Глава II. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Здесь мы введем понятия, на которых строится математическое описание плоских движений идеальной жидкости или идеального газа. Они относятся к теории аналитических и обобщенных аналитических функций.

§ 5. Комплексные числа и их обобщения

Плоские движения особенно просты для математического описания потому, что плоские векторы допускают хорошую алгебраизацию. Дело в том, что действия над векторами делятся на две группы. Первую группу составляют действия сложения и умножения на число, которые определяются покоординатно и не зависят от размерности векторов. Так, суммой двух -мерных векторов называется вектор

а произведение вектора на число (скаляр) X называется вектор

Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов — скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено).

Плоские векторы. Случай двумерных (плоских) векторов составляет приятное исключение. Для таких векторов можно определить умножение, полностью сохраняющее свойства этого действия. Проанализируем различные возможности определения произведения двух плоских векторов Пользуясь действиями первой группы, мы можем представить эти векторы как суммы

где - вектор, направленный по оси вектор, направленный по оси у (здесь , символами обозначены единичные векторы осей х и у).

Мы будем вводить умножение так, чтобы соблюдался распределительный закон (закон раскрытия скобок) и переместительный закон, поэтому должно выполняться соотношение

Умножение не должно выводить из рассматриваемого класса плоских векторов, поэтому нужно считать равным какому-либо вектору, пусть

Таким образом, по определению мы полагаем

Легко видеть, что при любых так определенное умножение удовлетворяет переместительному, сочетательному и распределительному закону и что при оно совпадает с умножением вектора на число а при с обычным умножением действительных чисел

Остается выяснить вопрос о выполнимости обратного действия — деления, для чего, как известно из алгебры, достаточно существования у каждого вектора а обратного к нему вектора такого, что Согласно (1) последнее равенство переписывается в виде системы уравнений

определитель которой Обозначим

мы видим, что плоскость параболой т. е. (рис. 10), делится на три части. В первой из них где определитель представляет собой сумму квадратов и обращается в нуль лишь при этой части, следовательно, допустимо деление на все векторы, отличные от нуля. Вторую часть (II) составляют точки параболы для них обращается в нуль в точках прямой которая проходит через начало координат и параллельна касательной к параболе в фиксированной точке В третьей части (III), где определитель обращается в нуль на двух прямых, также проходящих через начало:

Рис. 10.

Если определитель то система (2) разрешима относительно х и у не при любых а и а соответствующая однородная система имеет ненулевые решения. Последнее означает, что существуют делители нуля — отличные от нуля векторы а произведение которых равно 0.

Три типа комплексных чисел. Таким образом, если мы определим произведение двух векторов по формуле (1), то в зависимости от расположения точки на плоскости мы получим три типа алгебраических систем.

лежит внутри параболы Система образует алгебраическое поле, обратный элемент существует у любого элемента, отличного от нуля, и следовательно, допустимо деление на любой отличный от нуля вектор. Такие системы векторов мы будем называть эллиптическими комплексными числами. Простейшей из них является обычная система комплексных чисел, для которой и которую мы будем называть канонической. Можно показать, что любая эллиптическая система алгебраически изоморфна канонической системе (т. е. между этими системами существует взаимно однозначное соответствие, которое сумму векторов переводит в сумму, а произведение — в произведение).

(II) лежит на параболе . Такие системы мы будем называть параболическими комплексными числами. В каждой такой системе есть делители нуля, которые располагаются на прямой деление на остальные числа возможно. Параболические системы комплексных чисел изоморфны канонической системе, для которой (т. е. ) и делители нуля располагаются на оси у.

(III) лежит вне параболы системы называются гиперболическими комплексными числами. В каждой из них есть делители нуля, располагающиеся на паре прямых деление на остальные числа возможно. Гиперболические системы изоморфны канонической системе, для которой (т. е. ) и делители нуля располагаются на биссектрисах координатных осей

Модуль и аргумент. Начнем с обычной (т. е. простейшей эллиптической) системы комплексных чисел. Наряду с представлением комплексного числа в декартовых координатах мы можем рассматривать его представление в полярных координатах

Число называется модулем комплексного числа а угол его аргументом. Модуль

определяется однозначно (мы рассматриваем неотрицательные значения корня), а аргумент — лишь с точностью до слагаемого, которое представляет собой целое кратное (число z = 0 вовсе не имеет аргумента). Стандартные обозначения для этих величин таковы: модуль числа обозначается символом а аргумент — символом символом обозначается какое-либо одно из значений так что

Полярные координаты комплексного числа удобны для выполнения действий умножения и деления. Нетрудно показать, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:

аналогично

(мы считаем, что не равны нулю).

Число у которого модуль равен а аргумент равен называется сопряженным к комплексному числу Очевидно,

Понятие сопряженности, а также модуля и аргумента, можно распространить на обобщенные системы комплексных чисел. Именно, условимся в общем случае, когда произведение определяется формулой (1), называть сопряженным к комплексному числу число Тогда произведение

всегда является действительным числом, а делители нуля определяются условием

Чтобы оправдать принятые выше названия обобщенных комплексных систем (в дальнейшем эти названия получат и другое обоснование), заметим, что геометрическим местом точек для которых для эллиптических систем является эллипс (в каноническом случае — окружность для гиперболических — гипербола (в каноническом случае равнобочная:

а для параболических — пара параллельных (в каноническом случае слившихся) прямых.

В дальнейшем основную роль будут играть эллиптические и гиперболические системы комплексных чисел; случай параболических систем является промежуточным. Для простоты письма мы будем рассматривать только канонические системы, для которых соответственно

Покажем, как вводится модуль и аргумент для гиперболических комплексных чисел. Пусть тогда мы полагаем выбираем так, что (значение определяется однозначно), и получаем вместо (4)

Нетрудно проверить, что при умножении гиперболических комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При т. е. модуль считается равным нулю, а аргумент не определяется; при можно положить , тогда вместо (8) будем иметь

Покажем еще, как в канонических системах выполнить деление, если пользоваться декартовыми координатами:

(мы умножаем числитель и знаменатель дроби на в эллиптическом случае предполагается, что , а в гиперболическом, — что не является делителем нуля).

Многомерный случай. Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, согласно которой система эллиптических комплексных чисел является единственным (с точностью до изоморфизма) расширением поля действительных чисел

сохранением всех законов сложения и умножения. Если отказаться от переместительного закона, то появится еще одна возможность — четырехмерные векторы (система кватернионов), а если пожертвовать и сочетательным, то еще одна — восьмимерные векторы (октавы Кели). Других возможностей построить умножение векторов, хорошо сочетающееся со сложением, нет. В частности, нельзя построить и хорошей алгебраической системы для трехмерных векторов, и это обстоятельство сильно затрудняет решение пространственных задач гидродинамики.