§ 34. Распространение волн и проблема цунами

В заключение этой главы мы рассмотрим некоторые вопросы теории неустановившихся волновых движений жидкости. Из широкого круга таких вопросов мы выберем лишь два: 1) эффект волновода — качественно новое явление, возникающее при неровном дне; 2) проблема краткосрочного прогноза цунами на основе сейсмической информации.

Цунами — японский термин, означающий необычно большую волну. Волны цунами возникают от внезапных перемещений обширных участков дна океана во время подводных землетрясений. Они, как правило, составляют группу из двух-трех волн, которые в открытом море являются очень длинными (длина 100 км) и пологими (высота 1 м), поэтому не опасны. Но при подходе к берегу их высота возрастает за счет уменьшения длины и может достигать 30 м (по словам очевидцев). Проникая в глубь прибрежной территории, они вызывают большие разрушения и человеческие жертвы. Например,

волной цунами в ночь с 4 на 5 ноября 1952 г., которая возникла в результате землетрясения вблизи берегов Камчатки, был полностью смыт город Северо-Курильск [7]. Надо заметить, что такие разрушительные цунами — явление редкое, бывают один-два раза в 100 лет.

Анализируя данные наблюдений цунами, можно заметить, что высота волны на побережье (при одинаковых условиях выхода на берег) не уменьшается монотонно с удалением от эпицентра землетрясения. Для объяснения этого явления можно указать две причины — начальную направленность волны, обусловленную начальными условиями, и влияние рельефа дна в процессе распространения волны. Рассмотрим подробнее вторую причину.

Влияние рельефа дна. В гл. I мы видели, что в рамках линейной теории мелкой воды распространение волн описывается акустическим уравнением

где глубина бассейна (см. (35) § 2). Скорость распространения волн в этой теории, следовательно, равна и над неровным дном скорость над подводными возвышениями оказывается меньшей, чем на глубоких участках. Это приводит к деформации волн, которая сопровождается концентрацией энергии на мелководных участках бассейна.

Из акустики известно, что если скорость звука имеет минимум на какой-либо прямой или плоскости М, то от источника возмущений вдоль М излучается группа медленно затухающих волн, энергия которых локализована в окрестности М. Линия (поверхность) минимума скорости звука служит, следовательно, своего рода волноводом для звуковых волн.

В 1957 г. М. А. Лаврентьев высказал гипотезу, что неровности дна типа подводных гребней также должны служить волноводами поверхностных волн, и поставил задачу об изучении этого явления в рамках более точных теорий. Вскоре, в 1959 г., Сунь Цао [8] обнаружил экспериментально почти стационарное распространение уединенной волны над подводным гребнем — над гребнем амплитуда волны была больше,

чем в других местах. В 1965 г. Р. М. Гарипов [9] в рамках линейной теории доказал, что неровность дна типа подводного хребта:

где h достаточно быстро стремится к своему пределу при действительно является волноводом поверхностных волн.

Напомним, что в линейной теории амплитуда волны и скорость жидкости считаются малыми. Это позволяет снести граничные условия со свободной поверхности жидкости на плоскость ее равновесия и считать, что потенциал скоростей Ф как функция пространственных переменных определен в фиксированной области Условие несжимаемости приводит к тому, что функция Ф должна быть гармонической в области для любого момента времени

На дне, при должно выполняться условие непроницаемости

а на свободной поверхности два условия: постоянства давления, которое в силу интеграла Коши—Лагранжа (30) § 1 имеет вид

и условие непроницаемости

В пределах принятой точности последние условия можно снести со свободной поверхности жидкости на плоскость ее равновесия и отбросить в них нелинейные члены. Тогда эти условия примут вид: при

Кроме того, должны выполняться начальные условия: при

где гармоническая в области функция. Задачу отыскания функций удовлетворяющих уравнению (3) и условиям (4), (5), (6), мы будем называть задачей

Задачу можно сформулировать и иначе. Для этого заметим, что гармоническая функция Ф в любой момент времени однозначно определяется своими значениями на плоскости и условием (4) непроницаемости дна (смешанная граничная задача, см. Л. и Ш., стр. 259), поэтому определен оператор сопоставляющим каждой функции значение нормальной производной соответствующей гармонической функции Ф на плоскости

Исключая из (5) функцию , мы придем к уравнению которое можно переписать в виде

Если глубина жидкости мала, то оператор К можно приближенно заменить дифференциальным оператором, ибо

Подставляя это приближенное выражение в (7), мы найдем, что функция так же как и , удовлетворяет акустическому уравнению (1). Этими двумя функциями движение полностью определяется.

Р. М. Гарипов показал, что качественная картина волновода при наличии подводного хребта правильно описывается уже в рамках изложенного выше акустического приближения.

Является ли эффект волновода существенным при распространении цунами? Данные о рельефе дна океана в цунамиактивных районах не говорят о наличии подводных хребтов, тянущихся от эпицентров

землетрясений к побережью. Но роль волноводов, по-видимому, играют материковые отмели (шельфы) и уступы вдоль берега. На это указывают характерные особенности некоторых цунами.

Общая характеристика волноводов. Волноводный характер распространения звука, упругих волн, радиоволн и т. п. в неоднородных средах без диссипации энергии имеет общую математическую природу, которую, следуя Р. М. Гарипову [10], можно описать так.

Предполагается, что процесс распространения волн описывается уравнением (7), в котором оператор К действует на функции только пространственных переменных. Этот оператор в подходящим образом выбранном гильбертовом пространстве является симметричным и положительным, что влечет за собой закон сохранения энергии. В ряде задач допустима приближенная постановка, в которой этот оператор можно считать дифференциальным. Для определенности в дальнейшем мы будем говорить о волнах на воде.

Примем дополнительно условие однородности волновода: уравнение (7) инвариантно относительно сдвигов по координате у, а дно бассейна имеет уравнение вида (так что речь идет об инвариантности относительно сдвигов вдоль неровностей дна).

При этом условии можно искать частные решения уравнения (7) в виде

где со и действительные числа, а при Подставляя это в (7) и пользуясь тем, что оператор К действует лишь на пространственные переменные, мы получим соотношение

Из условия однородности следует, что здесь переменные х и у разделяются, и мы таким образом приходим к задаче на собственные числа для функции Если собственные числа существуют являются функциями также параметра то рассматриваемая неровность дна служит волноводом.

Решение (9) представляет собой прогрессивную волну, которая бежит над подводным возвышением и

затухает по мере удаления от него в перпендикулярном направлении. Умножая его на произвольную функцию от и интегрируя по мы получим неустановившуюся волну, распространяющуюся параллельно оси у, энергия которой локализована в полоске, параллельной этой оси.

Р. М. Гарипов показал, что условие (2) при дополнительном условии однородности достаточно для существования решений вида (9), дающих волновод. В частности, оно выполняется, если дно бассейна плоское всюду, кроме полоски шириной над которой имеется возвышение высотой порядка Следовательно, при любом над этим возвышением распространяются медленно затухающие волны. Можно доказать, что при значения равномерно стремятся к 0, т. е. что при волновод постепенно пропадает.

Заметим, что условие однородности не является ограничением по существу, а введено лишь для упрощения рассуждений. Естественно ожидать, что решения типа (9), дающие волновод, существуют и в более общем случае, когда возвышение дна бассейна локализовано в полосе ограниченной ширины, уходящей на бесконечность.

Следует сказать, что волны типа (9), бегущие вдоль плоского наклонного берега, были найдены еще Стоксом и изучены рядом авторов, см. [11]. Наши рассуждения справедливы и в случае уступа вдоль вертикального берега, который тоже может служить волноводом.

Достаточные условия. После отделения переменной у и времени для функции в (9) получаем следующее уравнение:

Оператор А осуществляет отображение где решение граничной задачи

Этот оператор зависит от параметра и формы дна чтобы отметить последнее, мы будем писать

Здесь мы хотим доказать сформулированное выше достаточное условие (2) существования волновода. Как мы видели, для этого нужно убедиться в существовании собственных функций оператора А. Для простоты предположим еще, что дно водоема — достаточно гладкая поверхность, а также что вне некоторого конечного интервала (рис. 116).

Рис. 116.

Оператор А будем считать действующим в гильбертовом пространстве Он определен на пространстве Соболева и является самосопряженным. Обозначим через оператор А для случая плоского дна ; он имеет ту же область определения

Лемма. Оператор вполне непрерывен.

Доказательство. Обозначим через полосу а через — решение граничной задачи (12) в этой области. Теперь заметим, что функция определена и удовлетворяет уравнению (12) в пересечении обращается в нуль на границе и удовлетворяет неоднородному условию Неймана на нижней границе причем носитель этой неоднородности сосредоточен на ограниченном множестве, которое на рис. 116 отмечено, пунктиром. Поэтому (см. Л. и Ш., стр. 228) все производные функции на экспоненциально убывают при Кроме того, указанная неоднородность условий Неймана оценивается через -норму функции

Пользуясь еще локальностью эллиптических задач, получим

Отсюда и следует утверждение леммы.

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов: 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений на пересечении единичной сферы с областью его определения и 2) непрерывные спектры операторов и совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое).

Найдем спектр оператора Для этого удобно воспользоваться преобразованием Фурье

Так как оператор инвариантен относительно сдвига, то его «преобразование Фурье» есть оператор умножения на функцию. Легко вычислить

Спектр оператора чисто непрерывен не имеет собственных чисел) и заполняет полуось Поскольку унитарно эквивалентны, то их спектры совпадают.

Таким образом, вне оператор может иметь лишь изолированные собственные значения конечной кратности. Поэтому условие

достаточно для существования собственных функций этого оператора.

Наша цель — доказать достаточность условия (2). Для этого преобразуем выражение функционала

Здесь стоит интеграл от V по части границы области учитывая, что согласно (12) на остальной части границы , мы можем считать, что этот интеграл берется по всей границе Тогда, применяя формулу Грина, будем иметь

или, рассматривая это выражение как функционал от У и учитывая уравнение (12),

Уравнение (12) является уравнением Эйлера для функционала Т, следовательно, на множестве функций функционал Т принимает минимальное значение на решении этого уравнения (см., например, [12]). Вычислим значение Т на функции

получим

Первое слагаемое под интегралом заменим его максимальным значением и учтем, что при

Тогда будем иметь

Отсюда видно, что если существует точка в которой то скобка в правой части этого неравенства при достаточно большом станет отрицательной. Зафиксировав это и уменьшая а, всю правую часть можно сделать меньше и тогда условие (13) будет выполнено. Тем самым достаточность условия (2) для существования волновода доказана.

В приведенных выше рассуждениях тот факт, что дно однозначно проектируется на плоскость , является несущественным. Поэтому доказанный достаточный признак волновода можно сформулировать так: дно совпадает с горизонтальной плоскостью вне некоторой полосы, а минимальная глубина меньше, чем глубина над плоским участком дна (следует добавить еще некоторые условия гладкости дна).

Пусть теперь собственная функция оператора А. Тогда функция

является обобщенной собственной функцией оператора К из уравнения (7) (она не убывает при и поэтому не принадлежит пространству в котором действует оператор К). Обобщенная собственная функция быстро убывает в направлении, перпендикулярном волноводу. В случае неоднородного волновода тоже должны существовать обобщенные собственные функции оператора К, обладающие этим свойством. Но это пока никем не доказано.

Асимптотика волн. Можно доказать [10], что если функция достаточно быстро стремится к своему предельному значению то оператор А вне его непрерывного спектра имеет лишь конечное число собственных чисел. Занумеруем их, повторив каждое столько раз, какова его кратность: и обозначим через соответствующую им ортонормированную систему собственных функций. В силу (14) оператор А положителен, следовательно, все действительны; функции также можно считать действительными.

Величины и являются четными функциями параметра (так как они зависят от и определены

при где Оператор А зависит от параметра аналитически, поэтому являются аналитическими функциями от на интервалах при или величина стремится к нижней границе непрерывного спектра Нам удобно считать, что являются нечетными функциями.

Мы хотим получить асимптотическое разложение волн, распространяющихся вдоль волновода (над подводным хребтом). Для этого полезно заметить, что любое решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным и граничным условиям (5) и (6), можно представить в виде суммы

слагаемые которой ортогональны в смысле (см. [9] и Для определения коэффициентов этого разложения достаточно вспомнить, что и воспользоваться соотношением (5), по которому ; мы получим

Так как начальные значения (а также функции действительны, то Интересно отметить, что энергия движения равна сумме энергий движений, описываемых отдельными слагаемыми в (15).

Слагаемое описывает волны, распространяющиеся во все стороны, мы его рассматривать не будем.

Рассмотрим слагаемое суммы, которое мы обозначим через Ему соответствует группа волн с амплитудой

движущихся вдоль оси у и локализованных в некоторой полосе, окружающей ось, — это следует из того, что функция быстро убывает при возрастании Займемся асимптотикой этих води.

В силу четности функции по и отмеченного выше свойства коэффициентов интеграл в (15) по отрезку комплексно сопряжен с интегралом по отрезку Объединим эти интегралы, а также выразим синус и косинус по формулам Эйлера и возьмем лишь часть соответствующую тогда вместо (16) получим

(индекс мы для краткости опускаем). Если мы будем двигаться вдоль оси у с постоянной скоростью с, так что то задача сведется к асимптотической оценке при больших интеграла

где

Нам нужно выяснить характер зависимости Для этого воспользуемся соотношением (11), из которого, учитывая, что находим Теперь воспользуемся выражением (14) и, внося дифференцирование под знак интеграла, найдем

Так как функция удовлетворяет уравнению

которое получается дифференцированием (12) по то предыдущее равенство можно переписать в виде

Теперь применим формулу Грина, учитывая, при мы получим

Подставляя это равенство в предыдущее с учетом того, что найдем окончательно

и, следовательно, можно выбрать так, чтобы на отрезке было

Переходя к асимптотической оценке интеграла (17), заметим прежде всего, что при т. е. при волны не затухают. В самом деле, в этом случае

и если положить т. е. двигаться вдоль волновода со скоростью то будем иметь

Если, напротив, на интервале , то к (17) можно применить метод стационарной фазы, который является разновидностью метода перевала (см. Л. и Ш., стр. 472). Мы получим, что в этом случае волны затухают со скоростью порядка (см. [14]).

Заметим, что в отсутствии подводного хребта (плоского дна) волны затухают быстрее, со скоростью порядка например, [13]).

Тот же метод показывает, что если в точке имеет нуль порядка то этой точке соответствует группа еще более медленно затухающих волн, с амплитудой порядка движущихся вдоль оси у со средней скоростью Метод позволяет найти и асимптотическое выражение для этих волн. Пусть, например, в точке имеет нуль второго порядка, так что Тогда (см. [9])

где

До сих пор мы говорили об асимптотическом разложении группы волн соответствующих слагаемому суммы (15). Асимптотика суммы определяется наиболее медленно затухающим слагаемым, причем если таких слагаемых несколько, то главные члены их асимптотических разложений не могут взаимно уничтожаться в силу отмеченной выше ортогональности.

Функции от которых зависит характер асимптотических разложений, определяются формой дна, т. е. функцией В работе Е. И. Биченкова и Р. М. Гарипова [15] исследована зависимость от формы дна. Особенно простой характер она имеет для случая, когда подводный хребет представляет собой широкую ступеньку небольшой высоты, т. е. функция

имеет вид

где малый параметр (рис. 117). Здесь оказалось, что существует такое критическое значение площади ступеньки что при функция не имеет нулей, при один нуль кратности 2, а при два простых нуля. Следовательно, при соответствующая группа волн затухает со скоростью порядка при со скоростью а при медленнее всего, со скоростью порядка

Рис. 117.

Таким образом, влияние подводного хребта на распространение волн сводится не только к простому увеличению амплитуды, но существенным образом определяет сам процесс распространения волны, изменяя характер затухания ее вдоль хребта. Вдоль хребта могут распространяться медленно затухающие волны.

Рис. 118.

Простейшая модель цунами. Переходя к рассмотрению цунами, мы прежде всего сильно идеализируем явление. Земную кору будем считать упругим, однородным и изотропным полупространством над которым находится слой жидкости постоянной глубины h (рис. 118).

В состоянии равновесия тензор упругих напряжений в земной коре имеет вид

где плотность коры, ускорение силы тяжести, а давление на границе полупространства в отсутствии движения. Во время землетрясения возникают дополнительные напряжения а и смещения , которые связаны между собой законом Гука:

где — упругие постоянные Земли, — символ ди

Кронеккера и - дивергенция поля смещений (координаты мы временно обозначили через

Процессы, которые выводят систему из состояния покоя, будем моделировать векторным полем массовых сил. Учитывая, что поле напряжений Земли есть можно написать уравнения упругих колебаний: и

(см., например, [16], стр. 185). Функция меняется по некоторому закону в промежутке времени когда в очаге землетрясения происходят активные геофизические процессы; мы считаем, что после этого она не зависит от времени и равна (остаточная сила). На самом деле но она вводится, чтобы в рамках теории упругости учесть необратимые смещения коры, которые остаются после землетрясений, вследствие пластических деформаций.

Так как движение жидкости начинается из состояния покоя, то мы считаем его потенциальным, потенциальную функцию обозначим через Скорость жидкости мы считаем малой. Давление внутри жидкости определяется по (линеаризированному) интегралу Коши — Лагранжа

где плотность жидкости.

Опишем теперь граничные условия. Амплитуды жидких волн и волн на границе упругого

полупространства мы считаем малыми и сносим их на плоскости равновесия, соответственно На свободной поверхности жидкости согласно (5) будем иметь условие

а на дне — два условия: непрерывности нормальной составляющей скорости

и условие непрерывности нормальных напряжений, которое (с учетом принятой линеаризации) записывается в виде орт оси или в координатах

Введем несколько упрощающих предположений. Прежде всего примем, что и что поле смещений и потенциально последнее предположение противоречит первым двум условиям (222), и нам придется их отбросить. Далее будем считать, что плотность жидкости мала в сравнении с плотностью коры и в силу этого правую часть последнего условия положим равной нулю (она мала в сравнении с Пусть характерные размер и смещение в очаге землетрясения, тогда и если мы предположим, что то в (222) сможем пренебречь и членом Это условие примет, следовательно, вид: при

Массовые силы при будем считать вертикальными тогда из наших предположений к из уравнения (20) будет следовать, что при Начальные условия для и можно считать нулевыми, так как движение возникает из состояния покоя в результате массовых сил, начинающих действовать в момент Поэтому на границе раздела все

время будет и значит, граничное условие (222) примет вид

Последнее упрощающее предположение состоит в том, что глубина слоя жидкости мала в сравнении с размером очага землетрясения и значит, можно воспользоваться приближением (8); мы получим

Перепишем, наконец, полученные уравнения и граничные условия в безразмерных переменных

где масштаб длины это расстояние от очага землетрясения до точки наблюдения, (у нас скорость продольных упругих волн. Так как согласно (5) надо положить

Обратимся к третьему уравнению (20); учитывая предположения (в силу последнего мы переписываем его в безразмерных величинах, для

причем функция отлична от нуля только при где момент начала землетрясения. Условие (21) в приближении (23) после перехода к безразмерной амплитуде волны и другим безразмерным величинам перепишется в виде

где

Уравнения (24)-(25) и представляют основные уравнения нашей модели. Граничным условием для уравнения (24) является условие (22):

а начальные условия для этих уравнений по причинам, о которых говорилось выше, имеют вид: при

В следующем разделе мы покажем, как можно применить эту модель к задаче краткосрочного прогноза цунами по сейсмической информации.

Задача краткосрочного прогноза. Предотвратить нами, по-видимому, так же трудно, как и землетрясения, поэтому имеется только две возможности. Первая возможность состоит в том, чтобы для прибрежных поселений выбирать нецунамиопасные места. Но такие места неудобны для строительства и, кроме того, поскольку в одном месте большие цунами бывают один-два раза в столетие, то экономически выгоднее отстраивать города заново после цунами, чем строить их в трудно доступных районах и терпеть ежедневные дополнительные издержки. Важно только научиться предсказывать цунами и в случае предстоящей опасности успевать эвакуировать население из затопляемой зоны.

Таким образом, задача краткосрочного прогноза цунами является важной народнохозяйственной задачей. В настоящее время для этой цели предназначаются цунамистанции, которые прогнозируют цунами по измерениям сейсмических волн. По сейсмограммам определяются координаты эпицентра землетрясения и его интенсивность; если последняя превышает пороговое значение, то в ближайших к эпицентру районах побережья объявляется тревога цунами.

Однако сильные землетрясения не всегда вызывают большие цунами, и поэтому эффективность такого прогноза низка — около 80% тревог оказываются ложными. Существующая практика прогноза цунами требует коренного улучшения. Нужно гораздо полнее использовать сейсмическую информацию, усовершенствовать

методы ее анализа. Здесь мы хотим проанализировать постановку задачи и показать несколько модельных примеров, связанных с ее решением.

Уточним прежде всего, что мы можем измерить и что должны предсказать. Пусть на побережье находится точка наблюдения, которую в рамках описанной выше модели будем считать совпадающей с началом координат. Высота волны цунами в точке наблюдения является скалярной функцией времени — В качестве начала отсчета времени выбираем начало наблюдения.

Поставим своей целью предсказать настолько полно, насколько это возможно, зная поле смещений на некотором малом участке а поверхности Земли вблизи лючки наблюдения.

Выберем в качестве а круг: и будем считать известной для где произведение круга а на положительную полуось

Правая часть уравнения (25) содержит значения функции на плоскости а нам известен лишь сейсмический сигнал до значение этой функции на многообразии 5. По этому сигналу нам и нужно предсказать волну цунами Для Отметим еще, что в силу граничного условия (26) нам известна (равна 0) нормальная производная на Как мы сейчас увидим на примерах, именно это обстоятельство избавляет нас от необходимости измерять поле смещений на глубине.

Однозначное предсказание. Обозначим через множество всех возможных сейсмических полей, т. е. функций определенных и дважды гладких в произведении Т пространства переменных на положительную полуось Мы предположим, что эти функции четны по переменной т. е., что всюду в Т — это заменяет граничное условие (26).

Оказывается, что если наложить некоторые начальные условия при на функции и, кроме того, некоторые условия на носители правых частей волнового

уравнения

которому согласно (24) должны удовлетворять эти функции то задание однозначно определяет функцию во всей области Г. В этом случае по измеренному сейсмическому сигналу можно будет восстановить значения т. е. правую часть уравнения (25), и тогда, решив последнее при нулевых начальных условиях (27), однозначно предсказать волну цунами. Классы обладающие этим свойством, будем называть классами единственности. Приведем два примера: Пример 1. Пусть начальное условие имеет вид

а период, в течение которого происходят активные процессы в очаге землетрясения, столь мал, что теоретически можно считать Момент землетрясения мы также считаем известным, и тогда правая часть уравнения (28) равна 0 при

Выясним, какие массовые силы вызывают сейсмические поля этого класса Так как согласно второму предположению у нас при то

Будем считать, что движение возникает из покоя, тогда и стремятся к 0 при и из уравнения (24), которое имеет вид мы получим

(мы воспользовались условием Таким образом, массовые силы, вызвавшие из покоя упругие волны класса должны иметь вид

где произвольная функция.

Докажем, что этот класс является классом единственности. Для этого достаточно доказать, что условие влечет за собой тождество Если функции продолжить четным образом по на значения то в силу условия (23) продолженная функция будет дважды гладкой во всем пространстве переменных и всюду в будет удовлетворять волновому уравнению Но по условию на многообразии а из четности по переменной следует, что и Таким образом, функция является решением волнового уравнения во всем пространстве удовлетворяющим нулевым условиям Коши на многообразии 5 непространственного типа. Отсюда и следует, что (см. Курант [1], стр. 749).

Заметим, что в классе из этого примера отображение некорректно: малая погрешность измерения сигнала может повлечь за собой большие погрешности в определении и, следовательно, в прогнозе волны цунами Чтобы избежать этого, нужно в классе единственности при помощи некоторых дополнительных условий выделить подкласс корректности. Результаты М. М. Лаврентьева [17] делают естественной гипотезу, что корректность можно обеспечить условием ограниченности сверху энергии упругих волн заданной наперед постоянной Величина оценивается из физических соображений как энергия землетрясения.

Пример 2. В качестве выберем класс обобщенных функций в с носителями в четных по переменной и удовлетворяющих уравнению

где произвольные точки точка, симметричная с а относительно плоскости постоянная и 6 — дельта-функция. Носители функций сосредоточены на поверхности конусов с вершинами в точках

Рис. 119.

В этом примере также является классом единственности, т. е. по значениям однозначно определяются значения всюду в

Этим самым однозначно определяется и точка

В самом деле, в противном случае существовали бы две функции для которых но вершины соответствующих им конусов различны. Тогда должны совпадать и пересечения этих конусов с многообразием а это невозможно, если (см. рис. 119, где плоскость схематически изображена как прямая),

Распознавание цунами. Делаются попытки отличить цунамигенные землетрясения от нецунамигенных (при одной и той же балльности) методом распознавания образов. При непосредственном рассмотрении сейсмограмч обнаружить цунамигенность землетрясения трудно, поэтому желательно найти преобразования сейсмограмм, после которых признаки цунамигенности выступили бы явно.

Задача состоит, следовательно, в поиске небольшого числа числовых признаков таких, чтобы при отображении

точки пространства признаков, соответствующие цунамигенным землетрясениям, отделялись от точек,

соответствующих землетрясениям нецунамигенным, некоторой поверхностью.

Еще лучше было бы найти такое преобразование (31), чтобы образы землетрясений, вызывающих волну цунами одной и той же максимальной высоты, заполняли в пространстве признаков некоторый слой и чтобы: слои, отвечающие существенно различным высотам волн, не пересекались друг с другом (рис. 120).

Такая система признаков, однако, еще не найдена. Были вычислены спектральные (корреляционные) функции сейсмограмм, но никаких характерных особенностей, отличающих цунамигенные землетрясения, при этом обнаружено не было.

Рис. 120.

Представляется целесообразным такой способ выбора признаков. Известно, что если размеры эпицентра землетрясения малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, то высота волны цунами с большой точностью определяется положением эпицентра и моментами начальных возмущений относительно этого эпицентра.

Поэтому в качестве системы признаков естественно принять координаты очага землетрясения и моменты начальных условий до некоторого порядка. Отображение (31) — это способ вычисления указанных моментов по сейсмограммам. Для идеализированного случая такой способ можно указать, и даже построить поверхности равной интенсивности цунами, такие, как на рис. 120.

В реальных условиях картина, конечно, деформируется, и толщина слоев равной интенсивности увеличивается, но общий топологический характер картины сохранится.

Из сказанного здесь ясно, что задача исследования и предсказания цунами еще очень далека от сколько-нибудь удовлетворительного решения.

Литература

(см. скан)