Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 22. Склеивание вихревых и потенциальных теченийЗдесь будет описано еще несколько новых моделей для решения классических задач, которые основаны на склеивании потенциальных течений с вихревыми. Обтекание пластинки. В предлагаемой здесь модели движение распадается на три независимых движения: 1) в области
Рис. 61 Течение в Обозначим координаты вектора скорости V через следующим системам дифференциальных уравнений:
Описанная выше схема приводит к задаче о склеивании по непрерывности решений этих систем, удовлетворяющих условиям обтекания, о которых будет говориться ниже. Ясно, что эта задача симметрична: если нам удастся найти в
Рис. 62. Таким образом, задача свелась к следующей: найти линию у, соединяющую конец вертикального отрезка
а в области При заданной скорости в бесконечности для выделения решения нужно задать еще одну из величин <а «ли из этих величин определяется. Расчеты, выполненные на электронных вычислительных машинах, показали, что в определенном диапазоне скоростей эта модель обтекания пластинки дает весьма хорошее совпадение с опытом. Однако полное математическое решение и исследование задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено. Мы укажем на эти трудности сначала для более простого варианта задачи, в котором отрезок I отсутствует. Задача о склейке. Пусть
Рис. 63. Кроме того, предполагается, что течение имеет заданную скорость в бесконечности В отличие от задачи обтекания пластинки, эта задача разрешима при любых заданных значениях скорости на бесконечности координаты увеличены в Задача сводится к интегральному уравнению с неизвестной областью интегрирования. В самом деле, введем, как выше в § 19, функцию тока
Нам нужно найти решение, которое: 1) имеет непрерывные частные производные всюду в Решение, удовлетворяющее первым трем условиям, легко выписывается:
при Как мы уже говорили, величина завихренности в этой задаче определяется в процессе ее решения. Это можно сделать, отправляясь от условия, что величина скорости течения в точке
Уравнение (5) было решено на электронных вычислительных машинах А. Б. Шабатом [12]; на рис. 63 приведена полученная им картина линий тока для значения Приведем модельный вариант задачи, в котором существование решения очевидно, а единственность доказана. В этом варианте линия склейки у считается не конечной, опирающейся на заданный отрезок Из общих соображений естественно искать решение этой задачи в классе функций
Будем по-прежнему считать, что
Остается найти величину
А. Б. Шабат [12] доказал, что в этой задаче любое решение
Рис. 64. Все сказанное здесь распространяется на более общий случай, когда Обтекание выпуклых тел. В том же круге идей строится модель для обтекания круга или вообще выпуклой фигуры, симметричной относительно оси х, потоком с той же осью симметрии. И здесь область течения разбивается на три зоны, в двух из которых течение имеет постоянную завихренность подбираются из условий обтекания и непрерывности поля скоростей вне контура Г (рис. 64). При заданной скорости в бесконечности для однозначного определения решений нужно задать еще размеры завихренных зон, задавая, например, точки а и а срыва струй с обтекаемого контура. Доказательство существования и единственности решения этой задачи также еще не получено.
Рис. 65. Однако для ряда тел проведено численное решение на ЭВМ, которое дало хорошее совпадение с экспериментальными данными. Приведем для примера фотографию одного из этапов обтекания круглого цилиндра (рис. 65), на которой для сравнения указаны данные расчета по приведенной здесь схеме в том же режиме обтекания; точки срыва струй с контура цилиндра были заданы на угловом расстоянии в 120 °С от передней критической точки (М. А. Гольдштик). Обтекание траншеи. Рассмотрим задачу о течении в глубоком водоеме с плоским дном, в котором имеется траншея с квадратным сечением; скорость в бесконечности задана, параллельна дну и перпендикулярна траншее. Имеются два классических решения этой задачи: 1) все течение считается потенциальным и 2) решение по схеме Кирхгофа. По первой схеме комплексный потенциал определяется конформным отображением
Рис. 66. По схеме Кирхгофа течение распадается на два — поступательное движение со скоростью Кос в полуплоскости и покой в траншее (рис. 66, б). Однако опыты показывают, что в весьма значительных диапазонах чисел Рейнольдса и значений из этих двух схем не реализуется. В частности, скорость течения на дне траншеи, которая по первой схеме очень мала, а по второй вовсе равна нулю, оказывается сравнимой с Это — частный случай рассмотренной выше задачи о склейке, в котором линия Г представляет собой ломаную, составленную из отрезков Им же были просчитаны варианты этой задачи, в которой траншея имела вид прямоугольника с основанием 2а и высотой верхней и
Рис. 67. Представляется весьма интересным довести до конца математическое исследование задачи о склейке и, в частности, выяснить вопрос о числе ее решений в различных вариантах. Заключительное замечание. Мы рассказали о некоторых новых схемах решения задач гидродинамики. Хотя они и дают наибольшее приближение к реальности, они все же остаются схемами, и при их применении к практическим задачам нужно вносить некоторые поправки. Главные поправки связаны с тем, что эти схемы, как и большинство схем, в которых решаются конкретные задачи гидродинамики, не учитывают вязкости. (кликните для просмотра скана) Следует заметить, однако, что эти новые схемы существенно лучше приспособлены к учету вязкости, чем классические. Дело в том, что вязкость в реальных задачах того типа, которые мы здесь рассматривали, приводит к образованию сравнительно узких турбулентных зон вблизи мест склейки различных типов течений. Поэтому, получив решение по какой-либо из рассмотренных схем, мы должны лишь учесть в качестве поправки наличие турбулентных зон вблизи линий, которые нам известны. В классических же схемах решения этих задач учет вязкости производить практически очень трудно. Вообще методы, в которых склеиваются различные режимы в различных зонах, а физические факторы учитываются на сравнительно небольших участках, в последние годы приобретают все большее значение. Следует ожидать, что они получат и дальнейшее развитие. Закончим эту главу сравнением последней задачи о течении в глубокой траншее с реальной задачей захоронения радиоактивных остатков в глубоких ямах на дне океана. Как мы отмечали выше, расчет по потенциальной схеме дает на дне траншеи столь малые скорости, что энергия течения не может увлечь эти остатки, расчет по схеме Кирхгофа дает на дне покой. По этим классическим схемам, следовательно, захоронение остатков вполне безопасно. Рассмотрим теперь решение по новой схеме с учетом поправок, о которых мы только что говорили. По этой схеме скорости движения на дне траншеи сравнимы со скоростью основного течения, так что остатки вовлекаются в вихревое движение в нижней зоне. По схеме траектории этого движения — замкнутые кривые, расположенные под нижней линией раздела, и теоретически остатки будут все время двигаться в этой зоне. Но поправка на вязкость дает турбулентный слой вокруг линии раздела, так что захороненные остатки, попав в этой слой, выходят во вторую вихревую зону, в которой скорости движения снова велики. Из этой зоны через второй турбулентный слой они выходят в основное течение. Вывод из этого решения — и он подтверждается практикой — такой способ захоронения радиоактивных остатков неприемлем! Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|