§ 3. Вязкая несжимаемая жидкость

Очень многие практические задачи, связанные с движением жидкости в трубах и каналах или с движением твердых тел в жидкости, нельзя решить без учета вязкости жидкости. Здесь мы очень коротко коснемся некоторых вопросов, связанных с вязкостью.

Уравнения Навье — Стокса. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (в отсутствии внешних

массовых сил) имеют вид

где коэффициент кинематической вязкости — постоянная, характеризующая среду, а оператор Лапласа. Уравнение -обычное условие несжимаемости, а уравнение (2) следует из основного закона динамики, по которому где так называемый тензор напряжений, и из закона Стокса, согласно которому тензор напряжений выражается через тензор скоростей деформации

здесь координаты x, у, z обозначаются соответственно через а компоненты скорости — через символ Кронеккера, равный 1 при и 0 при (подробности можно найти, например, в книге Серрина [4], стр. 222).

Таким образом, уравнение Навье-Стокса (2) отличается от соответствующего ему в случае невязкой жидкости уравнения Эйлера (2) из § 1 членом содержащим вторые производные вектора скорости.

Диссипация энергии. Выясним, как меняется с течением времени кинетическая энергия объема V, движущегося вместе с вязкой жидкостью. Скорость изменения этой энергии, дифференцируя под знаком интеграла и

пользуясь основным законом динамики, можно записать в виде

Воспользуемся теперь соотношением

справедливым для произвольного симметричного тензора в нем означает свертку тензоров Пользуясь им и применяя формулу Гаусса — Остроградского, мы можем переписать (4) в виде

где единичный вектор внешней нормали к границе объема Так как вектор напряжений, действующих на , то первый член в правой части (5) представляет собой суммарную мощность поверхностных сил. Второй член дает величину диссипации энергии, равную работе в единицу времени сил напряжения, затраченной на деформацию самого объема.

Пользуясь законом Стокса (3), по которому где единичный тензор, а также несжимаемостью жидкости, вследствие которой мы можем переписать выражение диссипации энергии в виде

Эта величина выражает количество механической энергии объема, которое за единицу времени переходит в тепловую энергию

Граничные условия. В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число граничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие непроницаемости а в теории вязкой жидкости — три (скалярных) условия

Это — так называемое условие прилипания, оно оправдывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы молекулярного сцепления.

На движущихся твердых границах условие прилипания сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль вектор напряжений:

где вектор нормали к поверхности, и кроме того, должно выполняться кинематическое условие, согласно которому нормальная составляющая вектора скорости совпадает со скоростью перемещения поверхности в направлении своей нормали.

Учет вязкости. Уравнение Навье-Стокса значительно сложнее для исследования, чем уравнение - Эйлера, и даже приближенный счет на вычислительных машинах при решении некоторых задач для этого уравнения оказывается затруднительным. С другой стороны, для обычных сред (таких, как воздух или вода) коэффициент вязкости является малой величиной, и казалось бы, что для таких сред пренебрежение вязким членом (т. е. замена уравнения Навье — Стокса уравнением Эйлера) не должно приводить к существенным ошибкам.

Однако это не так, и причиной тому является различие граничных условий для уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Граничное условие непроницаемости в схеме невязкой жидкости приводит к ряду парадоксов — например, к отсутствию сопротивления при движении тела жидкости (о таких парадоксах пойдет речь в гл. V).

Но условие прилипания при отбрасывании вязкого члена становится переопределенным, и ему нельзя удовлетворить.

В силу этого условие прилипания фактически приводит к тому, что несмотря на малость в тонком слое вблизи границы градиенты скорости оказываются очень большими. Но тогда вязкие члены становятся по величине сравнимыми с остальными членами уравнения (2), и пренебрежение ими уже незаконно.

Рис. 8.

Действие сил вязкости в пограничном слое приводит к отрыву этого слоя от граничной поверхности и в целом течение становится существенно отличным от того, которое получается в схеме невязкой жидкости.

В ряде важных задач вследствие отрыва пограничного слоя за обтекаемым телом создаются зоны с замкнутыми линиями тока и отличной от нуля завихренностью (рис. 8). Причина этого прежняя — граничные условия прилипания. Потенциальное (безвихревое) движение всегда удовлетворяет уравнению Навье-Стокса, ибо если скорость V является градиентом гармонической функции то очевидно, что и тогда достаточно взять Поэтому безвихревое движение вязкой жидкости динамически возможно. Но так как безвихревое движение не может удовлетворять условиям прилипания, то в вязкой жидкости непременно должны образовываться вихри.

Трудности, возникающие при изучении движения вязкой жидкости в точной постановке, заставляют искать

более простые математические модели, которые могли бы служить в качестве первого приближения к действительности. Одной из таких моделей является модель, в которой движение в некоторых зонах считается потенциальным, а в других имеет заданную завихренность. В гл. V и IX мы увидим, что этот способ учета вязкости позволяет решить ряд важных задач.

Малая толщина пограничного слоя и большие градиенты скорости в нем послужили основой, на которой Л. Прандтль развил приближенную теорию интегрирования уравнений Навье-Стокса и построил теорию пограничного слоя. Эта теория позволяет рассчитывать течение в пограничном слое и определять касательные напряжения на поверхности тела. Однако она справедлива только до точки отрыва пограничного слоя и не дает возможности, например, вычислить полное сопротивление, испытываемое телом (за исключением случаев, когда отрыва погранслоя не происходит). В настоящее время вообще не существует теории, по которой можно рассчитать сопротивление тела, движущегося в жидкости.

Проблема изучения движения вязкой жидкости существенно осложняется еще одним обстоятельством — при больших значениях безразмерного параметра

называемого числом Рейнольдса (здесь характерная величина скорости, характерный размер), движение становится турбулентным. Для описания турбулентных движений не существует полной системы уравнений, и потому в каждой конкретной задаче приходится делать дополнительные предположения, основанные на экспериментах.

Уравнение Гельмгольца. В заключение приведем одну форму уравнения движения вязкой жидкости, в которую явно входит завихренность. Эта форма будет нам нужна в следующих главах.

Применим к обеим частям уравнения Навье-Стокса операцию мы получим уравнение

в котором, как всегда, Далее еще раз воспользуемся формулой из векторного анализа

-величина скорости), согласно которой

ибо от градиента гладкой функции равен нулю. Правую часть можно раскрыть по формуле двойного векторного произведения и правилу действия оператора V на произведение:

Теперь учтем условие несжимаемости (1) и тождество тогда средние члены в последней формуле исчезнут и мы получим

Подставляя это в (11), а затем в (10), мы и придем к уравнению Гельмгольца

Отметим еще, что в плоском случае, где завихренность имеет лишь одну отличную от нуля компоненту первый член в правой части (12) исчезает и это уравнение принимает вид

где и и компоненты вектора скорости.