§ 12. Вариационные принципы

Эти богатые как математическими, так и механическими приложениями принципы показывают, как меняются конформные (или квазиконформные) отображения при малом изменении отображаемых областей.

Основной принцип. Сформулируем один из таких принципов для случая конформного отображения области типа полосы. Пусть область, ограниченная двумя гладкими кривыми ее конформное отображение на полосу с нормировкой Через мы обозначим линию уровня т. е. кривую, переходящую при отображении в прямую

Рис. 31.

Основной вариационный принцип утверждает, что если заменить Г кривой расположенной частично или полностью ниже Г (но выше ), и через обозначить конформное отображение области на ту же полосу с той же нормировкой, то произойдет следующее (рис. 31):

1) все линии уровня опустятся, причем соприкосновение возможно лишь в случае, когда деформации нет, т. е.

2) в любой точке линии растяжение возрастет, т. е.

3) во всех точках линии Г, которые остались недеформированными (если такие есть), растяжение уменьшится:

(при этом знак равенства в (1) и (2) достигается только при отсутствии деформации);

4) в точках наибольшей деформации, где достигает максимума, растяжение также возрастет: если такие точки, то

Принцип допускает простую механическую трактовку: при вдавливании одной стенки канала все линии тока прижимаются к противоположной стенке, скорости течения в точках недеформированной стенки и в точках наибольшей деформации возрастут, а в точках первой стенки, оставшихся недеформированными, уменьшатся.

Этот принцип выводится из принципа максимума для гармонических функций. Рассмотрим в гармонические функции на и в точках Г, оставшихся недеформированными, имеем а в точках Г, отличающихся от Г, у нас Таким образом, всюду на границе а значит, и в этой области

отсюда следует утверждение 1). Утверждения 2) и 3) также получаются из неравенства (4), если заметить, что на границе можно рассматривать как модуль производном в направлении нормали к граничным кривым, и аналогично — В самом деле, так как все линии при деформации опускаются, то на имеем а в точках Г, которые

остались на месте, Доказательство 4) основано на той же идее, но требует некоторых дополнительных построений (см. Л. и Ш., стр. 357).

В такой качественной постановке принцип можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат и имеют вид

В частности, мы получим тогда, что описанный выше закон изменения линий тока и скоростей течения в канале при деформации его стенки полностью распространяется на газовые потоки со скоростью, нигде не достигающей скорости звука.

Количественные уточнения. Доказанный принцип допускает и количественное уточнение. Для случая конформных отображений это уточнение получается несложно на основе формулы (8) § 10 для отображения полосы с выброшенной малой луночкой на полосу. Пусть область близка к полосе в том смысле, что ее нижняя граница совпадает с осью х, а верхняя Г имеет уравнение

где мала по абсолютной величине и достаточно быстро стремится к 0 при (для приложений достаточно считать, что вне некоторого конечного отрезка). Очевидно, что Г ниже прямой там, где и выше, где . Приближенно можно считать, что переход от прямолинейной полосы к области совершается в результате выполнения конечного числа локальных вариаций, при каждой из которых граница области меняется лишь на малом отрезке вблизи точки Для локальной вариации мы можем воспользоваться формулой (8) § 10, ибо с принятой точностью измененный участок границы можно считать дугой окружности. Складывая эти вариации, получим приближенную формулу для

конформного отображения проварьированной полосы на полосу

где площадь проварьированного участка — считается положительной, если мы продавили прямую в окрестности точки вниз, и отрицательной, — если вверх.

В пределе, когда верхняя граница области представляется кривой (6), сумма заменится интегралом и мы получим приближенную формулу для конформного отображения на полосу области, близкой к этой полосе:

Эта формула дает возможность количественно оценить, насколько сдвигаются линии тока при нашей деформации контура. Дифференцируя ее, получим формулу

по которой можно оценить, насколько при деформации меняются скорости.

Особо отметим, что в случае локальной вариации, когда верхняя граница полосы деформируется лишь в малой окрестности точки влияние такой вариации затухает по мере удаления от места вариации со скоростью где некоторая постоянная, расстояние от проварьированного участка.

Это утверждение называют принципом локализации. Для простейшего случая прямолинейной полосы оно вытекает непосредственно из формул (7) и (8); оно имеет место и для произвольных гладких областей типа полосы, причем постоянная в общем случае зависит от геометрических свойств полосы (точнее, от постоянных, оценивающих снизу и сверху ширину полосы, а

также от верхних оценок для наклона и кривизны ее границ).

Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно получить и для квазиконформных отображений, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем вида (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие сильную эллиптичность системы. Они получаются значительно сложнее, чем в случае конформных отображений, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя.

Отметим, что принцип локализации, по которому влияние локальных вариаций сильно убывает по мере удаления от места вариации, также распространяется на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем.

Рис. 32.

Другие области. Вариационные принципы можно получить и для других канонических областей: верхней полуплоскости, круга, внешности круга. Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через обозначается линия уровня при отображении т. е. прообраз окружности при этом отображении; в частности, граница отображаемой области (рис. 32).

Если продеформировать область продавливая границу Г (или ее участок) внутрь то произойдут следующие изменения: 1) все линии уровня сожмутся, т. е. будет лежать внутри для всех 2) растяжение в точке увеличится, будет в общих точках (если такие есть) растяжение уменьшится: . В дополнительном предположении, что контуры Г и Г

звездны относительно точки , т. е. что они представляются однозначными уравнениями в полярных координатах с полюсом можно сделать еще утверждение: 4) в точках наибольшей деформации, где достигает своего минимума растяжение увеличится:

Отправляясь от формулы (7) § 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ

имеем где достаточно мало. Тогда с точностью до малых порядка выше конформное отображение такой области на единичный круг с нормировкой задается формулой

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область с дважды гладкой границей Г, и пусть ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой Рассмотрим еще область с границей Г и для любой точки обозначим через отрезок нормали к Г, заключенный между Г и будем считать если этот отрезок лежит в если он лежит вне Будем считать область близкой к в том смысле, что для всех точек величины не превосходят фиксированного малого числа Тогда для отображения на единичный круг с той же нормировкой

справедлива приближенная формула

Для случая локальной вариации, когда область отличается от лишь в малой окрестности точки Г, эту формулу можно записать в виде

где — площадь, заключенная между границами Из нее получается принцип локализации в следующей форме: вблизи места вариации вариация конформного отображения пропорциональна проварьированной площади и обратно пропорциональна расстоянию до этого места.

Вариационный принцип и его количественные уточнения, а также принцип локализации можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5).

Граничные производные. При изучении движений жидкости и газа наиболее интересным является определение скорости вблизи границы области течения у обтекаемых тел. Поэтому для приложений особенно важно знать поведение модуля производной отображения на границе отображаемой области. Мы приведем здесь некоторые факты, относящиеся к этому вопросу.

Прежде всего отметим условия, обеспечивающие существование граничной производной. Пусть граница Г области дважды гладка в окрестности точки и такова же граница Г области в окрестности точки Тогда производную конформного отображения области на можно непрерывно продолжить на некоторый участок границы Г, содержащий и на этом

участке считаем, что Если же угловая точка Г и в ней смыкаются под углом (угол меряется со стороны области, рис. 33), две дважды гладкие граничные дуги, то для конформного отображения на гладкую в окрестности точки область мы имеем в окрестности

где Доказательство этих утверждений можно найти в книге Г. М. Голузина [1].

Рис. 33.

Отсюда, в частности, следует, что, если на границе области течения есть угол, направленный в сторону течения, где (как в точке на рис. 33), то в этой точке скорость течения бесконечна. В углах, направленных от течения, где (как в точке на рис. 33), скорость течения равна нулю.

Покажем теперь, как получать приближенные выражения граничных производных для конформных отображений областей, близких к данной. Остановимся на случае отображения области близкой к полосе, на полосу. Нам удобнее рассматривать обратное к отображение с той же точностью, что и в формуле (7), его можно представить в виде

а его производную в виде

В силу соотношения а в точках граничной прямой имеем следовательно, подынтегральная функция при обращается в бесконечность второго порядка, интеграл расходится и формула (15) на прямой неприменима.

Формулу для граничной производной можно получить, если воспользоваться понятием главного значения интеграла, т. е. понимать интеграл по оси х от функции Ф, обращающейся в бесконечность в некоторой точке а, а в остальном непрерывной, как

(здесь существенна симметричность пределов интегрирования). В этом смысле, очевидно,

и поэтому формулу (14) при можно переписать в виде

(мы воспользовались соотношением

Отсюда, дифференцируя и снова пользуясь (16), находим нужное выражение для граничной производной

здесь интеграл существует в смысле главного значения, ибо при и имеет нуль не ниже первого порядка.

Аналогичные формулы, также содержащие интегралы в смысле главных значений, можно получить для граничных производных конформных отображений на другие канонические области.

Узкие полосы. Приведем еще одну формулу для граничной производной конформного отображения криволинейной полосы на прямолинейную полосу При этом мы будем предполагать, что число h мало, ширина у полосы имеет порядок а производная у столь мала, что величиной можно пренебречь в сравнении с

В силу принципа локализации приближенное вычисление граничной производной — локальная задача и, следовательно, мы можем заменить отображающую функцию первыми несколькими членами ее тейлоровского разложения. Без ограничения общности будем считать, что точке, в которой мы вычисляем производную, соответствует точка и запишем приближенное выражение функции, обратной к отображающей:

Условие соответствия нижних границ полос — осей и их — выражается в том, что все коэффициенты этого разложения действительны. Полагая в (18) получим параметрические уравнения границы полосы

Коэффициенты разложения (18) мы найдем, приравнивая значения функции у и первых двух производных при известным значениям у (ширина полосы), у и у". Обозначив мы найдем

откуда для А получаем квадратное уравнение

Производная функции (18) в точке равна

откуда модуль искомой граничной производной

С принятой точностью в (19) можно пренебречь величиной тогда корень этого уравнения, конечный при малых будет

(мы воспользовались приближенным равенством справедливым для малых а). С той же точностью

Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться.

Сильно эллиптические системы. Мы уже отмечали, что вариационный принцип и принцип локализации распространяются на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5):

Как и в случае конформных отображений, это позволяет оценить растяжение на границах криволинейной полосы ее квазиконформного отображения на прямолинейную полосу А (такое растяжение — аналог модуля граничной производной). При этом предполагается, что ширина полосы заключена между некоторыми положительными постоянными и что тангенс угла наклона ее границ и их кривизна также ограничены. В оценку рраничного растяжения входят геометрически?

свойства полосы (границы для ее ширины, наклона и кривизны), а также постоянные характеризующие сильную эллиптичность системы:

(определение характеристик см. на стр. 98).

Пользуясь этими оценками, можно доказать такую теорему существования (см. М. А. Лаврентьев [4], гл. VI).

Для любой сильно эллиптической системы вида (5) существует соответствующее ей квазиконформное отображение криволинейной полосы на прямолинейную полосу если ширина ограничена сверху и снизу, ограничены наклон и кривизна ее границ, а ширина h полосы А достаточно мала.

Эта теорема доказывает, в частности, существование в полосе установившегося течения идеального газа, если расход достаточно мал. При увеличении расхода такое течение будет существовать до тех пор, пока его скорость в какой-либо точке границы не достигнет скорости звука.