приближенные выражения граничных производных для конформных отображений областей, близких к данной. Остановимся на случае отображения
а его производную в виде
В силу соотношения Формулу для граничной производной можно получить, если воспользоваться понятием главного значения интеграла, т. е. понимать интеграл по оси х от функции Ф, обращающейся в бесконечность в некоторой точке а, а в остальном непрерывной, как
(здесь существенна симметричность пределов интегрирования). В этом смысле, очевидно,
и поэтому формулу (14) при
(мы воспользовались соотношением Отсюда, дифференцируя и снова пользуясь (16), находим нужное выражение для граничной производной
здесь интеграл существует в смысле главного значения, ибо Аналогичные формулы, также содержащие интегралы в смысле главных значений, можно получить для граничных производных конформных отображений на другие канонические области. Узкие полосы. Приведем еще одну формулу для граничной производной конформного отображения криволинейной полосы В силу принципа локализации приближенное вычисление граничной производной — локальная задача и, следовательно, мы можем заменить отображающую функцию первыми несколькими членами ее тейлоровского разложения. Без ограничения общности будем считать, что точке, в которой мы вычисляем производную, соответствует точка
Условие соответствия нижних границ полос — осей и их — выражается в том, что все коэффициенты этого разложения действительны. Полагая в (18)
Коэффициенты разложения (18) мы найдем, приравнивая значения функции у и первых двух производных
откуда для А получаем квадратное уравнение
Производная функции (18) в точке
откуда модуль искомой граничной производной
С принятой точностью в (19) можно пренебречь величиной
(мы воспользовались приближенным равенством
Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться. Сильно эллиптические системы. Мы уже отмечали, что вариационный принцип и принцип локализации распространяются на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5):
Как и в случае конформных отображений, это позволяет оценить растяжение на границах криволинейной полосы свойства полосы (границы для ее ширины, наклона и кривизны), а также постоянные
(определение характеристик Пользуясь этими оценками, можно доказать такую теорему существования (см. М. А. Лаврентьев [4], гл. VI). Для любой сильно эллиптической системы вида (5) существует соответствующее ей квазиконформное отображение криволинейной полосы Эта теорема доказывает, в частности, существование в полосе
|
1 |
Оглавление
|