Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. СжимаемостьПри движениях жидкости с большими скоростями, сравнимыми со скоростью распространения звука в этой жидкости, становится существенной ее сжимаемость. Плотность жидкости Основные уравнения. Условие несжимаемости
уравнение движения пишется по-старому:
и появляется новое, термодинамическое уравнение
Последнее уравнение выражает условие отсутствия теплообмена между частицами среды: энтропия 5 каждой частицы постоянна, т. е. полная производная энтропии равная Однако система (1) — (3) еще недостаточна для описания процессов, происходящих в сжимаемых средах. К ней нужно добавить соотношение, связывающее величины
Это соотношение является следствием общих законов термодинамики, а конкретный вид зависимости определяется свойствами среды. Например, для среды, называемой идеальным газом, эта зависимость имеет вид
где постоянная Упрощающие предположения. Одним из таких предположений является условие изэнтропичности — движение таково, что во всем объеме, занятом средой, энтропия Для изэнтропических течений, как и для течений несжимаемой жидкости, оказывается справедливой теорема о постоянстве циркуляции скорости по произвольному замкнутому жидкому контуру. Из нее следует, что имеет смысл рассматривать изэнтропические потенциальные течения сжимаемой жидкости. Следует, однако, отметить, что в определенных условиях в сжимаемых жидкостях, в отличие от несжимаемых, даже при гладких начальных условиях могут образоваться так называемые сильные разрывы — поверхности, на которых гидродинамические величины (например, плотности и давления) меняются скачком. Из термодинамических соображений, а также из законов сохранения импульса и энергии следует, что при прохождении частицы через такой разрыв ее энтропия меняется скачком и изэнтропичность нарушается. При возникновении сильных разрывов перестает быть справедливой и теорема о сохранении циркуляции, в которой условие изэнтропичности является существенным. Таким образом, появление сильных разрывов нарушает наши упрощающие предположения. Тем не менее класс изэнтропических потенциальных течений сжимаемой жидкости достаточно широк и часто встречается в приложениях. Плоские установившиеся течения. Теория существенно упрощается, если в дополнение к предположениям об изэнтропичности и потенциальности предположить, что движение является плоским и установившимся. Тогда уравнение неразрывности (1) примет вид
добавится условие отсутствия завихренности
а уравнение движения (2) заменится интегралом Бернулли
(мы пренебрегаем внешними силами — при больших скоростях они несущественны). Второе слагаемое
называется энтальпией среды; так как Для идеального газа (при постоянной энтропии
где
скорость звука, таким образом, оказывается функцией от скорости Постоянная в правой части (9) равна, очевидно,
Это соотношение можно рассматривать как интеграл Бернулли для идеального газа; постоянная Очевидно, что и в общем случае установившихся потенциальных течений в баротропных средах из интеграла Бернулли (8) можно найти дифференциальных уравнений первого порядка (6) и (7) относительно двух неизвестных функций Уравнение для потенциала. Продолжаем описание плоских движений, сохранив сделанные выше предположения. Из соотношения (7) следует существование потенциала скоростей
а из (6) — существование функции тока
Линии уровня
в которой Из системы (13) можно исключить функцию
или
Далее, дифференцируя по
а из формулы
В случае несжимаемой жидкости ему соответствует уравнение Лапласа, которое получается из (16), если в последнем положить скорость звука Звуковой барьер. Очень существенным обстоятельством является то, что уравнение (16) может менять тип. Тип квазилинейного дифференциального уравнения
(А, В, С - известные функции
— если эта форма сохраняет знак, то говорят, что уравнение зависимости от того, есть у него действительные корни или их нет. Таким образом, тип уравнения (17) определяется знаком дискриминанта Для уравнения (16) дискриминант
следовательно, оно эллиптическое при дозвуковых скоростях Перемена типа дифференциального уравнения принципиально меняет свойство его решений и это отражает тот факт, что характер движения в сжимаемых средах резко меняется при переходе через скорость звука. Некоторые явления при этом заменяются прямо противоположными. Рассмотрим, например, так называемый расход
Отсюда видно, что при дозвуковых режимах расход растет при увеличении скорости, а при сверхзвуковых, наоборот, падает. Можно указать и другие явления, резко меняющиеся при переходе через скорость звука. Легко понять, как важно это обстоятельство для пилота, ведущего самолет со скоростью, близкой к звуковой, ведь одно и то же его действие при дозвуковых и сверхзвуковых режимах может привести к прямо противоположным результатам! Характеристики. Одно из наиболее существенных от личий сверхзвуковых и дозвуковых режимов среды связано с различным характером распространений в них локальных возмущений. Именно, при дозвуковых скоростях возмущения распространяются по всему пространству, а при сверхзвуковых — лишь внутри некоторого сектора. Качественную причину этого понять нетрудно, если учесть, что возмущения в среде распространяются со скоростью звука. Представим себе, что среда неподвижна, а источник возмущений прямолинейно движется со скоростью и. Если
Рис. 4. То же самое, конечно, будет происходить, если источник возмущений неподвижен, а среда движется с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. Так как мы ограничиваемся установившимися движениями, то мы должны предположить, что в дозвуковом Случае возмущения уже заняли все пространство, а в сверхзвуковом — весь сектор с вершиной в точке возмущения; вне сектора движение не возмущено. Границы этого сектора — линии, отделяющие возмущенную зону от невозмущенной, называются характеристиками, они играют фундаментальную роль при изучении сверхзвуковых течений. В дозвуковых течениях характеристик нет. Характеристики очень естественно появляются и в теории уравнений с частными производными. Для уравнений эллиптического типа вида (17) оказывается справедливой теорема единственности, по которой всякое их решение, обращающееся в нуль в каком-либо кружке, тождественно равно нулю. Но для гиперболических уравнений это не так: существуют решения, которые равны нулю в некоторой зоне и отличны от нуля в другой. Оказывается, далее, что линия раздела этих двух зон не может быть произвольной. В самом деле (если решение гладкое, что мы предполагаем), на этой линии должны обращаться в нуль и решение решения и его первых производных (так называемая задача Коши) однозначно определяет это решение. Но наша линия раздела является исключением: существуют по крайней мере два решения с теми же данными Выясним, что это за кривые, в случае квазилинейного уравнения (17). Зададим на некоторой кривой
Эти данные должны быть согласованы, т. е. удовлетворять соотношению, которое получается дифференцированием по х тождества
(точкой обозначается дифференцирование по параметру). Задача Коши (19) имеет единственное решение, если по заданным величинам (19) и по уравнению (17) вдоль у можно однозначно определить производные старших порядков решения Посмотрим, как обстоит дело со вторыми производными
Полученная система может оказаться неразрешимой или разрешимой неоднозначно лишь в случае, когда ее определитель равен 0, т. е. когда
Нетрудно видеть, что если вдоль кривой у левая часть (20) не обращается в нуль, то вдоль этой кривой однозначно определяются не только вторые, но и все высшие производные решения Тейлора в окрестности у однозначно определится и само решение. Если же вдоль у удовлетворяется соотношение (20), то эта процедура либо невыполнима, либо неопределенна. В последнем случае мы получим, в частности, линии раздела, отделяющие зоны, в которых решение тождественно равно 0, от зон, в которых оно отлично от нуля (рис. 5).
Рис. 5. Кривые у, удовлетворяющие уравнению (20) в каждой своей точке, называются характеристиками уравнения (17). Если положить Для уравнения потенциала (16), в частности, характеристики определяются уравнением
откуда
В соответствии с только что сказанным, при дозвуковых режимах называемый угол Маха, который определяется соотношением
(он имеет смысл лишь при сверхзвуковых скоростях), то формулу (21) можно переписать в виде
Отсюда видно, что в каждой точке сверхзвуковой зоны вектор скорости служит биссектрисой угла между характеристиками, величина которого равна удвоенному углу Маха 2а (рис. 6). Отсюда и из формулы (22) видно также, что скорость движения каждой из характеристик в направлении нормали к ней,
Рис. 6. Мелкая вода. Укажем еще задачу на потенциальные течения несжимаемой жидкости, в которой также появляются уравнения гиперболического типа. Рассмотрим неустановившееся плоское движение в неглубоком водоеме с твердым дном Отметим сначала, что имеет место соотношение
В самом деле, по правилам дифференцирования интегралов, зависящих от параметра
Но на свободной поверхности и на дне выполняются, соответственно, граничные условия
Подставляя это в предыдущее равенство, мы найдем
последний интеграл равен нулю в силу условия несжимаемости, и мы получаем (24). В теории мелкой воды делается предположение о том, что давление в жидкости совпадает с гидростатическим,
где
откуда видно, что не зависит от у. С учетом этого замечания из (24) мы получаем
Введем величину
(мы воспользовались формулой (25)) и обозначим
где
По форме они совпадают с уравнениями неустановившегося одномерного движения газа. Скорость распространения возмущений в нашей среде — это будут волны на поверхности водоема — определяется, как «скорость звука»
Возвращаясь к переменным
В теории уравнений с частными производными доказывается (см., например, [3]), что тип системы
(многоточие означает члены, не содержащие производных) определяется знаком дискриминанта
Для системы (30) этот дискриминант отрицателен:
Следовательно, эта система — гиперболического типа. Система (30) нелинейна и потому не очень проста Для исследования. Существенно упрощает (линеаризирует) ее предположение о том, что величины вместе с производными. Тогда можно пренебречь членами второго порядка малости (такими, как
Из этой системы легко исключается функция и и для высоты слоя жидкости
Если дно водоема ровное
Общее решение этого уравнения очень легко выписывается через две произвольные функции
где Формула (34) дает решение в виде суммы двух волн, движущихся со скоростью В заключение отметим еще одно обстоятельство. Грубое приближение (линеаризация), которое мы применили к системе (30), привело нас к выводу, что волны распространяются с постоянной скоростью формулы (29) следует такой важный вывод — в мелкой воде верхние участки волны, для которых возвышение Математически явление опрокидывания волн дает пример решения уравнения с частными производными, которое имеет особенности.
Рис. 7. В теории уравнений доказывается, что линейные эллиптические уравнения с гладкими коэффициентами могут иметь лишь гладкие решения. Поэтому появление негладких (разрывных или с разрывными производными) решений наблюдается лишь у гиперболических или нелинейных уравнений. Решения с особенностями, аналогичные опрокидыванию волн, играют большую роль в сверхзвуковой газовой динамике (ударные волны, скачки уплотнения). О них мы немного поговорим в гл. IV; при дозвуковых скоростях такие решения невозможны. В заключение отметим, что если от рассмотренной здесь плоской задачи перейти к пространственной, то в тех же упрощающих (линеаризирующих) предположениях для высоты слоя жидкости
Это приближенное уравнение называют акустическим.
|
1 |
Оглавление
|