Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VIII. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯЭтот сравнительно молодой раздел гидродинамики сейчас интенсивно развивается, и количество работ, ему посвященных, растет из года в год. Внимание исследователей здесь привлекает, с одной стороны, трудность и новизна проблем и, с другой, — то, что многие из этих проблем возникают из запросов техники сегодняшнего дня — движение судов на подводных крыльях, поиски нового типа тяговой силы, быстро меняющиеся процессы (в том числе взрывы в атмосфере и воде), изучение и использование природных явлений и т. д. и т. п. В этой главе мы коснемся лишь некоторых из очень широкого круга проблем, связанных с неустановившимися движениями. В следующих главах проблемы этого круга также будут занимать значительное место. § 30. Постановка задачиОбщая постановка задачи о неустановившемся движении несжимаемой жидкости такова. В начальный момент времени, скажем, Эта постановка, однако, очень неопределенна и нуждается в упрощающих и конкретизирующих предположениях. Наиболее общими упрощающими предположениями являются предположения об отсутствии вязкости и потенциальности движения. Рассмотрим их несколько подробнее. Потенциальные движения. Естественно возникает следующий вопрос: если в начальный момент На этот вопрос можно ответить утвердительно, если предположить еще, что жидкость находится в потенциальном поле внешних сил
но
а так как в силу уравнений движения
где согласно сделанным предположениям Опишем принципиальную схему определения того, как с течением времени меняются область течения и поле скоростей в отсутствии внешних сил. Для любого момента
здесь с — некоторая постоянная (см. § 1). Это соотношение и можно использовать для приближенного определения Выберем малый отрезок времени 61. За время
Если еще учесть изменение
Решая в области Описанный процесс можно продолжить, и мы получим тогда приближенное представление о виде Пользуясь этой схемой, Р. М. Гарипов провел на ЭВМ расчет неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в прямоугольном бассейне с сечением соединяет точки, отмеченные 0 и 1. Потенциал скоростей на свободной поверхности в начальный момент принимается равным На рис. 99 скопирован выданный машиной бланк, на котором кроме начального положения свободной поверхности приведены точки, полученные в результате расчета для момента
Рис. 99. На этот же рисунок с других бланков снесены кривые (2), (3),..(8), соединяющие расчетные точки и указывающие положения свободной поверхности в моменты времени Задача формально решалась как пространственная (с осью Этот расчет дает основание полагать, что описанная выше схема приближенного решения задачи о неустановившемся движении жидкости устойчива. Задачи со свободными границами. Класс задач о неустановившихся потенциальных движениях идеальной жидкости со свободными границами достаточно широк. К нему относится, в частности, знаменитая задача Коши—Пуассона о волнах, которые распространяются на поверхности водоема в результате действия какого-либо возмущения первоначально покоящейся воды. Хотя эта задача математически поставлена около 150 лет назад, ее полного решения до сих пор еще нет. До недавнего времени были известны лишь многочисленные приближенные теории и некоторые точные решения довольно специального характера. В последние годы в Институте гидродинамики Сибирского отделения Движение вполне определено, если известен потенциал скоростей Дана область
а при
Здесь градиент, как всегда, берется по пространственным координатам, скорость перемещения этой поверхности в направлении ее нормали. Если
Напомним еще, что если в состав границы В эту постановку входит, в частности, и задача Коши — Пуассона о волнах на поверхности водоема конечной глубины. В ней принимается, что Подход к ее решению, предложенный Л. В. Овсянниковым, в общих чертах состоит в следующем. Допустим, что нам известна свободная поверхность Таким образом, определено отображение, которое каждой паре функций
Задача свелась к отысканию в Е функций
где
где Опишем теперь выбор класса Е. Говорят, что функция
Через Класс Если начальные данные
Таким образом, разрешимость задачи Коши — Пуассона в классе аналитических поверхностей Устойчивость. При изучении инерционного неустановившегося движения жидкой массы естественно возникает вопрос об устойчивости этого движения. На самых простых примерах, хотя бы в рамках приближенной схемы, о которой говорилось в начале этого параграфа, можно убедиться в том, что даже при достаточно гладких начальных данных довольно скоро возникают особенности как у границы
Рис. 100. Следует различать неустойчивость, связанную с двумя видами особенностей границы — локальными и глобальными. Локальные особенности возникают при появлении у При увеличении Иначе обстоит дело с глобальными особенностями, которые образуются, когда в процессе движения две точки поверхности
|
1 |
Оглавление
|