Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 11. Нелинейные квазиконформные отображенияОбобщение понятия квазиконформности. Как уже говорилось в первой главе, возрастание скоростей течения приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене системы Коши — Римана нелинейной системой двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями:
где Рассмотрим произвольную систему такого вида
и назовем квазиконформным отображением, соответствующим этой системе, любое взаимно однозначное ее решение Роль теоремы Римана в решении задач обтекания потоками несжимаемой жидкости делает заманчивой перспективу распространения этой теоремы на общие квазиконформные отображения. Однако в такой общей постановке теорема не может быть верной. В самом деле, рассмотрим, например, систему
похожую на систему уравнений газовой динамики и отличающуюся от системы Коши — Римана лишь множителем
Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). Поэтому области с различной площадью оказываются заведомо неотобразимыми друг на друга. И тем не менее оказалось возможным выделить весьма широкий класс систем вида (2) (содержащий уравнения газовой динамики при дозвуковых режимах), на которые теорема Римана распространяется. Для выделения этого класса мы перепишем систему (2) в другом виде, заменив четыре участвующие в ней частные производные их, (рис. 28): 1) сторона При
Рис. 28. Подставляя в (2) выражения частных производных через характеристики, мы получим систему двух уравнений, которые назовем уравнениями в характеристиках. Первое требование, налагаемое на системы, носит формальный характер и состоит в том, что уравнения в характеристиках можно разрешить относительно
Второе требование геометрическое, оно состоит в том, чтобы характеристический параллелограмм не вырождался и чтобы его высота росла вместе с основанием. Оно формулируется так: существуют постоянные
Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими. При свойство дозвуковых газовых течений; условие сильной эллиптичности является его естественным обобщением. Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования решений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. Особое значение имеют уравнения в характеристиках (4) при
Для случая уравнений газовой динамики (1) эти уравнения имеют очень простой вид:
первое из них выражает газовый режим — зависимость расхода газа
(см. гл. I). Переходя к обратным величинам зависимость
график которой изображен на рис. 29. Движение определено лишь при
Рис. 29. Производные системы. При исследовании нелинейных классов квазиконформных отображений важную роль играют так называемые производные системы. Смысл их введения состоит в следующем. Вместо неизвестных функций и и
характеризующие величину и направление скорости течения
коэффициенты которой выражаются через уравнения в характеристиках (6) по формулам
где Более простой вид производная система имеет для систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат, т. е. записываются так:
Для таких систем в уравнениях производной системы (10), очевидно,
Теория линейных систем развита существенно лучше, чем теория систем нелинейных. Поэтому описанный способ перехода к производным системам оказывается решающим, особенно для граничных задач, которые формулируются в терминах потенциала Рассматриваемый класс систем содержит, в частности, уравнения газовой динамики (1), для которых уравнения в характеристиках имеют вид (7). В этом случае производная система записывается так:
Для этого наиболее важного в приложениях случая мы приведем, следуя М. М. Лаврентьеву [7], геометрический вывод производной системы. Рассмотрим криволинейный прямоугольник, переходящий при отображении
где
Если теперь подставить
Рис. 30. Далее, приращение Отсюда
Подставляя сюда Для случая классических уравнений газовой динамики уравнения (14) были другим способом получены С. А. Чаплыгиным и носят его имя. Метод перехода от зависимости Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда В заключение несколько слов о трудностях, связанных с применением метода годографа и его обобщения — метода производных систем. Основная трудность состоит в том, что в большинстве задач область в плоскости годографа неизвестна. Далее, уже в простейшем случае несжимаемой жидкости, функция довольно затруднительной. Математическое изучение всех особенностей, которые встречаются на пути применения метода производных систем, еще далеко не завершено.
|
1 |
Оглавление
|