§ 15. Модель уравнений газовой динамики

Классические уравнения. Еще раз напомним уравнения плоских установившихся течений идеального газа:

В них и — потенциальная функция, функция тока, плотность газа — известная функция величины скорости , для адиабатических режимов она имеет вид

где у — постоянная, характеризующая газ отношению теплоемкостей при постоянном давлении и объеме). Вместо (2) газовый режим можно характеризовать также заданием расхода как функции от скорости для адиабатических режимов график этой зависимости показан на рис. 40.

Интервал скоростей соответствует дозвуковым течениям; здесь расход растет вместе со скоростью и система (1) имеет эллиптический тип. Интервал соответствует сверхзвуковым течениям, здесь при росте скорости расход падает и система (1) имеет гиперболический тип.

Рис. 40.

Величина максимально возможная для данного газа скорость.

Система (1) — нелинейная система уравнений с частными производными. При режиме (2) из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазилинейное уравнение

где квадрат скорости звука (Р — давление); равенство равносильно Естественно, что это уравнение имеет эллиптический тип при гиперболический при (его дискриминант

Математическое исследование системы (1) при адиабатическом режиме (2) или — что то же самое — уравнения (3) довольно затруднительно. Поэтому при

изучении качественных вопросов, связанных с течениями газов, естественно попытаться ввести некоторый фиктивный газовый режим так, чтобы, с одной стороны, максимально упростить математический формализм и, с другой стороны, сохранить общий характер явлений.

Выбор модели. Такого рода упрощения впервые сделал С. А. Чаплыгин, который еще в 1902 г. в своей знаменитой работе «О газовых струях» предложил считать плотность зависящей от скорости по закону

Это соответствует тому, что в формуле (2) показатель адиабаты у, который по физическому смыслу всегда положителен и даже больше 1, принимается равным —1. Получаемый таким образом фиктивный газ называется газом Чаплыгина, соответствующее ему уравнение для потенциала имеет вид

Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыльных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвящена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. Седова [2].

Можно было бы попытаться моделировать систему (1), заменив ее парой простейших систем соответствующего типа: для дозвуковых режимов — системой Коши-Римана, а для сверхзвуковых — системой, описывающей -аналитические функции. Однако такая модель слишком груба, в ней разрывны основные характеристики течения. Качественные явления газовой динамики существенно лучше отражает модель, предложенная М. А. Лаврентьевым в 1955 г., в которой указанная лара простейших систем моделирует не саму систему

(1), а ее производную систему (см. гл. III). Сверхзвуковая часть модели была рассмотрена в работе М. М. Лаврентьева [7].

Мы введем эту модель, задав следующий фиктивный газовый режим: для дозвуковых течений будем считать газ несжимаемым и положим расход равным скорости V, а для сверхзвуковых течении положим т. е.

для непрерывности придется считать, что «скорости звука» соответствует График зависимости для нашего режима изображен на рис. 41.

Рис. 41.

Рис. 42.

Сравнивая его с рис. 40, мы видим, что в окрестности звуковой скорости качественная картина зависимости сохранена. Правда, для очень больших скоростей характер модели иной — для нее максимальная скорость а расход всегда остается большим 1.

Заметим, что зависимость от давления Р, которая для адиабатического режима изображается кривой (см. гл. I), в нашей модели изображается ломаной, состоящей из двух звеньев: касательной к адиабате в точке где угловой коэффициент касательной к ней равен —1, и горизонтальной прямой (рис. 42). В самом деле, из уравнений движения в форме (8) § 2

для установившихся безвихревых плоских движений

мы получаем Отсюда для нашей модели при сверхзвуковых скоростях из (5) мы получаем прямую

и при надлежащем выборе постоянной интегрирования С эта прямая будет касаться адиабаты в точке При дозвуковых скоростях имеем т. е. на графике мы получаем горизонтальную прямую.

Для нашей модели равна 1 в дозвуковом режиме (при и равна в сверхзвуковом поэтому система (1) для нее имеет вид

Учитывая, что мы можем дифференцированием исключить из этой системы функцию Для дозвуковых скоростей мы получим обычное уравнение Лапласа

а для сверхзвуковых скоростей уравнение гиперболического типа

похожее на (3). Эти уравнения можно объединить, и мы получим

где

Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока:

где при оно также эллиптично при и гиперболично при

Рассмотрим теперь производную систему для нашей модели. В гл. III мы отметили, что для системы уравнений газовой динамики она имеет вид

где В случае нашей модели при при поэтому производная система запишется так:

Введем еще функцию от скорости:

где коэффициент подобран так, чтобы эта функция была непрерывной. Теперь уравнения для производной системы примут вид

т. е. при дозвуковых скоростях будут совпадать с простейшей эллиптической, а при сверхзвуковых — с простейшей гиперболической системой (точнее, отличаться от нее несущественным постоянным множителем

Геометрия модели. Мы будем рассматривать три плоскости: 1) плоскость течения , 2) плоскость комплексного потенциала и 3) плоскость годографа скоростей Якобиан отображения

всюду неотрицателен, следовательно, оно локально гомеоморфно при и всегда сохраняет ориентацию.

В дозвуковой области функция аналитична, представляет собой антианалитическую функцию. В сверхзвуковой области решения нашей системы допускают простое представление. В самом деле, из формул (12) вытекает, что при откуда где произвольные функции, а тогда из (12) найдется и а; учитывая еще (11), найдем

В сверхзвуковой зоне существенную роль играют характеристики системы. Для рассматриваемой модели в плоскости потенциала ими служат прямые и а в плоскости годографа — линии - т. е. также прямые

На линии перехода характеристики двух семейств ортогональны друг другу, а при увеличении V угол между ними уменьшается (рис. 43, а). В классической теории характеристиками в плоскости годографа

являются эпициклоиды, причем на линии перехода характеристики различных систем касаются друг друга (рис. 43, б).

Рис. 43.

Якобианы отображений о

и

в дозвуковой зоне равны

и обращаются в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой зоне эти якобианы равны

они могут обращаться в нуль и менять знак на характеристиках.

В сверхзвуковой зоне легко представить через функции отображение плоскости потенциала на

плоскость течения. Прежде всего, из соотношений

мы находим

а учитывая, что из системы (1) получаем

Далее, так как у нас отличен от нуля, то можно перейти к производным обратных функций и тогда получим

Введем, наконец, новые переменные так что и тогда интегрированием найдем искомое представление:

Для простоты письма можно еще ввести функции

и аналогично, с заменой на функции а также положить тогда будем иметь

Из формул (17) легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Именно, вдоль характеристики первого семейства и имеем

а вдоль характеристик второго семейства

Отсюда и из (13) видно, что направление биссектрисы угла между характеристиками

совпадает с направлением вектора скорости; угол между скоростью и характеристикой (угол Маха) равен