§ 7. Физический и геометрический смысл аналитичности

Комплексный потенциал. Пусть в некоторой плоской области имеется установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости. Как отмечалось в первой главе, условия отсутствия источников и вихрей в этой области обеспечивают существование в ней двух функций — потенциала скоростей и функции тока Линии уровня совпадают с линиями тока (траекториями движущихся частиц), а линии ортогональны к ним (рис. 11). Через производные этих функций выражаются координаты вектора скорости:

Рис. 11.

Мы видим, что эти соотношения являются условиями аналитичности в области функции комплексного переменного

которая называется комплексным потенциалом течения. Верно и обратное: любую аналитическую в области функцию можно трактовать как комплексный потенциал некоторого установившегося течения идеальной

несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Таким образом, условия аналитичности имеют прямую гидродинамическую интерпретацию — они эквивалентны указанным условиям на течения.

Зная комплексный потенциал течения, мы можем найти все связанные с этим течением величины. В частности, вектор скорости в произвольной точке области течения выражается комплексным числом

сопряженным к производной комплексного потенциала.

Производная аналитической функции также является аналитической функцией (см. следующий параграф), а комплексно сопряженная к аналитической функция называется антианалитической (такие функции, очевидно, удовлетворяют условиям Коши — Римана с измененными знаками). Формула (3) показывает, следовательно, что поля скоростей течений, удовлетворяющие принятым выше условиям, описываются антианалитическими функциями.

В дальнейшем мы увидим, что и граничные условия, которые возникают в задачах гидродинамики, для рассматриваемых течений естественно выражаются через комплексный потенциал. Так как теория аналитических функций очень хорошо развита, то мы получаем мощный математический аппарат для решения задач гидродинамики таких течений.

Физический смысл особых точек. Простую гидродинамическую интерпретацию допускают также изолированные особые точки аналитических функций.

1) Источник. Рассмотрим плоское поле скоростей, инициированное единственным точечным источником, который расположен в начале координат Из соображений симметрии ясно, что вектор скорости имеет вид где Поток этого вектора через любую окружность равен

откуда причем постоянная величина, она характеризует обильность источника. Таким образом, вектор скорости течения

а его комплексный потенциал (он находится из формулы (3) интегрированием, несущественное постоянное слагаемое мы отбрасываем)

На рис. 12, а приведены линии тока (сплошные) и линии равного потенциала (пунктирные) этого течения.

Рис. 12.

2) Вихрь. Точно так же находятся вектор скорости и комплексный потенциал плоского течения, инициированного единственным точечным вихрем, который расположен в начале координат:

Постоянная Г характеризует интенсивность вихря. На рис. 12,б приведены линии тока и равного потенциала течения.

Можно рассматривать также точечный вихре-источник, который представляет собой объединение в одной точке и источника, и вихря. Если вихреисточник расположен в начале координат, а его интенсивность характеризуется комплексным числом то вектор скорости и комплексный потенциал течения, им инициированного, получится из (4), (5) и (6) сложением:

Мы видим, таким образом, что логарифмическая точка ветвления комплексного потенциала физически интерпретируется как вихреисточник, расположенный в этой точке.

3) Диполь. Рассмотрим совокупность источника и стока обильностей расположенных соответственно в точках Комплексный потенциал течения получается из формулы (5) и ее обобщения, когда источник располагается в точке сложением:

Рис. 13.

Пусть теперь и одновременно так что стремится к конечной величине Предельное образование, которое при этом получается (слияние источника истока возрастающей интенсивности), называется точечным диполем с моментом

Комплексный потенциал течения, инициированного диполем, находится из предыдущей формулы предельным переходом:

На рис. 13 изображены линии тока и линии равного потенциала поля точечного диполя.

Можно рассматривать также точечные особенности, которые получаются слиянием диполей с возрастающими моментами. Так, из предыдущей формулы мы получаем для слияния диполей, расположенных в точках

слияние таких особенностей дает степень в знаменателе и т. д. Особенности такого типа называются точечными мультиполями.

Мы видим, что полюсы комплексного потенциала интерпретируются как точечные мультиполи.

Конформные отображения. Выясним теперь геометрический смысл условий аналитичности функции Как мы уже говорили, из них вытекает ортогональность линий уровня и и V, что выражается условием ортогональности градиентов этих функций:

Из тех же условий вытекает равенство модулей этих градиентов:

Чтобы понять геометрический смысл последнего условия, будем рассматривать функцию (2) как отображение области на некоторое множество плоскости Величина означает тогда растяжение в направлении, ортогональном к линии уровня т. е. растяжение линии и аналогично обозначает растяжение линии Условие (10) выражает, следовательно, равенство этих растяжений. Таким образом, (9) и (10) вместе показывают, что при отображении осуществляемом аналитической функцией, бесконечно малые квадраты, образованные линиями преобразуются также в бесконечно малые квадраты (рис. 14).

Это высказывание можно уточнить, если вместо отображения рассмотреть его главную линейную часть

(дифференциал) в точке линейное преобразование

(здесь а частные производные берутся в точке ).

Рис. 14.

В общем случае, когда функции и и лишь дифференцируемы в смысле действительного анализа, это преобразование (если оно не вырождено, т. е. его определитель

отличен от нуля в точке переводит квадраты в параллелограммы. Если же аналитическая функция, то, как видно из (9) и (10), оно преобразует квадраты снова в квадраты, т. е. сводится к повороту с растяжением.

Из условия (9) вытекает, что обозначая это отношение через мы найдем из (10), что При мы получим т. е. условия аналитичности; если же то получим т. е. условия антианалитичности (аналитической будет функция сопряженная с в этом случае якобиан отображения отрицателен. Таким образом, условие аналитичности при в точности сводится к условиям положительности якобиана и сохранения бесконечно малых квадратов.

Взаимно однозначные отображения, обладающие этими свойствами, называются конформными. Они

сохраняют форму бесконечно малых фигур, т. е. их дифференциал в каждой точке области сводится к подобному преобразованию (растяжению с поворотом). Мы видим, что условие аналитичности геометрически означает конформность отображения во всех точках, где . В тех же точках, где дифференциал отображения вырождается и конформность нарушается.

Нетрудно видеть, что конформность отображения можно выразить также условием, что его дифференциал сохраняет углы или сохраняет окружности — каждое из этих условий приводит к тому, что (11) сводится к повороту с растяжением.

Квазиконформные отображения. Имея в виду применения к более общим задачам о течениях сжимаемой жидкости, которые будут рассмотрены в дальнейших главах, мы приведем здесь обобщение понятия конформности. Это обобщение получится, если вместо условия сохранения бесконечно малых окружностей мы рассмотрим условие преобразования одного семейства подобных и подобно расположенных эллипсов в другое такое же семейство.

Запишем такое семейство эллипсов с центром в точке уравнением

где малая полуось эллипса, отношение полуосей, а коэффициенты выражаются через и угол наклона большой полуоси эллипсов к оси х по формулам

(рис. 15). Пусть в плоскости задано аналогичное семейство с уравнением

Рис. 15.

Как показывают выкладки, условие того, что дифференциал отображения преобразует эллипсы семейства (13) в эллипсы семейства (14), записывается в виде системы двух уравнений, связывающих частные производные отображения:

коэффициенты которой выражаются через коэффициенты уравнений эллипсов по формулам

Обратно, любую систему вида (15), для которой

можно рассматривать как условие преобразования друг в друга семейств эллипсов, коэффициенты уравнений которых определяются через коэффициенты системы по формулам

В частности, если оба семейства эллипсов являются окружностями, т. е. то будем иметь и система (15) превратится в условия конформности. Поэтому

отображения, осуществляемые решениями систем вида (15), называются квазиконформными отображениями. Задавая различным образом коэффициенты системы (15), мы будем получать различные классы квазиконформных отображений. В наиболее простом случае коэффициенты задаются как известные функции точки (линейные системы). Для приложений особенно интересен случай, когда коэффициенты являются заданными функциями от о нем мы будем говорить в следующей главе.

Интерпретация h-аналитичности. Система

выражающая условия -аналитичности, не принадлежит только что рассмотренному типу систем, ибо для нее не выполняется неравенство (17). Можно было бы интерпретировать -аналитичность как конформность, только не в обычной евклидовой, а в некоторой специальной «гиперболической» метрике. Однако мы не будем этого делать, а ограничимся указанием других связей.

Если в плоскости ввести новые оси координат повернутые относительно старых на 45°, т. е. положить у, то в новых переменных система (19) перепишется так:

Отсюда видно, что зависит лишь от лишь от Вводя функции, выражающие эти зависимости, и возвращаясь к старым переменным х и у, мы найдем общее представление -аналитических функций:

где произвольные функции.

Это представление обнаруживает простоту устройства -аналитических функций и показывает, что их теория вполне элементарна. Она далеко не так глубока, как теория обычных аналитических функций. Это же представление выявляет связь -аналитических функций с волновыми процессами.

Чтобы найти эту связь, будем представлять одну из независимых координат, скажем, у, как время и

рассмотрим одну из функций, комбинациями которых являются -аналитические функции, скажем, Эта функция сохраняет постоянные значения на прямых Двигаться по такой прямой — это значит перемещаться со скоростью 1 в положительном направлении оси х (ведь у у нас означает время, и закон нашего движения записывается так: где постоянная значение х в начальный момент При этом значение не меняется, т. е. если представить распределение значений как некоторую волну, то при нашем перемещении мы движемся вместе с фронтом распространения этой волны (рис. 16).

Рис. 16.

Точно так же можно представлять как волну, движущуюся в отрицательном направлении оси х со скоростью 1 (т. е. по закону Через комбинации этих двух волн и выражаются -аналитические функции.

Система (19) является простейшей системой двух уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы описывают волновые процессы и характеризуются наличием двух семейств линий, по которым распространяются процессы; эти линии и называются характеристиками системы. Для системы (19) характеристиками служат два семейства прямых: (Заметим, что характеристики проходящие через начало координат, служат и геометрическим местом делителей нуля для соответствующей (14) гиперболической системы комплексных чисел.)

С гиперболической системой (19) мы встретимся, когда будем рассматривать модельные задачи для

сверхзвуковых течений газа. Сейчас мы расстанемся с ней, чтобы подробнее познакомиться с ее антиподом — системой (1), простейшей системой эллиптического типа, которая описывает течения несжимаемой жидкости.