§ 25. Модельные задачи

Здесь мы рассмотрим несколько вопросов, не связанных непосредственно с определенными гидродинамическими задачами, но относящихся к ситуациям, близким к тем, которые встречаются в пространственных задачах гидродинамики.

Вариационные принципы. В пространственном случае вариационный принцип для течения в слоях в постановке, аналогичной той, которая была дана в плоском случае (см. § 12 гл. III), оказывается неверным. В самом деле, пусть имеется поступательное движение в слое между двумя горизонтальными плоскостями. Очевидно, что если вставить в поток тонкий нож, плоскость лезвия которого направлена по течению, то ничего не произойдет — все линии тока и скорости останутся неизменными. Ясно, что принцип не сохраняется и в том случае, когда деформации границ производятся в классе гладких поверхностей.

Рис. 72.

Например, в том же слое продавим нижнюю плоскость вверх так, чтобы образовался гладкий узкий холм, сплюснутый в направлении поступательного потока и симметричный относительно плоскости, направленной по течению (рис. 72, а). Тогда линии тока в плоскости симметрии, как и в плоской задаче, поднимутся и скорости над вершиной холма возрастут. Но некоторые линии тока просто раздвинутся, обходя холм с боков, и скорости на второй плоскости не обязаны всюду возрастать.

Здесь проявляется принципиальное отличие пространственного случая от плоского, которому в нашем примере соответствует продавливание нижней плоскости

в форме бесконечного хребта — цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными течению (рис. 72, б). При продавливании такого вида все линии тока поднимутся, входя в сузившийся проход над хребтом, а скорость на второй плоскости всюду возрастет.

Математически нарушение вариационного принципа в пространственных задачах связано с тем, что здесь поверхности, образованные линиями тока, вообще говоря, не являются поверхностями уровня гармонических функций. А для поверхностей уровня гармонических функций вариационный принцип остается справедливым в следующей форме. Пусть область типа пространственного слоя, которая ограничена поверхностями где — гладкие функции, определенные во всей плоскости, и всюду Через мы обозначим такую же область, ограниченную поверхностями а через — гармонические в и соответственно в функции, непрерывные в замыкании этих областей, которые на принимают значение 0, а на равны 1. Через где соответственно обозначим поверхности уровня

В этих обозначениях справедлив (см. М. А. Лаврентьев [6]) следующий

Вариационный принцип. Если область содержится в

1) все поверхности лежат ниже

2) во всех точках производная в направлении внутренней нормали

3) если имеют общие точки, то в них

При этом соприкосновение при и достижение знаков равенства возможно лишь при совпадении

Сузим класс рассматриваемых областей предположив, во-первых, что через каждую точку их границ можно провести две касательные сферы фиксированного радиуса из которых одна лежит в а другая вне D, и во-вторых, что лежащие в отрезки нормалей

к границам в каждой их точке не меньше А? и не больше где фиксированные постоянные. Пользуясь вариационным принципом и произведя оценки для элементарных гармонических функций, на области этого класса можно распространить принцип затухания локальных вариаций в следующей форме:

Пусть область отличается от лишь в малой окрестности какой-либо граничной точки и отклонение от также невелико. Тогда в любой внутренней точке Р или граничной точке области

где постоянные, зависящие лишь от расстояние точки от места вариации и объем, заключенный между границами

Узкие слои. Рассмотрим область удовлетворяющую сформулированным выше условиям, и кроме того, предположим, что для любой точки отрезок нормали к лежащий в заключен в пределах где фиксированные постоянные, малая величина. Будем еще считать, что производные функций до третьего порядка во всех точках имеют тот же порядок h.

Для таких узких слоев можно дать формулу, обобщающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нормальной производной гармонической в слое функции и, которая на принимает значение 0, а на Г равна постоянной Н.

Согласно принципу затухания задача имеет локальный характер, поэтому при подсчете мы можем заменить в окрестности рассматриваемой точки поверхностями уровня гармонических многочленов. Подсчет упростится, если воспользоваться следующим соображением. Обозначим через угол между нормалью в точке и нормалью к Г в точке по условию 0 имеет порядок h. Но является четной

функцией от 0, ибо при замене на , которая эквивалентна повороту слоя на 180° вокруг нормали величина этой производной не изменится. Поэтому при разложении по степеням 0 коэффициент при первой степени должен обращаться в нуль, а величинами порядка мы пренебрегаем, и следовательно, при нашем подсчете мы можем считать

Далее без ограничения общности можно считать, что начало координат и что касательные плоскости в горизонтальны. Тогда в пределах принятой точности можно заменить поверхностями уровня гармонического многочлена

первую — уровня 0, вторую — уровня h. Длина нормали определится из уравнения откуда

мы заменили Но тогда

ибо в пределах принятой точности мы можем в средней части этой формулы принять

Остается заметить, что по известным формулам дифференциальной геометрии главные кривизны поверхности в точке

(мы приняли за поверхность ), и мы получим окончательно

Гармонические отображения. Мы уже говорили о трудностях, которые возникают в пространственных задачах в связи с отсутствием функций тока. Однако ввести понятие сопряженности трех гармонических функций

в пространстве удается, и эта сопряженность аналогична той, которая на плоскости связывает потенциал и функцию тока. Именно, три функции переменных называются сопряженными, если они являются соответствующими частными производными некоторой гармонической функции

(гармоничность самих функций вытекает автоматически из того, что уравнение Лапласа можно дифференцировать частным образом по х, у и z). В плоском случае, когда гармоническая функция от мы имеем соотношения

(первое в силу равенства смешанных производных а второе в силу того, что удовлетворяет уравнению Лапласа), которые показывают, что функция является антианалитической, т. е. функции и и сопряженные гармонические в обычном смысле.

Легко видеть, что введенное условие (4) сопряженности в пространстве эквивалентно тому, что векторное поле ( является одновременно потенциальным и соленоидальным:

(мы предполагаем, что область, в которой рассматривается поле, является односвязной, т. е. что в ней любой замкнутый путь непрерывной деформацией можно стянуть в точку). В самом деле, из первого условия (5) следует существование потенциала — функции такой, что а второе показывает, что Мы доказали, что из (5) следует (4), а обратное доказывается также просто.

Отображения удовлетворяющие эквивалентным условиям (4) или (5), мы будем называть гармоническими. Очевидно, что это — отображение области течения жидкости на область изменения вектора скорости, если жидкость идеальная, течение установившееся и в области течения нет ни вихрей, ни источников.

Заметим, что якобиан отображения

(такой определитель называется гессианом функции не принимает положительных значений — это следует из того, что гармоническая функция не может внутри области иметь ни минимумов, ни максимумов. Поэтому всегда меняет ориентацию; чтобы получить отображение, сохраняющее ориентацию, мы должны изменить знак одной из координат, либо переменить их порядок.

Кроме того, в отличие от плоского случая, система (5), определяющая отображение переопределена: она содержит четыре уравнения относительно трех неизвестных функций, поэтому естественно ожидать, что теорема Римана на гармонические отображения не распространяется, т. е. не всякую односвязную пространственную область можно гармонически отобразить на другую такую же область. Например, по-видимому, не существует гармонического отображения слоя на шар (доказательства этого утверждения пока нет). Тем не менее области типа слоя, границы которых удовлетворяют соответствующим условиям, можно гармонически отображать на плоский слой. Справедливо, например, такое утверждение:

Если границы области типа слоя дважды гладки и при достаточно быстро стремятся к горизонтальным асимптотам, скажем, к причем первые и вторые производные функций достаточно быстро стремятся к нулю, то гармоническое отображение этой области на слой существует. Отображение определяется единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы точка ( переходила в , а оси и соответствовала кривая с асимптотой, параллельной оси х, и задать растяжение в бесконечности вдоль этой кривой.

Приведем идею доказательства, ограничиваясь для простоты письма случаем, когда совпадает с

плоскостью Третья координата отображения должна быть гармонической в функцией, которая на принимает значение 0, а на Г равна 1. Ее определение, таким образом, сводится к задаче Дирихле, которая в принятых условиях имеет единственное решение По известной функция градиентом которой является восстанавливается интегрированием с точностью до функции от двух переменных:

Функцию надо выбрать так, чтобы была гармонической. Вычисляя оператор Лапласа от и пользуясь гармоничностью мы получаем

Таким образом, должна удовлетворять уравнению Пуассона

Кроме того, как видно из (7), осуществляет гомеоморфное отображение плоскости на плоскость Воспользуемся еще тем, что в принятых условиях для больших близка к постоянной а значит, (вместе с производными) близка к решению уравнения

Любое решение последнего уравнения представляется в виде где Р — гармоническая во всей плоскости функция. Так как переводит бесконечность в бесконечность, то

Р — гармонический полином. Если его степень выше 2, то а значит, и близкий к нему не может быть взаимно однозначным в окрестности бесконечности. Поэтому и следовательно,

где стремятся к нулю при

Из соответствия точек мы находим , из параллельности оси х прообраза оси заключаем, что а тогда заданное растяжение этого прообраза в бесконечности позволяет найти отображение определено единственным образом.

Векторные функции, осуществляющие гармонические отображения, обладают рядом свойств, аналогичных свойствам аналитических функций. Некоторые из них можно найти в книгах А. В. Бицадзе [3] или С. Бергмана [4]. Следует, однако, отметить, что теория таких функций разработана еще очень мало.

Системы из трех уравнений. Рассмотрим произвольное гладкое отображение области типа слоя на слой Если якобиан этого отображения не обращается в нуль (что мы и предположим), то его дифференциал

преобразует в единичный куб со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, некоторый параллелепипед (рис. 73).

Будем трактовать как преобразование некоторого течения в области в поступательное движение в плоском слое в направлении оси и; пусть и будет потенциал скоростей. Геометрически естественно потребовать, чтобы ребро параллелепипеда, соответствующее ребру куба, параллельному оси и, было перпендикулярно плоскости его грани, соответствующей грани куба Это условие выражается двумя

уравнениями:

Третье уравнение естественно задать как условие, выражающее режим рассматриваемого течения, в виде зависимости ребра параллелепипеда от площади а ортогональной к нему грани:

где возрастающая функция,

Рис. 73.

Если учесть, что у нас (величина, обратная скорости), а объем параллелепипеда, равный обратной величине якобиана это условие также запишется в виде некоторого нелинейного уравнения с частными производными первого порядка.

Особо следует рассмотреть случай, когда уравнение (11) имеет вид т. е.

Если к системе трех уравнений (10), (12) добавить еще два условия, выражающих, что грань о представляет собой квадрат: 1) где угол между и 2) , то полученная система из пяти уравнений будет выражать условия конформности отображения Полученная система переопределена, и это делает понятной теорему Лиузилля, выражающую тот

факт, что класс конформных отображений в пространстве весьма невелик (мы говорили об этой теореме в начале главы).

Представляет большой интерес изучить системы вида (10) — (11) и, в частности, попытаться распространить на них теорему Римана о существовании отображений и другие свойства конформных и квазиконформных отображений плоских областей.