Глава VIII. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Этот сравнительно молодой раздел гидродинамики сейчас интенсивно развивается, и количество работ, ему посвященных, растет из года в год. Внимание исследователей здесь привлекает, с одной стороны, трудность и новизна проблем и, с другой, — то, что многие из этих проблем возникают из запросов техники сегодняшнего дня — движение судов на подводных крыльях, поиски нового типа тяговой силы, быстро меняющиеся процессы (в том числе взрывы в атмосфере и воде), изучение и использование природных явлений и т. д. и т. п.

В этой главе мы коснемся лишь некоторых из очень широкого круга проблем, связанных с неустановившимися движениями. В следующих главах проблемы этого круга также будут занимать значительное место.

§ 30. Постановка задачи

Общая постановка задачи о неустановившемся движении несжимаемой жидкости такова.

В начальный момент времени, скажем, задана пространственная область заполненная жидкостью, и пусть известно распределение скоростей в этот момент, требуется определить дальнейшее движение жидкости.

Эта постановка, однако, очень неопределенна и нуждается в упрощающих и конкретизирующих предположениях. Наиболее общими упрощающими предположениями являются предположения об отсутствии вязкости и потенциальности движения. Рассмотрим их несколько подробнее.

Потенциальные движения. Естественно возникает следующий вопрос: если в начальный момент движение идеальной несжимаемой жидкости является потенциальным, то будет ли оно оставаться таким же во все время движения?

На этот вопрос можно ответить утвердительно, если предположить еще, что жидкость находится в потенциальном поле внешних сил В самом деле, возьмем произвольный жидкий замкнутый контур который будем считать заданным параметрически уравнением где -вектор, а параметр в любой момент времени меняется на отрезке Производная по времени от циркуляции вектора скорости вдоль

но поэтому второй интеграл равен приращению функции -у- вдоль контура и в силу замкнутости последнего равен нулю. Таким образом,

а так как в силу уравнений движения

где согласно сделанным предположениям имеет потенциал, постоянная, то интеграл в правой части (1) равен нулю. Итак, доказано, что а так как в начальный момент у нас то и все время отсюда и следует потенциальность движения.

Опишем принципиальную схему определения того, как с течением времени меняются область течения и поле скоростей в отсутствии внешних сил. Для любого момента мы обозначим через положение области течения, а через потенциал скоростей в этот момент. Будем еще считать, что имеет свободную границу—поверхность Условие постоянства давления на этой поверхности приводит к соотношению, которое выполняется всюду на

здесь с — некоторая постоянная (см. § 1). Это соотношение и можно использовать для приближенного определения

Выберем малый отрезок времени 61. За время каждая точка границы области сдвинется в направлении где , на расстояние так мы получим поверхность С другой стороны, согласно (3), на за время значение изменится на величину

Если еще учесть изменение на отрезке на который сдвинулась точка поверхности мы получим, что на значение

Решая в области задачу Дирихле с такими граничными данными, мы найдем значение в этой области.

Описанный процесс можно продолжить, и мы получим тогда приближенное представление о виде и значении в «любой» момент времени

Пользуясь этой схемой, Р. М. Гарипов провел на ЭВМ расчет неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в прямоугольном бассейне с сечением в начальный момент времени свободная поверхность имеет вид кривой (0) рис. 99, которая

соединяет точки, отмеченные 0 и 1. Потенциал скоростей на свободной поверхности в начальный момент принимается равным а внутри жидкости вычисляется как решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее услот виям непроницаемости на стенках бассейна.

На рис. 99 скопирован выданный машиной бланк, на котором кроме начального положения свободной поверхности приведены точки, полученные в результате расчета для момента они отмечены цифрами 2 и 3 и соединены кривой (1).

Рис. 99.

На этот же рисунок с других бланков снесены кривые (2), (3),..(8), соединяющие расчетные точки и указывающие положения свободной поверхности в моменты времени

Задача формально решалась как пространственная (с осью перпендикулярной плоскости рисунка), но так как от ничего не зависит, она по существу является плоской. На рис. 99 изображены сечения плоскостями (точки с индексом 0 на кривой (0) и индексом 2 на кривой (точки с индексом 1 на кривой (0) и с индексом 3 на кривой Точки не совпадают из-за того, что в качестве узлов разностной схемы бралась шахматная сетка, но соответствующие точки лежат на одной кривой.

Этот расчет дает основание полагать, что описанная выше схема приближенного решения задачи о неустановившемся движении жидкости устойчива.

Задачи со свободными границами. Класс задач о неустановившихся потенциальных движениях идеальной жидкости со свободными границами достаточно широк. К нему относится, в частности, знаменитая задача Коши—Пуассона о волнах, которые распространяются на поверхности водоема в результате действия какого-либо возмущения первоначально покоящейся воды. Хотя эта задача математически поставлена около 150 лет назад, ее полного решения до сих пор еще нет. До недавнего времени были известны лишь многочисленные приближенные теории и некоторые точные решения довольно специального характера.

В последние годы в Институте гидродинамики Сибирского отделения под руководством Л. В. Овсянникова были разработаны методы, позволившие несколько продвинуть теорию. Мы хотим здесь дать представление об этих методах.

Движение вполне определено, если известен потенциал скоростей -гармоническая функция пространственных координат Поэтому задача формулируется так:

Дана область и гармоническая в ней функция Требуется для всех найти область с границей зависящей от времени и функцию гармоническую по в области так, чтобы при всех на выполнялись соотношения

а при было бы

Здесь градиент, как всегда, берется по пространственным координатам, обозначает потенциал внешних сил и считается заданной функцией, функция (давление на свободной границе) также считается известной. Во втором уравнении единичный вектор внешней нормали к поверхности

скорость перемещения этой поверхности в направлении ее нормали. Если задается уравнением то как мы показали в гл. I (см. формулу (28) § 1), условие (6) можно переписать в виде

Напомним еще, что если в состав границы входят непроницаемые поверхности, то на них условие (5) не ставится, и остается одно лишь условие (6), но зато форма таких поверхностей считается известной во все время движения.

В эту постановку входит, в частности, и задача Коши — Пуассона о волнах на поверхности водоема конечной глубины. В ней принимается, что где а — некоторая постоянная, а давление постоянно, например, тождественно равно нулю. Начальная область задается неравенствами и дно водоема считается неподвижным, условие (6) на нем имеет вид Даже в случае установившегося движения решение этой задачи наталкивается на трудности, о которых мы говорили в предыдущих главах (см. § 20 в связи с плоской постановкой и § 24 — в связи с пространственной).

Подход к ее решению, предложенный Л. В. Овсянниковым, в общих чертах состоит в следующем. Допустим, что нам известна свободная поверхность задаваемая уравнением а также значение потенциала на этой поверхности, т. е. функция Тогда в принципе (при определенных условиях, наложенных на функции мы можем найти единственную гармоническую в функцию которая на принимает значение а на плоскости удовлетворяет условию

Таким образом, определено отображение, которое каждой паре функций из определенного класса Е ставит в соответствие векторное поле в области

Задача свелась к отысканию в Е функций которые вместе с соответствующей им функцией удовлетворяют при всех х, у и всех соотношениям

где а при начальным условиям

где заданные функции, а точка пробегает всю плоскость.

Опишем теперь выбор класса Е. Говорят, что функция удовлетворяет в плоской области условию Гельдера с показателем а, если для любых точек отношение ограничено; верхнюю грань этого отношения называют коэффициентом Гёльдера. При фиксированном через а обозначают сумму верхних граней в модулей функции и ее частных производных до порядка включительно, а также коэффициентов Гёльдера этих производных (предполагается, что последние существуют и непрерывны). Для функций, которые обладают в частными производными всех порядков, вводят величину

Через обозначают множество всех функций для которых величина (12) конечна.

Класс составляется из тех функций которые по во всей плоскости принадлежат множеству а при зависят от аналитически. Этот класс оказался удобным для исследования задачи Коши — Пуассона; В. И. Налимов (ученик Л. В. Овсянникова) доказал следующую теорему [3]:

Если начальные данные в задаче Коши-Пуассона принадлежат некоторому классу то найдутся числа такие, что в любом классе

где существует единственное решение этой задачи на отрезке времени

Таким образом, разрешимость задачи Коши — Пуассона в классе аналитических поверхностей с уравнением вида установлена лишь для начальных отрезков времени. Как мы сейчас увидим, это ограничение, по-видимому, связано с существом дела.

Устойчивость. При изучении инерционного неустановившегося движения жидкой массы естественно возникает вопрос об устойчивости этого движения. На самых простых примерах, хотя бы в рамках приближенной схемы, о которой говорилось в начале этого параграфа, можно убедиться в том, что даже при достаточно гладких начальных данных довольно скоро возникают особенности как у границы так и у потенциала

Рис. 100.

Следует различать неустойчивость, связанную с двумя видами особенностей границы — локальными и глобальными. Локальные особенности возникают при появлении у волнообразной формы такой, что длина волн мала по сравнению с размерами

При увеличении эти мелкие «волны» могут привести к образованию на острых углов, складок и других особенностей. Но с точки зрения приложений, в которых обычно интересуются движением основной массы жидкости, такие локальные особенности большой роли не играют (так, например, мелкая рябь на воде практически не влияет на движение длинных волн). При подсчетах следует заменить плохую поверхность близкой к ней хорошей и продолжать процесс.

Иначе обстоит дело с глобальными особенностями, которые образуются, когда в процессе движения две точки поверхности находящиеся на конечном расстоянии, приближаются друг к другу с последующим гидравлическим ударом одной части жидкости о другую (рис. 100). Особенности такого типа связаны с природой явления и подлежат особому анализу. Во многих вопросах такие глобальные особенности играют фундаментальную роль.