§ 36. Перенос примесей

Турбулентная диффузия. Аналогичным образом можно изучить задачу о переносе турбулентным вихрем пассивной примеси, т. е. примеси, которая не оказывает влияния на его движение. Турбулентное перемешивание жидкости сопровождается переносом примесей в молярных (макроскопических) объемах. Этот процесс в случае свободной турбулентности (в отсутствии границ) можно описать введением специального «коэффициента турбулентной диффузии» величина которого, как и величина коэффициента турбулентной вязкости определяется характерными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Из опытов с турбулентными струями известно [5], что коэффициент турбулентной диффузии с точностью до множителя порядка единицы совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости:

для турбулентных струй

Уравнение, описывающее распределение примеси, концентрацию которой мы обозначим через С, имеет вид:

где молекулярный коэффициент диффузии (см. [5]).

Ясно, что на начальном участке движения вихря молекулярным коэффициентом диффузии можно пренебречь по сравнению с турбулентным. Скорость V известна, если известно движение вихря.

Для уравнения (2) необходимо, вообще говоря, задать начальные условия, которые сводятся к заданию начального распределения концентрации, зависящего от способа заполнения вихря примесями. Эксперимент, однако, показывает, что так же, как и распределение завихренности, распределение концентрации примесей очень быстро приближается к некоторому распределению,

не зависящему от начальных условий. При этом избыточные по отношению к предельному распределению количества примесей быстро теряются, а после этого потери примесей практически отсутствуют.

Автомодельная задача. Естественно предположить, что предельное распределение концентрации примесей является автомодельным [7]. Поставим следующую задачу (ограничиваясь плоским случаем). Пусть в момент времени концентрация С равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечно велика, так что

где полное количество примеси (например, полное число частиц дыма). В этой же точке при находится и вихревой диполь с импульсом

Ясно, что концентрация

а согласно (1) коэффициент турбулентной диффузии

так как по предположению примесь не оказывает влияния на движение жидкости.

В силу линейности уравнения (2) и нормировки (3) ясно, что С пропорциональна и из анализа размерностей следует, что функции (4) и (5) имеют вид

Подставляя это в (2), получаем уравнение для с:

причем нас интересуют его решения, стремящиеся к нулю при и удовлетворяющие условию нормировки

которое следует из закона сохранения полного количества примеси.

Решение поставленной задачи позволит определить предельное распределение концентрации примеси в вихре. Если, например, в момент образования весь объем вихря равномерно заполнен дымом, то через некоторое время в результате турбулентного перемешивания «лишний» дым будет потерян. Опыт и приближенные оценки показывают, что избыточное по сравнению с предельным количество примеси убывает с расстоянием по экспоненте, т. е. очень быстро.

Дымовые кольца. Проведенный анализ позволяет объяснить интересное явление, связанное с дымовыми кольцами, которые выпускают изо рта искусные курильщики.

Рис. 126.

Такие кольца хорошо моделируются в наполненном дымом ящике с круглым отверстием, о котором говорилось в § 35. Кольца из этого ящика, не разрушаясь, проходят расстояния порядка 150—200 диаметров. Можно соорудить пистолет, стреляющий дымовыми кольцами — вылетающие из него кольца колышат довольно плотную портьеру на расстоянии 5—6 метров от места выстрела.

Мы знаем, что вместе с вихрем в воздухе движется тело вращения, близкое к сплюснутому эллипсоиду, но в описанных опытах четко видны именно кольца из дыма, за которыми остается дымовой след (рис. 126).

Дело в том, что вследствие турбулентной диффузии частицы дыма у границ движущегося тела быстро отходят от него (они и образуют след). Видимой является только область высокой концентрации частиц дыма, которая представляет собой кольцо (тор). Такое

распределение концентрации дыма описывается осесимметрическим вариантом автомодельной задачи из предыдущего пункта.

Поразительная устойчивость дымовых колец, о которой говорилось выше, по-видимому, и объясняется тем, что они представляют собой часть движущегося эллипсоида вращения — одной из наиболее часто встречающихся в природе устойчивых форм.

Заметим, что точно такие же кольца можно наблюдать в воде, если вытолкнуть в нее поршнем некоторый объем жидкости, подкрашенный чернилами. Очень хорошо видно густо окрашенное чернильное кольцо, которое движется вместе с некоторым, окрашенным слабее, объемом жидкости, имеющим эллипсоидальную форму. Ограниченные размеры экспериментальной установки не позволяют, однако, проследить весь путь вихря до его остановки — вихрь наталкивается на стенку и разрушается.