Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 34. Распространение волн и проблема цунамиВ заключение этой главы мы рассмотрим некоторые вопросы теории неустановившихся волновых движений жидкости. Из широкого круга таких вопросов мы выберем лишь два: 1) эффект волновода — качественно новое явление, возникающее при неровном дне; 2) проблема краткосрочного прогноза цунами на основе сейсмической информации. Цунами — японский термин, означающий необычно большую волну. Волны цунами возникают от внезапных перемещений обширных участков дна океана во время подводных землетрясений. Они, как правило, составляют группу из двух-трех волн, которые в открытом море являются очень длинными (длина 100 км) и пологими (высота 1 м), поэтому не опасны. Но при подходе к берегу их высота возрастает за счет уменьшения длины и может достигать 30 м (по словам очевидцев). Проникая в глубь прибрежной территории, они вызывают большие разрушения и человеческие жертвы. Например, волной цунами в ночь с 4 на 5 ноября 1952 г., которая возникла в результате землетрясения вблизи берегов Камчатки, был полностью смыт город Северо-Курильск [7]. Надо заметить, что такие разрушительные цунами — явление редкое, бывают один-два раза в 100 лет. Анализируя данные наблюдений цунами, можно заметить, что высота волны на побережье (при одинаковых условиях выхода на берег) не уменьшается монотонно с удалением от эпицентра землетрясения. Для объяснения этого явления можно указать две причины — начальную направленность волны, обусловленную начальными условиями, и влияние рельефа дна в процессе распространения волны. Рассмотрим подробнее вторую причину. Влияние рельефа дна. В гл. I мы видели, что в рамках линейной теории мелкой воды распространение волн описывается акустическим уравнением
где Из акустики известно, что если скорость звука имеет минимум на какой-либо прямой или плоскости М, то от источника возмущений вдоль М излучается группа медленно затухающих волн, энергия которых локализована в окрестности М. Линия (поверхность) минимума скорости звука служит, следовательно, своего рода волноводом для звуковых волн. В 1957 г. М. А. Лаврентьев высказал гипотезу, что неровности дна типа подводных гребней также должны служить волноводами поверхностных волн, и поставил задачу об изучении этого явления в рамках более точных теорий. Вскоре, в 1959 г., Сунь Цао [8] обнаружил экспериментально почти стационарное распространение уединенной волны над подводным гребнем — над гребнем амплитуда волны была больше, чем в других местах. В 1965 г. Р. М. Гарипов [9] в рамках линейной теории доказал, что неровность дна типа подводного хребта:
где h достаточно быстро стремится к своему пределу при Напомним, что в линейной теории амплитуда волны
На дне, при
а на свободной поверхности
и условие непроницаемости
В пределах принятой точности последние условия можно снести со свободной поверхности
Кроме того, должны выполняться начальные условия: при
где Задачу Исключая из (5) функцию
Если глубина жидкости мала, то оператор К можно приближенно заменить дифференциальным оператором, ибо
Подставляя это приближенное выражение в (7), мы найдем, что функция Р. М. Гарипов показал, что качественная картина волновода при наличии подводного хребта правильно описывается уже в рамках изложенного выше акустического приближения. Является ли эффект волновода существенным при распространении цунами? Данные о рельефе дна океана в цунамиактивных районах не говорят о наличии подводных хребтов, тянущихся от эпицентров землетрясений к побережью. Но роль волноводов, по-видимому, играют материковые отмели (шельфы) и уступы вдоль берега. На это указывают характерные особенности некоторых цунами. Общая характеристика волноводов. Волноводный характер распространения звука, упругих волн, радиоволн и т. п. в неоднородных средах без диссипации энергии имеет общую математическую природу, которую, следуя Р. М. Гарипову [10], можно описать так. Предполагается, что процесс распространения волн описывается уравнением (7), в котором оператор К действует на функции только пространственных переменных. Этот оператор в подходящим образом выбранном гильбертовом пространстве является симметричным и положительным, что влечет за собой закон сохранения энергии. В ряде задач допустима приближенная постановка, в которой этот оператор можно считать дифференциальным. Для определенности в дальнейшем мы будем говорить о волнах на воде. Примем дополнительно условие однородности волновода: уравнение (7) инвариантно относительно сдвигов по координате у, а дно бассейна имеет уравнение вида При этом условии можно искать частные решения уравнения (7) в виде
где со и
Из условия однородности следует, что здесь переменные х и у разделяются, и мы таким образом приходим к задаче на собственные числа для функции Решение (9) представляет собой прогрессивную волну, которая бежит над подводным возвышением и затухает по мере удаления от него в перпендикулярном направлении. Умножая его на произвольную функцию от Р. М. Гарипов показал, что условие (2) при дополнительном условии однородности достаточно для существования решений вида (9), дающих волновод. В частности, оно выполняется, если дно бассейна плоское всюду, кроме полоски шириной Заметим, что условие однородности не является ограничением по существу, а введено лишь для упрощения рассуждений. Естественно ожидать, что решения типа (9), дающие волновод, существуют и в более общем случае, когда возвышение дна бассейна локализовано в полосе ограниченной ширины, уходящей на бесконечность. Следует сказать, что волны типа (9), бегущие вдоль плоского наклонного берега, были найдены еще Стоксом и изучены рядом авторов, см. [11]. Наши рассуждения справедливы и в случае уступа вдоль вертикального берега, который тоже может служить волноводом. Достаточные условия. После отделения переменной у и времени
Оператор А осуществляет отображение
Этот оператор зависит от параметра Здесь мы хотим доказать сформулированное выше достаточное условие (2) существования волновода. Как мы видели, для этого нужно убедиться в существовании собственных функций
Рис. 116. Оператор А будем считать действующим в гильбертовом пространстве Лемма. Оператор Доказательство. Обозначим через
Отсюда и следует утверждение леммы. Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов: 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений Найдем спектр оператора
Так как оператор
Спектр оператора Таким образом, вне
достаточно для существования собственных функций Наша цель — доказать достаточность условия (2). Для этого преобразуем выражение функционала
Здесь стоит интеграл от V по части
или, рассматривая это выражение как функционал от У и учитывая уравнение (12),
Уравнение (12) является уравнением Эйлера для функционала Т, следовательно, на множестве функций
получим
Первое слагаемое под интегралом заменим его максимальным значением и учтем, что при
Тогда будем иметь
Отсюда видно, что если существует точка В приведенных выше рассуждениях тот факт, что дно однозначно проектируется на плоскость Пусть теперь
является обобщенной собственной функцией оператора К из уравнения (7) (она не убывает при Асимптотика волн. Можно доказать [10], что если функция Величины при Мы хотим получить асимптотическое разложение волн, распространяющихся вдоль волновода (над подводным хребтом). Для этого полезно заметить, что любое решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным и граничным условиям (5) и (6), можно представить в виде суммы
слагаемые которой ортогональны в смысле
Так как начальные значения Слагаемое Рассмотрим
движущихся вдоль оси у и локализованных в некоторой полосе, окружающей ось, — это следует из того, что функция В силу четности функции
(индекс
где Нам нужно выяснить характер зависимости
Так как функция удовлетворяет уравнению
которое получается дифференцированием (12) по
Теперь применим формулу Грина, учитывая,
Подставляя это равенство в предыдущее с учетом того, что
и, следовательно, можно выбрать Переходя к асимптотической оценке интеграла (17), заметим прежде всего, что при
и если положить Если, напротив, Заметим, что в отсутствии подводного хребта (плоского дна) волны затухают быстрее, со скоростью порядка Тот же метод показывает, что если
где
До сих пор мы говорили об асимптотическом разложении группы волн Функции
где
Рис. 117. Таким образом, влияние подводного хребта на распространение волн сводится не только к простому увеличению амплитуды, но существенным образом определяет сам процесс распространения волны, изменяя характер затухания ее вдоль хребта. Вдоль хребта могут распространяться медленно затухающие волны.
Рис. 118. Простейшая модель цунами. Переходя к рассмотрению цунами, мы прежде всего сильно идеализируем явление. Земную кору будем считать упругим, однородным и изотропным полупространством В состоянии равновесия тензор упругих напряжений в земной коре имеет вид
где
где Кронеккера и Процессы, которые выводят систему из состояния покоя, будем моделировать векторным полем
(см., например, [16], стр. 185). Функция Так как движение жидкости начинается из состояния покоя, то мы считаем его потенциальным, потенциальную функцию обозначим через
где Опишем теперь граничные условия. Амплитуды жидких волн полупространства мы считаем малыми и сносим их на плоскости равновесия, соответственно
а на дне — два условия: непрерывности нормальной составляющей скорости
и условие непрерывности нормальных напряжений, которое (с учетом принятой линеаризации) записывается в виде
Введем несколько упрощающих предположений. Прежде всего примем, что Массовые силы при время будет
Последнее упрощающее предположение состоит в том, что глубина слоя жидкости мала в сравнении с размером очага землетрясения
Перепишем, наконец, полученные уравнения и граничные условия в безразмерных переменных
где масштаб длины Обратимся к третьему уравнению (20); учитывая предположения
причем функция
где Уравнения (24)-(25) и представляют основные уравнения нашей модели. Граничным условием для уравнения (24) является условие (22):
а начальные условия для этих уравнений по причинам, о которых говорилось выше, имеют вид: при
В следующем разделе мы покажем, как можно применить эту модель к задаче краткосрочного прогноза цунами по сейсмической информации. Задача краткосрочного прогноза. Предотвратить Таким образом, задача краткосрочного прогноза цунами является важной народнохозяйственной задачей. В настоящее время для этой цели предназначаются цунамистанции, которые прогнозируют цунами по измерениям сейсмических волн. По сейсмограммам определяются координаты эпицентра землетрясения и его интенсивность; если последняя превышает пороговое значение, то в ближайших к эпицентру районах побережья объявляется тревога цунами. Однако сильные землетрясения не всегда вызывают большие цунами, и поэтому эффективность такого прогноза низка — около 80% тревог оказываются ложными. Существующая практика прогноза цунами требует коренного улучшения. Нужно гораздо полнее использовать сейсмическую информацию, усовершенствовать методы ее анализа. Здесь мы хотим проанализировать постановку задачи и показать несколько модельных примеров, связанных с ее решением. Уточним прежде всего, что мы можем измерить и что должны предсказать. Пусть на побережье находится точка наблюдения, которую в рамках описанной выше модели будем считать совпадающей с началом координат. Высота волны цунами в точке наблюдения является скалярной функцией времени — Поставим своей целью предсказать Выберем в качестве а круг: Правая часть уравнения (25) содержит значения функции Однозначное предсказание. Обозначим через Оказывается, что если наложить некоторые начальные условия при уравнения
которому согласно (24) должны удовлетворять эти функции
а период, в течение которого происходят активные процессы в очаге землетрясения, столь мал, что теоретически можно считать Выясним, какие массовые силы
Будем считать, что движение возникает из покоя, тогда
(мы воспользовались условием
где Докажем, что этот класс Заметим, что в классе Пример 2. В качестве
где
Рис. 119. В этом примере Этим самым однозначно определяется и точка В самом деле, в противном случае существовали бы две функции Распознавание цунами. Делаются попытки отличить цунамигенные землетрясения от нецунамигенных (при одной и той же балльности) методом распознавания образов. При непосредственном рассмотрении сейсмограмч обнаружить цунамигенность землетрясения трудно, поэтому желательно найти преобразования сейсмограмм, после которых признаки цунамигенности выступили бы явно. Задача состоит, следовательно, в поиске небольшого числа числовых признаков
точки пространства признаков, соответствующие цунамигенным землетрясениям, отделялись от точек, соответствующих землетрясениям нецунамигенным, некоторой поверхностью. Еще лучше было бы найти такое преобразование (31), чтобы образы землетрясений, вызывающих волну цунами одной и той же максимальной высоты, заполняли в пространстве признаков некоторый слой и чтобы: слои, отвечающие существенно различным высотам волн, не пересекались друг с другом (рис. 120). Такая система признаков, однако, еще не найдена. Были вычислены спектральные (корреляционные) функции сейсмограмм, но никаких характерных особенностей, отличающих цунамигенные землетрясения, при этом обнаружено не было.
Рис. 120. Представляется целесообразным такой способ выбора признаков. Известно, что если размеры эпицентра землетрясения малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, то высота волны цунами с большой точностью определяется положением эпицентра и моментами начальных возмущений относительно этого эпицентра. Поэтому в качестве системы признаков естественно принять координаты очага землетрясения и моменты начальных условий до некоторого порядка. Отображение (31) — это способ вычисления указанных моментов по сейсмограммам. Для идеализированного случая такой способ можно указать, и даже построить поверхности равной интенсивности цунами, такие, как на рис. 120. В реальных условиях картина, конечно, деформируется, и толщина слоев равной интенсивности увеличивается, но общий топологический характер картины сохранится. Из сказанного здесь ясно, что задача исследования и предсказания цунами еще очень далека от сколько-нибудь удовлетворительного решения. Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|