Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Вязкая несжимаемая жидкостьОчень многие практические задачи, связанные с движением жидкости в трубах и каналах или с движением твердых тел в жидкости, нельзя решить без учета вязкости жидкости. Здесь мы очень коротко коснемся некоторых вопросов, связанных с вязкостью. Уравнения Навье — Стокса. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (в отсутствии внешних массовых сил) имеют вид
где
здесь Таким образом, уравнение Навье-Стокса (2) отличается от соответствующего ему в случае невязкой жидкости уравнения Эйлера (2) из § 1 членом Диссипация энергии. Выясним, как меняется с течением времени кинетическая энергия объема V, движущегося вместе с вязкой жидкостью. Скорость изменения этой энергии, дифференцируя под знаком интеграла и пользуясь основным законом динамики, можно записать в виде
Воспользуемся теперь соотношением
справедливым для произвольного симметричного тензора
где Пользуясь законом Стокса (3), по которому
Эта величина выражает количество механической энергии объема, которое за единицу времени переходит в тепловую энергию Граничные условия. В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число граничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие непроницаемости
Это — так называемое условие прилипания, оно оправдывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы молекулярного сцепления. На движущихся твердых границах условие прилипания сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль вектор напряжений:
где Учет вязкости. Уравнение Навье-Стокса значительно сложнее для исследования, чем уравнение - Эйлера, и даже приближенный счет на вычислительных машинах при решении некоторых задач для этого уравнения оказывается затруднительным. С другой стороны, для обычных сред (таких, как воздух или вода) коэффициент вязкости Однако это не так, и причиной тому является различие граничных условий для уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Граничное условие непроницаемости в схеме невязкой жидкости приводит к ряду парадоксов — например, к отсутствию сопротивления при движении тела Но условие прилипания при отбрасывании вязкого члена становится переопределенным, и ему нельзя удовлетворить. В силу этого условие прилипания фактически приводит к тому, что несмотря на малость
Рис. 8. Действие сил вязкости в пограничном слое приводит к отрыву этого слоя от граничной поверхности и в целом течение становится существенно отличным от того, которое получается в схеме невязкой жидкости. В ряде важных задач вследствие отрыва пограничного слоя за обтекаемым телом создаются зоны с замкнутыми линиями тока и отличной от нуля завихренностью (рис. 8). Причина этого прежняя — граничные условия прилипания. Потенциальное (безвихревое) движение всегда удовлетворяет уравнению Навье-Стокса, ибо если скорость V является градиентом гармонической функции Трудности, возникающие при изучении движения вязкой жидкости в точной постановке, заставляют искать более простые математические модели, которые могли бы служить в качестве первого приближения к действительности. Одной из таких моделей является модель, в которой движение в некоторых зонах считается потенциальным, а в других имеет заданную завихренность. В гл. V и IX мы увидим, что этот способ учета вязкости позволяет решить ряд важных задач. Малая толщина пограничного слоя и большие градиенты скорости в нем послужили основой, на которой Л. Прандтль развил приближенную теорию интегрирования уравнений Навье-Стокса и построил теорию пограничного слоя. Эта теория позволяет рассчитывать течение в пограничном слое и определять касательные напряжения на поверхности тела. Однако она справедлива только до точки отрыва пограничного слоя и не дает возможности, например, вычислить полное сопротивление, испытываемое телом (за исключением случаев, когда отрыва погранслоя не происходит). В настоящее время вообще не существует теории, по которой можно рассчитать сопротивление тела, движущегося в жидкости. Проблема изучения движения вязкой жидкости существенно осложняется еще одним обстоятельством — при больших значениях безразмерного параметра
называемого числом Рейнольдса (здесь Уравнение Гельмгольца. В заключение приведем одну форму уравнения движения вязкой жидкости, в которую явно входит завихренность. Эта форма будет нам нужна в следующих главах. Применим к обеим частям уравнения Навье-Стокса операцию
в котором, как всегда,
ибо
Теперь учтем условие несжимаемости (1) и тождество
Подставляя это в (11), а затем в (10), мы и придем к уравнению Гельмгольца
Отметим еще, что в плоском случае, где завихренность имеет лишь одну отличную от нуля компоненту
где и и
|
1 |
Оглавление
|