§ 22. Склеивание вихревых и потенциальных течений

Здесь будет описано еще несколько новых моделей для решения классических задач, которые основаны на склеивании потенциальных течений с вихревыми.

Обтекание пластинки. В предлагаемой здесь модели движение распадается на три независимых движения: 1) в области ограниченной верхней половиной пластинки, отрезком оси симметрии (оси и струей срывающейся с верхнего края пластинки, 2) в области симметричной с относительно оси х, и 3) в области дополняющей до всей плоскости.

Рис. 61

Течение в предполагается потенциальным, а в вихревым, в с постоянной завихренностью , в с завихренностью Кривые не задаются, их надо подобрать так, чтобы они были линиями тока и поле скоростей оставалось непрерывным всюду вне пластинки. На рис. 61 приведена фотография обтекания плоской пластинки, из которой видно, что предлагаемая модель хорошо согласуется с опытом.

Обозначим координаты вектора скорости V через , тогда эти функции будут удовлетворять

следующим системам дифференциальных уравнений:

Описанная выше схема приводит к задаче о склеивании по непрерывности решений этих систем, удовлетворяющих условиям обтекания, о которых будет говориться ниже. Ясно, что эта задача симметрична: если нам удастся найти в и в верхней половине непрерывную функцию удовлетворяющую системе (1) и такую, что на оси х, то положив где мы получим, что функция, равная при при будет непрерывной вне пластинки и удовлетворять системе всюду в

Рис. 62.

Таким образом, задача свелась к следующей: найти линию у, соединяющую конец вертикального отрезка сточкой оси х так, чтобы существовала непрерывная в верхней полуплоскости с исключенным отрезком функция которая в области удовлетворяет системе

а в области аналитична. При этом должны выполняться еще такие условия обтекания: I) на всей оси на отрезке на кривой у, где а — угол наклона касательной к этой кривой (рис. 62).

При заданной скорости в бесконечности для выделения решения нужно задать еще одну из величин <а «ли (из некоторых допустимых интервалов), другая

из этих величин определяется. Расчеты, выполненные на электронных вычислительных машинах, показали, что в определенном диапазоне скоростей эта модель обтекания пластинки дает весьма хорошее совпадение с опытом.

Однако полное математическое решение и исследование задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено. Мы укажем на эти трудности сначала для более простого варианта задачи, в котором отрезок I отсутствует.

Задача о склейке. Пусть верхняя полуплоскость требуется найти область граница которой состоит из заданного отрезка оси х и опирающейся на этот отрезок (неизвестной) дуги у, так, чтобы существовало течение с постоянной завихренностью и потенциальное в остальной части причем поле скоростей непрерывно всюду в а у является линией тока (рис. 63).

Рис. 63.

Кроме того, предполагается, что течение имеет заданную скорость в бесконечности направленную по оси х; величина завихренности определяется в процессе решения. Можно также задавать и подбирать величину отрезка .

В отличие от задачи обтекания пластинки, эта задача разрешима при любых заданных значениях скорости на бесконечности и любой завихренности Из размерностных соображений следует, что при фиксированной и для очень малых вихревая область весьма велика; при увеличении эта область сжимается и при ее диаметр стремится к нулю. В самом деле, из уравнений (1) видно, что если они справедливы для какого-либо течения, то они будут справедливы и для течения, у которого пространственные

координаты увеличены в раз, скорость в раз, а завихренность в раз.

Задача сводится к интегральному уравнению с неизвестной областью интегрирования. В самом деле, введем, как выше в § 19, функцию тока такую, что эта функция должна удовлетворять уравнению

Нам нужно найти решение, которое: 1) имеет непрерывные частные производные всюду в имеет принимает постоянное значение (пусть равное нулю) на оси то же значение принимает на неизвестной дуге у.

Решение, удовлетворяющее первым трем условиям, легко выписывается:

переменная точка интегрирования), причем здесь может быть произвольной частью доказательство этого можно найти, скажем, в книге Р. Куранта [1], стр. 247. Нам, однако, нужно найти такое решение, для которого имела бы вид, указанный в постановке задачи, и притом удовлетворялось условие 4), по которому на у. Это условие и дает интегральное уравнение, о котором мы говорили: если уравнение искомой кривой у, то оно имеет вид

при Заметим, что внутренний интеграл по легко вычисляется в элементарных функциях, и поэтому двойное интегрирование здесь можно заменить простым.

Как мы уже говорили, величина завихренности в этой задаче определяется в процессе ее решения. Это можно сделать, отправляясь от условия, что величина скорости течения в точке должна быть равной 0. Вычисляя по формуле (4) дифференцированием под знаком интеграла и полагая мы после простых преобразований получаем формулу, по которой можно найти для данного решения

Уравнение (5) было решено на электронных вычислительных машинах А. Б. Шабатом [12]; на рис. 63 приведена полученная им картина линий тока для значения и скорости в бесконечности Однако доказательство существования и единственности и устойчивости решения получить пока не удалось. Более того, имеются варианты задачи, для которых при машинном счете обнаружено несколько решений (см. ниже пункт о течении в траншее).

Приведем модельный вариант задачи, в котором существование решения очевидно, а единственность доказана. В этом варианте линия склейки у считается не конечной, опирающейся на заданный отрезок а], а бесконечной, отрезающей от область типа полосы (так что ограничена осью х и кривой у); считаются заданными скорость К» потенциального потока, завихренность и расход в вихревой полосе (т. е. разность значений на у и на оси

Из общих соображений естественно искать решение этой задачи в классе функций зависящих лишь от у, а в этом классе задача становится совсем простой. Пусть у будет прямая тогда уравнение (3) заменится обыкновенным дифференциальным уравнением

Будем по-прежнему считать, что на у, тогда из условия на бесконечности находим, что в (т. е. при функция (т. е. при

имеем где постоянные и с находятся из условий склейки при с предыдущим решением. Так мы находим

Остается найти величину расход равен значению при , т. е. откуда определяется единственное положительное значение

А. Б. Шабат [12] доказал, что в этой задаче любое решение должно зависеть лишь от у, и тем самым доказана единственность построенного решения.

Рис. 64.

Все сказанное здесь распространяется на более общий случай, когда произвольная область типа полуплоскости, ограниченная кривой Г, гладкой всюду, кроме, быть может, точек , в которых допускаются углы. Этот случай приводится к рассмотренному при помощи конформного отображения области на верхнюю полуплоскость. В такую более общую схему укладывается ряд задач, важных для приложений (см. работы М. А. Гольдштика [14], А. Б. Шабата [12], [13], П. И. Плотникова [15]).

Обтекание выпуклых тел. В том же круге идей строится модель для обтекания круга или вообще выпуклой фигуры, симметричной относительно оси х, потоком с той же осью симметрии. И здесь область течения разбивается на три зоны, в двух из которых течение имеет постоянную завихренность а в третьей — потенциально. Линии у и у и величина

подбираются из условий обтекания и непрерывности поля скоростей вне контура Г (рис. 64). При заданной скорости в бесконечности для однозначного определения решений нужно задать еще размеры завихренных зон, задавая, например, точки а и а срыва струй с обтекаемого контура.

Доказательство существования и единственности решения этой задачи также еще не получено.

Рис. 65.

Однако для ряда тел проведено численное решение на ЭВМ, которое дало хорошее совпадение с экспериментальными данными. Приведем для примера фотографию одного из этапов обтекания круглого цилиндра (рис. 65), на которой для сравнения указаны данные расчета по приведенной здесь схеме в том же режиме обтекания; точки срыва струй с контура цилиндра были заданы на угловом расстоянии в 120 °С от передней критической точки (М. А. Гольдштик).

Обтекание траншеи. Рассмотрим задачу о течении в глубоком водоеме с плоским дном, в котором имеется траншея с квадратным сечением; скорость в бесконечности задана, параллельна дну и перпендикулярна траншее. Имеются два классических решения этой задачи: 1) все течение считается потенциальным и 2) решение по схеме Кирхгофа.

По первой схеме комплексный потенциал определяется конформным отображением области течения на верхнюю полуплоскость с нормировкой Линии тока (прообразы прямых при отображении заходят в траншею, как показано на рис. 66, а.

Рис. 66.

По схеме Кирхгофа течение распадается на два — поступательное движение со скоростью Кос в полуплоскости и покой в траншее (рис. 66, б). Однако опыты показывают, что в весьма значительных диапазонах чисел Рейнольдса и значений ни одна

из этих двух схем не реализуется. В частности, скорость течения на дне траншеи, которая по первой схеме очень мала, а по второй вовсе равна нулю, оказывается сравнимой с В этих диапазонах наилучшее совпадение с опытом дает следующая модель. Движение распадается на две зоны: в первой, ограниченной отрезками оси х и некоторой линией у, соединяющей концы отрезков, движение потенциально; во второй, ограниченной у и тремя сторонами квадрата, движение имеет постоянную завихренность При заданной линию и величину завихренности <а нужно подобрать так, чтобы поле скоростей было непрерывным во всей области течения.

Это — частный случай рассмотренной выше задачи о склейке, в котором линия Г представляет собой ломаную, составленную из отрезков и трех сторон квадрата. При помощи конформного отображения области ограниченной ломаной Г и лежащей выше нее, на верхнюю полуплоскость (это отображение можно выписать с помощью интеграла) задача сводится к решению интегрального уравнения (5). Задача была просчитана М. А. Гольдштиком на ЭВМ, и решение (рис. 66, в) оказалось очень хорошо совпадающим с результатами эксперимента.

Им же были просчитаны варианты этой задачи, в которой траншея имела вид прямоугольника с основанием 2а и высотой Интересно, что в случае мелкой траншеи, для которой на машинах было получено два решения, изображенных на рис. 67, а и б (на рисунках приведены лишь левые половины течений, правые симметричны). Эти решения отличаются числом критических точек, где скорость обращается в 0: в первом решении их три, а во втором — две. По-видимому, несколько решений, отличающихся числом критических точек, может быть и для глубоких траншей, для которых глубина примерно в два раза больше ее ширины . С экспериментом хорошо согласуется решение, в котором течение распадается на три зоны: в первой, расположенной над траншеей, движение потенциально, в двух других, расположенных в траншее друг над другом, движение имеет постоянные завихренности в

верхней и в нижней. На рис. 68 приведены кадры, снятые А. А. Бузуковым в Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР: на них отчетливо видны зоны с течениями различных типов.

Рис. 67.

Представляется весьма интересным довести до конца математическое исследование задачи о склейке и, в частности, выяснить вопрос о числе ее решений в различных вариантах.

Заключительное замечание. Мы рассказали о некоторых новых схемах решения задач гидродинамики. Хотя они и дают наибольшее приближение к реальности, они все же остаются схемами, и при их применении к практическим задачам нужно вносить некоторые поправки. Главные поправки связаны с тем, что эти схемы, как и большинство схем, в которых решаются конкретные задачи гидродинамики, не учитывают вязкости.

(кликните для просмотра скана)

Следует заметить, однако, что эти новые схемы существенно лучше приспособлены к учету вязкости, чем классические. Дело в том, что вязкость в реальных задачах того типа, которые мы здесь рассматривали, приводит к образованию сравнительно узких турбулентных зон вблизи мест склейки различных типов течений. Поэтому, получив решение по какой-либо из рассмотренных схем, мы должны лишь учесть в качестве поправки наличие турбулентных зон вблизи линий, которые нам известны. В классических же схемах решения этих задач учет вязкости производить практически очень трудно.

Вообще методы, в которых склеиваются различные режимы в различных зонах, а физические факторы учитываются на сравнительно небольших участках, в последние годы приобретают все большее значение. Следует ожидать, что они получат и дальнейшее развитие.

Закончим эту главу сравнением последней задачи о течении в глубокой траншее с реальной задачей захоронения радиоактивных остатков в глубоких ямах на дне океана. Как мы отмечали выше, расчет по потенциальной схеме дает на дне траншеи столь малые скорости, что энергия течения не может увлечь эти остатки, расчет по схеме Кирхгофа дает на дне покой. По этим классическим схемам, следовательно, захоронение остатков вполне безопасно.

Рассмотрим теперь решение по новой схеме с учетом поправок, о которых мы только что говорили. По этой схеме скорости движения на дне траншеи сравнимы со скоростью основного течения, так что остатки вовлекаются в вихревое движение в нижней зоне. По схеме траектории этого движения — замкнутые кривые, расположенные под нижней линией раздела, и теоретически остатки будут все время двигаться в этой зоне. Но поправка на вязкость дает турбулентный слой вокруг линии раздела, так что захороненные остатки, попав в этой слой, выходят во вторую вихревую зону, в которой скорости движения снова велики. Из этой зоны через второй турбулентный слой они выходят в основное течение. Вывод из этого решения — и он подтверждается практикой — такой способ захоронения радиоактивных остатков неприемлем!

Литература

(см. скан)