Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 26. Гидродинамические задачиЗдесь мы рассмотрим несколько пространственных задач гидродинамики, решения которых можно получить методами, изложенными выше. Течения, близкие к плоским. В § 24 мы рассмотрели течение в слое Здесь мы рассмотрим течения в слоях
которые предположим тонкими и мало отличающимися от плоских. Для этого введем следующее: Условие (А): существует малое число h такое, что для всех х, у
где Для областей этого класса и малы сравнительно с и
на
Условия (4) представляют собой задачу Дирихле для гармонической функции Вариационные принципы. Мы уже отмечали, что в случае произвольных пространственных слоев вариационный принцип в обычной гидродинамической постановке несправедлив: продавливание обтекаемой поверхности в форме тонкого холма, сплюснутого по направлению течения, может привести лишь к раздвиганию линий тока без увеличения скорости на противоположной стенке. Если, однако, ограничиться движениями в слоях, удовлетворяющих условию Пусть в принятых условиях область всех точках поверхности Для областей рассматриваемого класса справедлив также принцип локализации, по которому при локальной вариации границы слоя величина вариации скорости убывает по закону
где Доказательство этого утверждения получается при помощи вариационного принципа, сформулированного выше. Для его применения достаточно мажорировать рассматриваемый слой таким, течение в котором описывается элементарными функциями (см. § 24). Течения в узких слоях. Принцип локализации позволяет строить приближенные решения пространственной задачи обтекания, достаточно точные для практических приложений. Общая схема построения примерно такая же, как в плоском и осесимметрическом случае. Пусть дана пространственная область
находим а из второго уравнения, затем результат подставляем в первое:
В интересующей нас окрестности Подробнее с описанным методом можно ознакомиться по работе М. А. Лаврентьева [7]. Отметим еще некоторые постановки, связанные с движением жидкости в узких слоях уравнения должны связывать производные по переменным х и у от величины V и направления а вектора скорости течения на нижней границе слоя и представлять собой линейную неоднородную систему двух уравнений с частными производными первого порядка с коэффициентами и свободными членами, зависящими от уравнений границ слоя. Далее, желательно получить закон изменения поля скоростей при переходе от нижней границы слоя к верхней, а также изучить влияние локальной деформации границ на расстояниях от места деформации, значительно превышающих ширину слоя. Задачи со свободной границей. Свободной границей пространственного течения называется поверхность, на которой давление всюду постоянно, а по интегралу Бернулли постоянна и величина скорости. Здесь мы отметим несколько особенностей, отличающих пространственный случай от плоского. В пространственных задачах свободные границы являются поверхностями, составленными из линий тока. Возникает естественный вопрос о том, какие геометрические свойства отличают линии тока на свободных поверхностях? Ответ на него оказывается простым: на любой свободной поверхности линии тока являются геодезическими. В самом деле, для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости из уравнений движения видно, что ускорение движущихся частиц пропорционально градиенту давления:
Отсюда следует, что на свободных границах, которые являются поверхностями уровня давления, вектор ускорения направлен по нормали к поверхности. Но вектор ускорения, очевидно, идет по главной нормали к линии тока, поэтому в каждой точке линии тока ее соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к свободной поверхности. Это и показывает, что линия тока — геодезическая. Дальнейшие наши замечания относятся к трудностям, связанным со следующей задачей, которая представляет собой пространственный аналог задачи о волнах: Дана нижняя граничная поверхность
где Прежде всего отметим, что в отличие от плоского случая эта задача неопределенна. Действительно, пусть Чтобы исключить такого рода примеры, нужно ограничиться рассмотрением гладких границ такого рода, нужно наложить на границы Но трудности, связанные с пространственным случаем, этим не исчерпываются.
Рис. 74. Асимптотические условия при Рассмотрим слой, ограниченный плоскостью
то средняя глубина водоема, ограниченного Пусть потенциал этого течения
где
Рис. 75. На других гранях тела
Мы пришли к задаче Неймана восстановления гармонической в области А функции и по заданной на границе ее нормальной производной, причем на трех гранях у нас
всюду малые при достаточно малом а и экспоненциально стремящиеся к нулю при сколь угодно мала в замыкании области Итак, при достаточно малых а на поверхности Г величина скорости сколь угодно мало отличается от 1, а между тем отклонение Г от плоскости Рассмотренный пример показывает, что при построении решения задачи со свободной границей нужно заранее выделить класс областей, для которого имели бы место и существование, и единственность, и устойчивость. Приведем условия, по-видимому, достаточные для обеспечения всех трех требований. Пусть задано малое число h и поверхность
причем функции В этих условиях существует единственная поверхность
такая, что при течении между в бесконечности также направленного вдоль оси х, всюду отличается от 1 не больше, чем на
где К — некоторая постоянная, а Сформулированные утверждения, вероятно, можно доказать, используя приведенные выше методы. Представляет интерес подробное их обоснование и выяснение возможности расширения принятых выше условий. Две задачи. Сформулируем еще две задачи со свободной границей, имеющие существенно пространственный характер. Первая из них относится к нелинейной теории волн в тяжелой жидкости. Общая постановка задачи такова. Требуется найти поверхность
где Из сказанного выше ясно, что в такой общей постановке эта задача также неопределенна, как предыдущая, и ее решение также неустойчиво. Приведем постановку, по-видимому, свободную от этих недостатков. Рассмотрим две системы установившихся плоских волн, которые распространяются со скоростью
Задача. Доказать, что при малых углах а и малом отношении существует решение нелинейной задачи (16), близкое к решению (17) в линейной постановке. Выяснить класс поверхностей, в котором имеет место единственность и устойчивость решения.
Рис. 76. Вторая задача представляет собой пространственный вариант классической задачи Кирхгофа об обтекании со срывом струй. Задача. Построить течение идеальной жидкости со скоростью в Здесь не вполне ясны вопросы единственности и устойчивости. Представляет интерес даже изучение случая, когда пластинка вертикальна Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|