§ 2. Сжимаемость

При движениях жидкости с большими скоростями, сравнимыми со скоростью распространения звука в этой жидкости, становится существенной ее сжимаемость. Плотность жидкости уже не является постоянной и ее следует считать одной из искомых функций. Задача существенно усложняется, появляются принципиально новые явления, отсутствующие в случае несжимаемости.

Основные уравнения. Условие несжимаемости заменяется теперь более общим уравнением

уравнение движения пишется по-старому:

и появляется новое, термодинамическое уравнение

Последнее уравнение выражает условие отсутствия теплообмена между частицами среды: энтропия 5 каждой частицы постоянна, т. е. полная производная энтропии равная равна 0.

Однако система (1) — (3) еще недостаточна для описания процессов, происходящих в сжимаемых средах. К ней нужно добавить соотношение, связывающее величины которое называется уравнением состояния среды

Это соотношение является следствием общих законов термодинамики, а конкретный вид зависимости определяется свойствами среды. Например, для среды, называемой идеальным газом, эта зависимость имеет вид

где постоянная (отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме) называется показателем адиабаты Пуассона.

Упрощающие предположения. Одним из таких предположений является условие изэнтропичности — движение таково, что во всем объеме, занятом средой, энтропия Для изэнтропических движений уравнение (3) выполняется автоматически, а из (4) следует, что давление зависит только от плотности. Процессы, обладающие последним свойством, называются баротропными.

Для изэнтропических течений, как и для течений несжимаемой жидкости, оказывается справедливой теорема о постоянстве циркуляции скорости по произвольному замкнутому жидкому контуру. Из нее следует, что

имеет смысл рассматривать изэнтропические потенциальные течения сжимаемой жидкости.

Следует, однако, отметить, что в определенных условиях в сжимаемых жидкостях, в отличие от несжимаемых, даже при гладких начальных условиях могут образоваться так называемые сильные разрывы — поверхности, на которых гидродинамические величины (например, плотности и давления) меняются скачком. Из термодинамических соображений, а также из законов сохранения импульса и энергии следует, что при прохождении частицы через такой разрыв ее энтропия меняется скачком и изэнтропичность нарушается. При возникновении сильных разрывов перестает быть справедливой и теорема о сохранении циркуляции, в которой условие изэнтропичности является существенным. Таким образом, появление сильных разрывов нарушает наши упрощающие предположения.

Тем не менее класс изэнтропических потенциальных течений сжимаемой жидкости достаточно широк и часто встречается в приложениях.

Плоские установившиеся течения. Теория существенно упрощается, если в дополнение к предположениям об изэнтропичности и потенциальности предположить, что движение является плоским и установившимся. Тогда уравнение неразрывности (1) примет вид

добавится условие отсутствия завихренности

а уравнение движения (2) заменится интегралом Бернулли

(мы пренебрегаем внешними силами — при больших скоростях они несущественны). Второе слагаемое

называется энтальпией среды; так как то интеграл (8) получается из уравнения движения (12) точно так же, как и в случае несжимаемой жидкости.

Для идеального газа (при постоянной энтропии

где квадрат скорости распространения звука в этом газе, и интеграл Бернулли принимает вид

скорость звука, таким образом, оказывается функцией от скорости движения газа. Отсюда сразу получается вывод, принципиально отличающий движения идеального газа от движений несжимаемой жидкости, — в случае газа скорость движения не может превышать некоторой величины зависящей от свойств этого газа, при которой скорость звука оказывается равной нулю.

Постоянная в правой части (9) равна, очевидно, (максимальная скорость достигается при и если теперь в это соотношение подставить выражение через то после простых преобразований мы получим

Это соотношение можно рассматривать как интеграл Бернулли для идеального газа; постоянная равна плотности неподвижного газа (при ), она, как и зависит от свойств этого газа.

Очевидно, что и в общем случае установившихся потенциальных течений в баротропных средах из интеграла Бернулли (8) можно найти как известную функцию от Если подставить эту зависимость в (6), то все сведется к решению системы двух

дифференциальных уравнений первого порядка (6) и (7) относительно двух неизвестных функций В отличие от случая несжимаемой жидкости эта система нелинейна, что и является главной причиной дополнительных затруднений, возникающих при отказе от несжимаемости.

Уравнение для потенциала. Продолжаем описание плоских движений, сохранив сделанные выше предположения. Из соотношения (7) следует существование потенциала скоростей так что

а из (6) — существование функции тока для которой

Линии уровня по-прежнему служат линиями тока, и эти линии по-прежнему ортогональны линиям равного потенциала Сравнивая (11) и (12), мы получаем систему дифференциальных уравнений

в которой есть известная функция скорости положить она перейдет в систему (14) предыдущего параграфа, описывающую плоские движения несжимаемой жидкости.

Из системы (13) можно исключить функцию получится уравнение

или

Далее, дифференцируя по интеграл Бернулли (8), мы найдем

а из формулы получим, что Подставляя это в уравнение (14), мы после простых преобразований приведем его к виду

В случае несжимаемой жидкости ему соответствует уравнение Лапласа, которое получается из (16), если в последнем положить скорость звука (для этого надо разделить обе части уравнения на и положить всюду Уравнение (16) относится к так называемым квазилинейным уравнениям второго порядка — линейным относительно старших производных, т. е. производных второго порядка.

Звуковой барьер. Очень существенным обстоятельством является то, что уравнение (16) может менять тип. Тип квазилинейного дифференциального уравнения

(А, В, С - известные функции ) определяется квадратической формой

— если эта форма сохраняет знак, то говорят, что уравнение -эллиптического типа, а если она меняет знак, то (17) называют уравнением гиперболического типа. Но форма (18), очевидно, имеет тот же знак, что и квадратный трехчлен положили а последний меняет или сохраняет знак в

зависимости от того, есть у него действительные корни или их нет. Таким образом, тип уравнения (17) определяется знаком дискриминанта при оно эллиптического типа, а при гиперболического.

Для уравнения (16) дискриминант

следовательно, оно эллиптическое при дозвуковых скоростях и гиперболическое при сверхзвуковых переход через скорость звука сопровождается переменой типа этого уравнения.

Перемена типа дифференциального уравнения принципиально меняет свойство его решений и это отражает тот факт, что характер движения в сжимаемых средах резко меняется при переходе через скорость звука. Некоторые явления при этом заменяются прямо противоположными. Рассмотрим, например, так называемый расход произведение плотности среды на скорость. В силу интеграла Бернулли плотность среды является функцией от скорости, значит, и расход тоже; пользуясь формулой (15), мы находим

Отсюда видно, что при дозвуковых режимах расход растет при увеличении скорости, а при сверхзвуковых, наоборот, падает. Можно указать и другие явления, резко меняющиеся при переходе через скорость звука. Легко понять, как важно это обстоятельство для пилота, ведущего самолет со скоростью, близкой к звуковой, ведь одно и то же его действие при дозвуковых и сверхзвуковых режимах может привести к прямо противоположным результатам!

Характеристики. Одно из наиболее существенных от личий сверхзвуковых и дозвуковых режимов среды связано с различным характером распространений в них локальных возмущений. Именно, при дозвуковых скоростях возмущения распространяются по всему пространству, а при сверхзвуковых — лишь внутри некоторого сектора.

Качественную причину этого понять нетрудно, если учесть, что возмущения в среде распространяются со скоростью звука. Представим себе, что среда неподвижна, а источник возмущений прямолинейно движется со скоростью и. Если то источник двигается медленнее, чем производимые им возмущения, и картина возмущений будет такой, как изображено на рис. 4, а. Если же то источник будет опережать возмущения, и мы получим картину, изображенную на рис. 4, б.

Рис. 4.

То же самое, конечно, будет происходить, если источник возмущений неподвижен, а среда движется с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. Так как мы ограничиваемся установившимися движениями, то мы должны предположить, что в дозвуковом Случае возмущения уже заняли все пространство, а в сверхзвуковом — весь сектор с вершиной в точке возмущения; вне сектора движение не возмущено. Границы этого сектора — линии, отделяющие возмущенную зону от невозмущенной, называются характеристиками, они играют фундаментальную роль при изучении сверхзвуковых течений. В дозвуковых течениях характеристик нет.

Характеристики очень естественно появляются и в теории уравнений с частными производными. Для уравнений эллиптического типа вида (17) оказывается справедливой теорема единственности, по которой всякое их решение, обращающееся в нуль в каком-либо кружке, тождественно равно нулю. Но для гиперболических уравнений это не так: существуют решения, которые равны нулю в некоторой зоне и отличны от нуля в другой.

Оказывается, далее, что линия раздела этих двух зон не может быть произвольной. В самом деле (если решение гладкое, что мы предполагаем), на этой линии должны обращаться в нуль и решение и обе его частные производные Вообще говоря, для уравнений второго порядка задание на линии значений

решения и его первых производных (так называемая задача Коши) однозначно определяет это решение. Но наша линия раздела является исключением: существуют по крайней мере два решения с теми же данными само решение и функция Таким образом, линии раздела надо искать среди тех кривых, на которых задача Коши имеет неединственное решение.

Выясним, что это за кривые, в случае квазилинейного уравнения (17). Зададим на некоторой кривой где параметр, данные Коши:

Эти данные должны быть согласованы, т. е. удовлетворять соотношению, которое получается дифференцированием по х тождества

(точкой обозначается дифференцирование по параметру). Задача Коши (19) имеет единственное решение, если по заданным величинам (19) и по уравнению (17) вдоль у можно однозначно определить производные старших порядков решения

Посмотрим, как обстоит дело со вторыми производными Эти величины должны удовлетворять уравнению (17) и еще двум соотношениям, которые получаются дифференцированием по тождеств

Полученная система может оказаться неразрешимой или разрешимой неоднозначно лишь в случае, когда ее определитель равен 0, т. е. когда

Нетрудно видеть, что если вдоль кривой у левая часть (20) не обращается в нуль, то вдоль этой кривой однозначно определяются не только вторые, но и все высшие производные решения а тогда по формуле

Тейлора в окрестности у однозначно определится и само решение. Если же вдоль у удовлетворяется соотношение (20), то эта процедура либо невыполнима, либо неопределенна. В последнем случае мы получим, в частности, линии раздела, отделяющие зоны, в которых решение тождественно равно 0, от зон, в которых оно отлично от нуля (рис. 5).

Рис. 5.

Кривые у, удовлетворяющие уравнению (20) в каждой своей точке, называются характеристиками уравнения (17). Если положить то (20) будет квадратным уравнением, определяющим наклон характеристики. Мы видим, что для уравнений эллиптического типа действительных характеристик не существует, а для уравнений гиперболического типа через каждую точку проходят две характеристики.

Для уравнения потенциала (16), в частности, характеристики определяются уравнением

откуда

В соответствии с только что сказанным, при дозвуковых режимах характеристик нет, а при сверхзвуковых режимах через каждую точку области течения проходит по. две характеристики (их наклон определяется компонентами скорости Если обозначить через угол наклона вектора скорости к оси х, а через а — так

называемый угол Маха, который определяется соотношением

(он имеет смысл лишь при сверхзвуковых скоростях), то формулу (21) можно переписать в виде

Отсюда видно, что в каждой точке сверхзвуковой зоны вектор скорости служит биссектрисой угла между характеристиками, величина которого равна удвоенному углу Маха 2а (рис. 6). Отсюда и из формулы (22) видно также, что скорость движения каждой из характеристик в направлении нормали к ней, , равна скорости звука с — это и понятно, ибо характеристики представляют собой фронты распространения возмущений, а возмущения в среде распространяются со скоростью звука.

Рис. 6.

Мелкая вода. Укажем еще задачу на потенциальные течения несжимаемой жидкости, в которой также появляются уравнения гиперболического типа. Рассмотрим неустановившееся плоское движение в неглубоком водоеме с твердым дном и со свободной граничной поверхностью координаты вектора скорости будем здесь обозначать через и и соответственно.

Отметим сначала, что имеет место соотношение

В самом деле, по правилам дифференцирования интегралов, зависящих от параметра

Но на свободной поверхности и на дне выполняются, соответственно, граничные условия

Подставляя это в предыдущее равенство, мы найдем

последний интеграл равен нулю в силу условия несжимаемости, и мы получаем (24).

В теории мелкой воды делается предположение о том, что давление в жидкости совпадает с гидростатическим, что оно пропорционально глубине

где постоянное атмосферное давление. Подставляя это в уравнение движения, мы найдем для первой координаты скорости

откуда видно, что не зависит от у. С учетом этого замечания из (24) мы получаем

Введем величину

(мы воспользовались формулой (25)) и обозначим тогда

где постоянная для данной жидкости. Это соотношение формально можно рассматривать как уравнение адиабаты с показателем (ср. с формулой (5)). Если подставить величины в уравнения (26) и (27) и учесть еще, что , то эти уравнения перепишутся в виде

По форме они совпадают с уравнениями неустановившегося одномерного движения газа. Скорость распространения возмущений в нашей среде — это будут волны на поверхности водоема — определяется, как «скорость звука»

Возвращаясь к переменным мы можем записать систему (26) — (27) в виде

В теории уравнений с частными производными доказывается (см., например, [3]), что тип системы

(многоточие означает члены, не содержащие производных) определяется знаком дискриминанта

Для системы (30) этот дискриминант отрицателен:

Следовательно, эта система — гиперболического типа.

Система (30) нелинейна и потому не очень проста Для исследования. Существенно упрощает (линеаризирует) ее предположение о том, что величины малы

вместе с производными. Тогда можно пренебречь членами второго порядка малости (такими, как и система приближенно заменится такой линейной системой:

Из этой системы легко исключается функция и и для высоты слоя жидкости получается уравнение

Если дно водоема ровное то (32) сведется к простейшему уравнению гиперболического типа

Общее решение этого уравнения очень легко выписывается через две произвольные функции

где функции определяются через начальные и граничные условия.

Формула (34) дает решение в виде суммы двух волн, движущихся со скоростью , а функции определяют форму этой волны. Характеристиками системы (31) служат прямые они определяют фронт волны (и, в частности, отделяют зону покоя от возмущенной зоны, если функции и отличны от нуля только на конечном интервале, как это обычно бывает). Каждый читатель, несомненно, видел такие характеристики на мелкой воде — когда поливают асфальт, по ним распространяются возмущения от маленьких бугорков. Более подробно о свойствах решений уравнения (33) будет говориться в следующей главе.

В заключение отметим еще одно обстоятельство. Грубое приближение (линеаризация), которое мы применили к системе (30), привело нас к выводу, что волны распространяются с постоянной скоростью Более тонкий анализ показал бы, однако, что для этой скорости справедлива формула (29), из которой предыдущая получается при . А из

формулы (29) следует такой важный вывод — в мелкой воде верхние участки волны, для которых возвышение больше, движутся с большей скоростью, чем нижние. Этот вывод объясняет явление опрокидывания волн при набегании их на берег (рис. 7), его наблюдал каждый, кто был на море.

Математически явление опрокидывания волн дает пример решения уравнения с частными производными, которое имеет особенности.

Рис. 7.

В теории уравнений доказывается, что линейные эллиптические уравнения с гладкими коэффициентами могут иметь лишь гладкие решения. Поэтому появление негладких (разрывных или с разрывными производными) решений наблюдается лишь у гиперболических или нелинейных уравнений. Решения с особенностями, аналогичные опрокидыванию волн, играют большую роль в сверхзвуковой газовой динамике (ударные волны, скачки уплотнения). О них мы немного поговорим в гл. IV; при дозвуковых скоростях такие решения невозможны.

В заключение отметим, что если от рассмотренной здесь плоской задачи перейти к пространственной, то в тех же упрощающих (линеаризирующих) предположениях для высоты слоя жидкости вместо (32) мы получим уравнение

Это приближенное уравнение называют акустическим.