Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава II. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТЗдесь мы введем понятия, на которых строится математическое описание плоских движений идеальной жидкости или идеального газа. Они относятся к теории аналитических и обобщенных аналитических функций. § 5. Комплексные числа и их обобщенияПлоские движения особенно просты для математического описания потому, что плоские векторы допускают хорошую алгебраизацию. Дело в том, что действия над векторами делятся на две группы. Первую группу составляют действия сложения и умножения на число, которые определяются покоординатно и не зависят от размерности векторов. Так, суммой двух
а произведение вектора
Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов Плоские векторы. Случай двумерных (плоских) векторов составляет приятное исключение. Для таких векторов можно определить умножение, полностью сохраняющее свойства этого действия. Проанализируем различные возможности определения произведения двух плоских векторов
где Мы будем вводить умножение так, чтобы соблюдался распределительный закон (закон раскрытия скобок) и переместительный закон, поэтому должно выполняться соотношение
Умножение не должно выводить из рассматриваемого класса плоских векторов, поэтому
Таким образом, по определению мы полагаем
Легко видеть, что при любых Остается выяснить вопрос о выполнимости обратного действия — деления, для чего, как известно из алгебры, достаточно существования у каждого вектора а
определитель которой
мы видим, что плоскость
Рис. 10. Если определитель Три типа комплексных чисел. Таким образом, если мы определим произведение двух векторов по формуле (1), то в зависимости от расположения точки
(II) (III) Модуль и аргумент. Начнем с обычной (т. е. простейшей эллиптической) системы комплексных чисел. Наряду с представлением
Число определяется однозначно (мы рассматриваем неотрицательные значения корня), а аргумент — лишь с точностью до слагаемого, которое представляет собой целое кратное Полярные координаты комплексного числа удобны для выполнения действий умножения и деления. Нетрудно показать, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:
аналогично
(мы считаем, что Число Понятие сопряженности, а также модуля и аргумента, можно распространить на обобщенные системы комплексных чисел. Именно, условимся в общем случае, когда произведение определяется формулой (1), называть сопряженным к комплексному числу
всегда является действительным числом, а делители нуля определяются условием Чтобы оправдать принятые выше названия обобщенных комплексных систем (в дальнейшем эти названия получат и другое обоснование), заметим, что геометрическим местом точек
В дальнейшем основную роль будут играть эллиптические и гиперболические системы комплексных чисел; случай параболических систем является промежуточным. Для простоты письма мы будем рассматривать только канонические системы, для которых соответственно Покажем, как вводится модуль и аргумент для гиперболических комплексных чисел. Пусть
Нетрудно проверить, что при умножении гиперболических комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При Покажем еще, как в канонических системах выполнить деление, если пользоваться декартовыми координатами:
(мы умножаем числитель и знаменатель дроби на Многомерный случай. Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, согласно которой система эллиптических комплексных чисел является единственным (с точностью до изоморфизма) расширением поля действительных чисел сохранением всех законов сложения и умножения. Если отказаться от переместительного закона, то появится еще одна возможность — четырехмерные векторы (система кватернионов), а если пожертвовать и сочетательным, то еще одна — восьмимерные векторы (октавы Кели). Других возможностей построить умножение векторов, хорошо сочетающееся со сложением, нет. В частности, нельзя построить и хорошей алгебраической системы для трехмерных векторов, и это обстоятельство сильно затрудняет решение пространственных задач гидродинамики.
|
1 |
Оглавление
|