Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Физический и геометрический смысл аналитичностиКомплексный потенциал. Пусть в некоторой плоской области имеется установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости. Как отмечалось в первой главе, условия отсутствия источников и вихрей в этой области обеспечивают существование в ней двух функций — потенциала скоростей
Рис. 11. Мы видим, что эти соотношения являются условиями аналитичности в области
которая называется комплексным потенциалом течения. Верно и обратное: любую аналитическую в области несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Таким образом, условия аналитичности имеют прямую гидродинамическую интерпретацию — они эквивалентны указанным условиям на течения. Зная комплексный потенциал течения, мы можем найти все связанные с этим течением величины. В частности, вектор скорости в произвольной точке
сопряженным к производной комплексного потенциала. Производная В дальнейшем мы увидим, что и граничные условия, которые возникают в задачах гидродинамики, для рассматриваемых течений естественно выражаются через комплексный потенциал. Так как теория аналитических функций очень хорошо развита, то мы получаем мощный математический аппарат для решения задач гидродинамики таких течений. Физический смысл особых точек. Простую гидродинамическую интерпретацию допускают также изолированные особые точки аналитических функций. 1) Источник. Рассмотрим плоское поле скоростей, инициированное единственным точечным источником, который расположен в начале координат
откуда
а его комплексный потенциал (он находится из формулы (3) интегрированием, несущественное постоянное слагаемое мы отбрасываем)
На рис. 12, а приведены линии тока (сплошные) и линии равного потенциала (пунктирные) этого течения.
Рис. 12. 2) Вихрь. Точно так же находятся вектор скорости и комплексный потенциал плоского течения, инициированного единственным точечным вихрем, который расположен в начале координат:
Постоянная Г характеризует интенсивность вихря. На рис. 12,б приведены линии тока и равного потенциала течения. Можно рассматривать также точечный вихре-источник, который представляет собой объединение в одной точке и источника, и вихря. Если вихреисточник расположен в начале координат, а его интенсивность характеризуется комплексным числом
Мы видим, таким образом, что логарифмическая точка ветвления комплексного потенциала физически интерпретируется как вихреисточник, расположенный в этой точке. 3) Диполь. Рассмотрим совокупность источника и стока обильностей
Рис. 13. Пусть теперь Комплексный потенциал течения, инициированного диполем, находится из предыдущей формулы предельным переходом:
На рис. 13 изображены линии тока и линии равного потенциала поля точечного диполя. Можно рассматривать также точечные особенности, которые получаются слиянием диполей с возрастающими моментами. Так, из предыдущей формулы мы получаем для слияния диполей, расположенных в точках
слияние таких особенностей дает степень Мы видим, что полюсы комплексного потенциала интерпретируются как точечные мультиполи. Конформные отображения. Выясним теперь геометрический смысл условий аналитичности функции
Из тех же условий вытекает равенство модулей этих градиентов:
Чтобы понять геометрический смысл последнего условия, будем рассматривать функцию (2) как отображение Это высказывание можно уточнить, если вместо отображения (дифференциал) в точке
(здесь
Рис. 14. В общем случае, когда функции и и
отличен от нуля в точке Из условия (9) вытекает, что Взаимно однозначные отображения, обладающие этими свойствами, называются конформными. Они сохраняют форму бесконечно малых фигур, т. е. их дифференциал в каждой точке области сводится к подобному преобразованию (растяжению с поворотом). Мы видим, что условие аналитичности геометрически означает конформность отображения Нетрудно видеть, что конформность отображения Квазиконформные отображения. Имея в виду применения к более общим задачам о течениях сжимаемой жидкости, которые будут рассмотрены в дальнейших главах, мы приведем здесь обобщение понятия конформности. Это обобщение получится, если вместо условия сохранения бесконечно малых окружностей мы рассмотрим условие преобразования одного семейства подобных и подобно расположенных эллипсов в другое такое же семейство. Запишем такое семейство эллипсов с центром в точке
где
(рис. 15). Пусть в плоскости
Рис. 15. Как показывают выкладки, условие того, что дифференциал отображения
коэффициенты которой выражаются через коэффициенты уравнений эллипсов по формулам
Обратно, любую систему вида (15), для которой
можно рассматривать как условие преобразования друг в друга семейств эллипсов, коэффициенты уравнений которых определяются через коэффициенты системы по формулам
В частности, если оба семейства эллипсов являются окружностями, т. е. отображения, осуществляемые решениями систем вида (15), называются квазиконформными отображениями. Задавая различным образом коэффициенты системы (15), мы будем получать различные классы квазиконформных отображений. В наиболее простом случае коэффициенты задаются как известные функции точки Интерпретация h-аналитичности. Система
выражающая условия Если в плоскости
Отсюда видно, что
где Это представление обнаруживает простоту устройства Чтобы найти эту связь, будем представлять одну из независимых координат, скажем, у, как время и рассмотрим одну из функций, комбинациями которых являются
Рис. 16. Точно так же Система (19) является простейшей системой двух уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы описывают волновые процессы и характеризуются наличием двух семейств линий, по которым распространяются процессы; эти линии и называются характеристиками системы. Для системы (19) характеристиками служат два семейства прямых: С гиперболической системой (19) мы встретимся, когда будем рассматривать модельные задачи для сверхзвуковых течений газа. Сейчас мы расстанемся с ней, чтобы подробнее познакомиться с ее антиподом — системой (1), простейшей системой эллиптического типа, которая описывает течения несжимаемой жидкости.
|
1 |
Оглавление
|