§ 11. Нелинейные квазиконформные отображения

Обобщение понятия квазиконформности. Как уже говорилось в первой главе, возрастание скоростей течения приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене системы Коши — Римана нелинейной системой двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями:

где известная функция от величины скорости

Рассмотрим произвольную систему такого вида их, к

и назовем квазиконформным отображением, соответствующим этой системе, любое взаимно однозначное ее решение в некоторой области плоскости

Роль теоремы Римана в решении задач обтекания потоками несжимаемой жидкости делает заманчивой перспективу распространения этой теоремы на общие квазиконформные отображения. Однако в такой общей постановке теорема не может быть верной. В самом деле, рассмотрим, например, систему

похожую на систему уравнений газовой динамики и отличающуюся от системы Коши — Римана лишь множителем в правых частях. Легко видеть, что эта система эквивалентна двум уравнениям

Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). Поэтому области с различной площадью оказываются заведомо неотобразимыми друг на друга.

И тем не менее оказалось возможным выделить весьма широкий класс систем вида (2) (содержащий уравнения газовой динамики при дозвуковых режимах), на которые теорема Римана распространяется. Для выделения этого класса мы перепишем систему (2) в другом виде, заменив четыре участвующие в ней частные производные их, четырьмя другими величинами, которые элементарно через них выражаются. Эти величины называются характеристиками отображения. Они служат параметрами параллелограмма, который дифференциал отображения преобразует в единичный квадрат с основанием, наклоненным под углом к оси характеристики, конечно, зависят от В качестве таких характеристик выбираются

(рис. 28): 1) сторона отвечающая основанию квадрата, 2) высота , 3) угол при основании, 4) угол основания с осью х.

При параллелограмм соответствует единичному квадрату, образованному линиями (линиями тока и линиями равного потенциала), и характеристики приобретают простой физический смысл: величина, обратная скорости, величина, обратная расходу, а — угол наклона скорости к оси х (через обозначаются характеристики при

Рис. 28.

Подставляя в (2) выражения частных производных через характеристики, мы получим систему двух уравнений, которые назовем уравнениями в характеристиках. Первое требование, налагаемое на системы, носит формальный характер и состоит в том, что уравнения в характеристиках можно разрешить относительно т. е. записать их в виде

Второе требование геометрическое, оно состоит в том, чтобы характеристический параллелограмм не вырождался и чтобы его высота росла вместе с основанием. Оно формулируется так: существуют постоянные такие, что при всех значениях переменных и всех

Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими.

При последнее требование сводится к тому, что расход — растет при возрастании скорости Как говорилось в гл. I, это — характеристическое

свойство дозвуковых газовых течений; условие сильной эллиптичности является его естественным обобщением.

Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования решений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука.

Особое значение имеют уравнения в характеристиках (4) при

Для случая уравнений газовой динамики (1) эти уравнения имеют очень простой вид:

первое из них выражает газовый режим — зависимость расхода газа от его скорости а второе показывает, что характеристический параллелограмм является прямоугольником. Напомним, что если течение адиабатно, т. е. давление Р пропорционально некоторой степени плотности то

(см. гл. I). Переходя к обратным величинам и обозначая еще а мы получим

зависимость

график которой изображен на рис. 29.

Движение определено лишь при когда скорость течения не достигает максимально возможной для данного газа скорости При значении , которое соответствует скорости звука, график имеет минимум. Участок где соответствует сверхзвуковым течениям, участок где дозвуковым. График имеет асимптоту так что при больших (малых скоростях) мы имеем характеристический прямоугольник близок к квадрату, а отображение близко к конформному.

Рис. 29.

Производные системы. При исследовании нелинейных классов квазиконформных отображений важную роль играют так называемые производные системы. Смысл их введения состоит в следующем. Вместо неизвестных функций и и будем рассматривать новые переменные

характеризующие величину и направление скорости течения и а, как и раньше, обозначают характеристики при плоскость переменных и а называют плоскостью годографа. Доказано (М. А. Лаврентьев [4]), что эти переменные, рассматриваемые в зависимости от и и V, удовлетворяют системе

коэффициенты которой выражаются через уравнения в

характеристиках (6) по формулам

где - производная в направлении основания характеристического параллелограмма (скорости течения). Система (10) и называется производной системой системы (2).

Более простой вид производная система имеет для систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат, т. е. записываются так:

Для таких систем в уравнениях производной системы (10), очевидно, а остальные коэффициенты зависят лишь от . Поэтому, если в производной системе принять за независимые переменные, а и и за искомые функции, то после простых преобразований она примет вид

станет линейной системой.

Теория линейных систем развита существенно лучше, чем теория систем нелинейных. Поэтому описанный способ перехода к производным системам оказывается решающим, особенно для граничных задач, которые формулируются в терминах потенциала и скорости Примеры таких задач будут встречаться в дальнейших главах.

Рассматриваемый класс систем содержит, в частности, уравнения газовой динамики (1), для которых

уравнения в характеристиках имеют вид (7). В этом случае производная система записывается так:

Для этого наиболее важного в приложениях случая мы приведем, следуя М. М. Лаврентьеву [7], геометрический вывод производной системы. Рассмотрим криволинейный прямоугольник, переходящий при отображении в малый квадрат со сторонами длины параллельными осям и и пусть его стороны, примыкающие к точке параллельные им стороны (рис. 30). С точностью до малых высших порядков стороны можно принять за дуги концентрических окружностей; тогда из рис. 30 видно, что

где — радиус кривизны дуги Но кривизна нас на рис. 30 , следовательно, и подставляя значения деля обе части на и переходя к пределу при мы получим

Если теперь подставить то получится первое уравнение (14).

Рис. 30.

Далее, приращение стороны происходит за счет приращения Ага угла а на участке и с точностью до малых высших порядков ,

Отсюда и в пределе при мы получаем

Подставляя сюда и опять вводя получим второе уравнение (14).

Для случая классических уравнений газовой динамики уравнения (14) были другим способом получены С. А. Чаплыгиным и носят его имя. Метод перехода от зависимости к зависимости называется методом годографа, он получил в гидродинамике и газовой динамике немаловажные применения.

Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Коши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае где комплексный потенциал, является аналитической функцией как от так и от Таким образом, переменные и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений.

В заключение несколько слов о трудностях, связанных с применением метода годографа и его обобщения — метода производных систем. Основная трудность состоит в том, что в большинстве задач область в плоскости годографа неизвестна. Далее, уже в простейшем случае несжимаемой жидкости, функция имеет особенности в критических точках потоков (где скорость обращается в нуль). Кроме того, переменные рассматриваются в зависимости от а не от этот переход требует взаимной однозначности отображения Переход от системы (10) к линейной системе (13) требует взаимной однозначности отображения ( В случае уравнений газовой динамики, а тем более — общих нелинейных систем, проверка этих условий может быть

довольно затруднительной. Математическое изучение всех особенностей, которые встречаются на пути применения метода производных систем, еще далеко не завершено.