Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 15. Модель уравнений газовой динамикиКлассические уравнения. Еще раз напомним уравнения плоских установившихся течений идеального газа:
В них и — потенциальная функция,
где у — постоянная, характеризующая газ Интервал скоростей
Рис. 40. Величина Система (1) — нелинейная система уравнений с частными производными. При режиме (2) из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазилинейное уравнение
где Математическое исследование системы (1) при адиабатическом режиме (2) или — что то же самое — уравнения (3) довольно затруднительно. Поэтому при изучении качественных вопросов, связанных с течениями газов, естественно попытаться ввести некоторый фиктивный газовый режим так, чтобы, с одной стороны, максимально упростить математический формализм и, с другой стороны, сохранить общий характер явлений. Выбор модели. Такого рода упрощения впервые сделал С. А. Чаплыгин, который еще в 1902 г. в своей знаменитой работе «О газовых струях» предложил считать плотность зависящей от скорости по закону
Это соответствует тому, что в формуле (2) показатель адиабаты у, который по физическому смыслу всегда положителен и даже больше 1, принимается равным —1. Получаемый таким образом фиктивный газ называется газом Чаплыгина, соответствующее ему уравнение для потенциала имеет вид
Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыльных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвящена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. Седова [2]. Можно было бы попытаться моделировать систему (1), заменив ее парой простейших систем соответствующего типа: для дозвуковых режимов — системой Коши-Римана, а для сверхзвуковых — системой, описывающей (1), а ее производную систему (см. гл. III). Сверхзвуковая часть модели была рассмотрена в работе М. М. Лаврентьева [7]. Мы введем эту модель, задав следующий фиктивный газовый режим: для дозвуковых течений будем считать газ несжимаемым и положим расход
для непрерывности придется считать, что «скорости звука» соответствует
Рис. 41.
Рис. 42. Сравнивая его с рис. 40, мы видим, что в окрестности звуковой скорости качественная картина зависимости сохранена. Правда, для очень больших скоростей характер модели иной — для нее максимальная скорость Заметим, что зависимость от давления Р, которая для адиабатического режима изображается кривой для установившихся безвихревых плоских движений
мы получаем
и при надлежащем выборе постоянной интегрирования С эта прямая будет касаться адиабаты в точке Для нашей модели
Учитывая, что
а для сверхзвуковых скоростей
похожее на (3). Эти уравнения можно объединить, и мы получим
где Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока:
где Рассмотрим теперь производную систему для нашей модели. В гл. III мы отметили, что для системы уравнений газовой динамики она имеет вид
где
Введем еще функцию от скорости:
где коэффициент
т. е. при дозвуковых скоростях будут совпадать с простейшей эллиптической, а при сверхзвуковых — с простейшей гиперболической системой (точнее, отличаться от нее несущественным постоянным множителем Геометрия модели. Мы будем рассматривать три плоскости: 1) плоскость течения
всюду неотрицателен, следовательно, оно локально гомеоморфно при В дозвуковой области функция
В сверхзвуковой зоне существенную роль играют характеристики системы. Для рассматриваемой модели в плоскости потенциала ими служат прямые и
На линии перехода являются эпициклоиды, причем на линии перехода характеристики различных систем касаются друг друга (рис. 43, б).
Рис. 43. Якобианы отображений
и
в дозвуковой зоне равны
и обращаются в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой зоне эти якобианы равны
они могут обращаться в нуль и менять знак на характеристиках. В сверхзвуковой зоне легко представить через функции плоскость течения. Прежде всего, из соотношений
мы находим
а учитывая, что
Далее, так как у нас
Введем, наконец, новые переменные
Для простоты письма можно еще ввести функции
и аналогично, с заменой
Из формул (17) легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Именно, вдоль характеристики первого семейства и
а вдоль характеристик второго семейства
Отсюда и из (13) видно, что направление биссектрисы угла между характеристиками
совпадает с направлением вектора скорости; угол между скоростью и характеристикой (угол Маха) равен
|
1 |
Оглавление
|