Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава III. КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯЗдесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях. § 10. Задача РиманаОб этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую. Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области. Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции круг Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).
Рис. 21. Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях
конформно отображает круг на себя (в самом деле, при Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана: конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение — они называются условиями нормировки — могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра. Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений. 1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность 2) Верхняя полуплоскость
здесь а — произвольная точка верхней полуплоскости
Рис. 22. На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке 3) Внешность единичного круга на внешность отрезка
Рис. 23. Окружности 4) Полоса
Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24). 5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке
где а и а — параметры сегмента (рис. 25), а с — действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).
Рис. 24.
Рис. 25. Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой
Можно еще заметить, что
6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:
здесь 7) Такая же приближенная формула для отображения полосы
где а — абсцисса одной из точек луночки; Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения. Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым
Рис. 26. Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала — аналитической в Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых еще расход потока
где у — линия с концами В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда
Обтекание тел. Рассмотрим еще задачу обтекания тела неограниченным потоком с заданной скоростью на бесконечности. Теорема Римана позволяет свести задачу к частному случаю, когда тело представляет собой круговой цилиндр, т. е. к задаче построения потока во внешности круга. В самом деле, пусть потенциал некоторого течения в А со скоростью в бесконечности Простейшее решение задачи обтекания круга радиуса R с заданной скоростью
Поле скоростей здесь симметрично относительно оси х, точкой разветвления потоков служит
где Под влиянием циркуляции точки разветвления и слияния потока (так называемые критические точки) сместятся. В самом деле, в этих точках скорость течения очевидно равна нулю, следовательно, они находятся из уравнения
Решая это квадратное уравнение, получаем
При
В частности, при
Рис. 27. Дальнейшее возрастание и приводит к тому, что одна из критических точек сдвигается в поток и образуются замкнутые линии тока (рис. 27). О физическом смысле этого явления мы будем говорить в гл. V в связи с парадоксами в схеме идеальной жидкости.
|
1 |
Оглавление
|