Глава III. КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.

§ 10. Задача Римана

Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.

Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.

Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение обратное и конформному отображению и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений (т. е. отображение ), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.

Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции конформно отображают соответственно области на единичный

круг то функция будет отображать на

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).

Рис. 21.

Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях Согласно замечанию, для решения этого вопроса достаточно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном и любом действительном числе функция

конформно отображает круг на себя (в самом деле, при имеем и, следовательно, т. е. (1) преобразует единичную окружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров — двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относительно центра.

Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:

конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение — они называются условиями нормировки — могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.

Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.

1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность т. е. область на себя; в бесконечность она переводит точку которая называется симметричной с а относительно единичной окружности

2) Верхняя полуплоскость на круг тоже отображается дробнолинейной функцией:

здесь а — произвольная точка верхней полуплоскости она переводится при отображении (2) в центр круга; точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости (предел правой части (2) при очевидно, равен ).

Рис. 22.

На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке

3) Внешность единичного круга на внешность отрезка отображается так называемой функцией Жуковского

Рис. 23.

Окружности переходят при этом в эллипсы с полуосями и с фокусами ±1, а лучи в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).

4) Полоса на единичный круг отображается функцией

Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24).

5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке отображается функцией

где а и а — параметры сегмента (рис. 25), а с — действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).

Рис. 24.

Рис. 25.

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой

Можно еще заметить, что с точностью до малых высших порядков дает площадь с выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде

6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:

здесь вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.

7) Такая же приближенная формула для отображения полосы с выброшенной луночкой малой площади с на полосу имеет вид

где а — абсцисса одной из точек луночки; гиперболический тангенс.

Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.

Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе ограниченной кривыми

Рис. 26.

Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала — аналитической в функции Найти течение — значит найти эту функцию.

Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых должна быть линией тока это дает граничное условие задачи. Мы можем задать

еще расход потока который, как показано в прошлой главе, равен

где у — линия с концами т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас интересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что на на Г.

В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда является прямой полосой ее решением служит любая функция

при любых действительных и целых (мнимая часть обращается в нуль при Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограниченной в бесконечности, наложить на некоторые условия гладкости и рассматривать лишь течения с ограниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение области на полосу с нормировкой . Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.

Обтекание тел. Рассмотрим еще задачу обтекания тела неограниченным потоком с заданной скоростью на бесконечности. Теорема Римана позволяет свести задачу к частному случаю, когда тело представляет собой круговой цилиндр, т. е. к задаче построения потока во внешности круга. В самом деле, пусть конформное отображение внешности замкнутого контура Г на внешность круга с нормировкой (нормировка содержит три действительных параметра). Пусть комплексный

потенциал некоторого течения в А со скоростью в бесконечности тогда будет комплексным потенциалом течения в с той же скоростью в бесконечности, ибо Очевидно, что и любое течение в может быть получено из некоторого течения в А, так что задачи действительно эквивалентны.

Простейшее решение задачи обтекания круга радиуса R с заданной скоростью на бесконечности дает функция

Поле скоростей здесь симметрично относительно оси х, точкой разветвления потоков служит а точкой слияния Можно, не меняя величины скорости в бесконечности, поместить там точечный вихрь. Тогда мы получим циркуляционное обтекание круга с комплексным потенциалом

где постоянная, характеризующая интенсивность вихря.

Под влиянием циркуляции точки разветвления и слияния потока (так называемые критические точки) сместятся. В самом деле, в этих точках скорость течения очевидно равна нулю, следовательно, они находятся из уравнения

Решая это квадратное уравнение, получаем

При имеем т. е. обе критические точки лежат на обтекаемой окружности, их аргументы равны соответственно

В частности, при имеем критические точки совпадают с концами диаметра: случай бесциркуляционного обтекания мы отметили выше). Циркуляция стремится сблизить эти точки — при возрастании они поднимаются и при сливаются в одну.

Рис. 27.

Дальнейшее возрастание и приводит к тому, что одна из критических точек сдвигается в поток и образуются замкнутые линии тока (рис. 27). О физическом смысле этого явления мы будем говорить в гл. V в связи с парадоксами в схеме идеальной жидкости.