§ 26. Гидродинамические задачи

Здесь мы рассмотрим несколько пространственных задач гидродинамики, решения которых можно получить методами, изложенными выше.

Течения, близкие к плоским. В § 24 мы рассмотрели течение в слое где поверхность с единственным максимумом, приближающаяся со скоростью к своей асимптоте скорость течения в бесконечности направлена по оси х и, как видно из формул того же параграфа, координаты. скорости на бесконечности убывают соответственно как и стремится к тоже как Для больших течение, следовательно, близко к поступательному движению.

Здесь мы рассмотрим течения в слоях

которые предположим тонкими и мало отличающимися от плоских. Для этого введем следующее:

Условие (А): существует малое число h такое, что для всех х, у

где некоторые положительные постоянные. Кроме того, мы будем рассматривать лишь течения, у которых скорость в бесконечности направлена вдоль оси х.

Для областей этого класса и малы сравнительно с и поэтому задача обтекания, которая, как мы видели, сводится к отысканию гармонической в функции по граничному условию

на и аналогичному условию на допускает приближенное решение. Именно, мы пренебрежем в (3) и в таком же условии на Г членами с и а положим равной постоянной величине У. Тогда условия обтекания примут вид

Условия (4) представляют собой задачу Дирихле для гармонической функции Решив эту задачу, мы, как и в предыдущем параграфе, найдем интегрированием, а появляющийся при интегрировании произвол устраним при помощи асимптотических условий на бесконечности.

Вариационные принципы. Мы уже отмечали, что в случае произвольных пространственных слоев вариационный принцип в обычной гидродинамической постановке несправедлив: продавливание обтекаемой поверхности в форме тонкого холма, сплюснутого по направлению течения, может привести лишь к раздвиганию линий тока без увеличения скорости на противоположной стенке. Если, однако, ограничиться движениями в слоях, удовлетворяющих условию и имеющих фиксированную скорость в бесконечности, параллельную оси х, и предположить еще, что вариации поверхностей не выводят из рассматриваемого класса, то принцип останется справедливым в следующей форме:

Пусть в принятых условиях область принадлежит области тогда: 1) во

всех точках поверхности скорости течения в больше скорости течения в если Г отличается от Г лишь в ограниченной области, то во всех общих точках скорость течения в меньше скорости течения в

Для областей рассматриваемого класса справедлив также принцип локализации, по которому при локальной вариации границы слоя величина вариации скорости убывает по закону

где постоянные, расстояние до места вариации и — объем, заключенный между исходной и проварьированной границей.

Доказательство этого утверждения получается при помощи вариационного принципа, сформулированного выше. Для его применения достаточно мажорировать рассматриваемый слой таким, течение в котором описывается элементарными функциями (см. § 24).

Течения в узких слоях. Принцип локализации позволяет строить приближенные решения пространственной задачи обтекания, достаточно точные для практических приложений. Общая схема построения примерно такая же, как в плоском и осесимметрическом случае.

Пусть дана пространственная область типа слоя, удовлетворяющая условию и нам нужно изучить течение в окрестности какой-либо точки Вне этой окрестности мы будем считать все линии тока близкими к параллелям оси х и, учитывая, что слой узкий, воспользуемся «гидравлическим» приближением, в котором предполагается, что величина V и направление а скорости постоянны на каждом вертикальном отрезке, заключенном в Это упрощение приведет нас к плоской задаче

уравнение границы слоя Г (уравнения (6) представляют собой запись условий потенциальности и неразрывности в наших предположениях). Система (6) решается простым интегрированием — сначала

находим а из второго уравнения, затем результат подставляем в первое:

скорость течения в (мы воспользовались еще тем, что при и, считая близким к 1, заменили

В интересующей нас окрестности мы будем пользоваться другими идеями. Именно, на основании принципа локализации, мы заменим в этой окрестности заданную поверхность Г поверхностью близкой к Г и такой, что в слое между течение описывается элементарными функциями. Близость Г к Г мы обеспечим условием, что эти поверхности имеют в точке соприкосновение достаточно высокого порядка (условие совпадения достаточного количества коэффициентов тейлоровского разложения функций в рассматриваемой точке). Запас поверхностей Г с известными течениями нам дает метод источников, который был изложен в § 24, — решение (6) § 24 содержит лишь два параметра и а), что дает лишь грубое приближение, но более общая формула (9) § 24 позволяет в принципе получить элементарное решение с любым числом параметров.

Подробнее с описанным методом можно ознакомиться по работе М. А. Лаврентьева [7].

Отметим еще некоторые постановки, связанные с движением жидкости в узких слоях Прежде всего нужно получить приближенные уравнения для поля скоростей с учетом узости слоя, обобщающие и уточняющие уравнения (6). Эти

уравнения должны связывать производные по переменным х и у от величины V и направления а вектора скорости течения на нижней границе слоя и представлять собой линейную неоднородную систему двух уравнений с частными производными первого порядка с коэффициентами и свободными членами, зависящими от уравнений границ слоя.

Далее, желательно получить закон изменения поля скоростей при переходе от нижней границы слоя к верхней, а также изучить влияние локальной деформации границ на расстояниях от места деформации, значительно превышающих ширину слоя.

Задачи со свободной границей. Свободной границей пространственного течения называется поверхность, на которой давление всюду постоянно, а по интегралу Бернулли постоянна и величина скорости. Здесь мы отметим несколько особенностей, отличающих пространственный случай от плоского.

В пространственных задачах свободные границы являются поверхностями, составленными из линий тока. Возникает естественный вопрос о том, какие геометрические свойства отличают линии тока на свободных поверхностях? Ответ на него оказывается простым: на любой свободной поверхности линии тока являются геодезическими. В самом деле, для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости из уравнений движения видно, что ускорение движущихся частиц пропорционально градиенту давления:

Отсюда следует, что на свободных границах, которые являются поверхностями уровня давления, вектор ускорения направлен по нормали к поверхности. Но вектор ускорения, очевидно, идет по главной нормали к линии тока, поэтому в каждой точке линии тока ее соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к свободной поверхности. Это и показывает, что линия тока — геодезическая.

Дальнейшие наши замечания относятся к трудностям, связанным со следующей задачей, которая представляет собой пространственный аналог задачи о волнах:

Дана нижняя граничная поверхность области типа слоя и требуется найти верхнюю граничную поверхность Г из условия, что на ней величина скорости течения постоянна. Скорость в бесконечности считается заданной и направленной вдоль оси х; задается также средняя глубина водоема, которую по аналогии с плоским случаем можно определить как

где уравнение свободной поверхности Г.

Прежде всего отметим, что в отличие от плоского случая эта задача неопределенна. Действительно, пусть плоскость тогда естественным решением задачи будет плоскость и поступательное движение жидкости в слое между с потенциалом Но это решение неединственно. Об одном типе нарушения единственности мы уже говорили выше в примере с тонким ножом, плоскость лезвия которого идет по направлению поступательного потока: такой нож ничего не меняет в потоке, поэтому наряду с плоскостью решением поставленной задачи будут и кусочно гладкие поверхности, составленные из плоскости и, например, кусков плоскостей, параллельных оси х (очевидно, что такие куски не меняют и средней глубины водоема).

Чтобы исключить такого рода примеры, нужно ограничиться рассмотрением гладких границ уравнения которых имеют вид Но и это дополнительное условие еще не обеспечивает единственности: в нашем примере наряду с плоскостью решением будет служить и любая цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси х, для которой (рис. 74). В самом деле, средняя глубина слоя между также равна нем жидкость может двигаться поступательно вдоль оси х с заданной скоростью V (и с потенциалом Чтобы исключить примеры

такого рода, нужно наложить на границы дополнительные условия, например, на их асимптотическое поведение при Простейшим из таких условий является требование, чтобы при асимптотически приближались к параллельным плоскостям (т. е. чтобы слой при больших отрицательных х был почти плоским слоем).

Но трудности, связанные с пространственным случаем, этим не исчерпываются.

Рис. 74.

Асимптотические условия при которые обеспечивают единственность, еще не гарантируют устойчивости решения, а отсутствие устойчивости сильно затрудняет, скажем, приближенный машинный счет. Приведем соответствующий пример.

Рассмотрим слой, ограниченный плоскостью и поверхностью Г

постоянная), которая при асимптотически стремится к плоскости так как

то средняя глубина водоема, ограниченного равна 1. В этом водоеме рассмотрим течение со скоростью в бесконечности направленной вдоль оси х. Ясно, что это течение периодично по у с периодом и его достаточно рассмотреть над полосой (рис. 75).

Пусть потенциал этого течения условие обтекания поверхности Г записывается в виде или

где производная по направлению нормали к Г, а

Рис. 75.

На других гранях тела изображенного на рис. 75, граничные условия однородны:

Мы пришли к задаче Неймана восстановления гармонической в области А функции и по заданной на границе ее нормальной производной, причем на трех гранях у нас а на четвертой она принимает значения

всюду малые при достаточно малом а и экспоненциально стремящиеся к нулю при Отсюда можно заключить, что в классе решений с ограниченными градиентами величина и при достаточно малом а

сколь угодно мала в замыкании области В частности, на Г малы все частные производные функции и, и значит, малы компоненты скорости сколь угодно близка к 1.

Итак, при достаточно малых а на поверхности Г величина скорости сколь угодно мало отличается от 1, а между тем отклонение Г от плоскости конечно, оно близко к у (в точках с большими х и ). Это и означает неустойчивость решения задачи. Подчеркнем, что пример отражает особенности пространственного случая: на плоскости аналогичная конструкция не осуществима и задача оказывается устойчивой.

Рассмотренный пример показывает, что при построении решения задачи со свободной границей нужно заранее выделить класс областей, для которого имели бы место и существование, и единственность, и устойчивость. Приведем условия, по-видимому, достаточные для обеспечения всех трех требований. Пусть задано малое число h и поверхность совпадает с плоскостью вне эллипса где а и величины порядков, соответственно внутри эллипса пусть задается уравнением где

причем функции четны и имеют единственный максимум при

В этих условиях существует единственная поверхность

такая, что при течении между со скоростью в бесконечности, направленной вдоль оси х, всюду на Г величина скорости Решение устойчиво в том смысле, что если на некоторой поверхности удовлетворяющей условиям (14), скорость течения,

в бесконечности также направленного вдоль оси х, всюду отличается от 1 не больше, чем на то

где К — некоторая постоянная, а сколь угодно мало.

Сформулированные утверждения, вероятно, можно доказать, используя приведенные выше методы. Представляет интерес подробное их обоснование и выяснение возможности расширения принятых выше условий.

Две задачи. Сформулируем еще две задачи со свободной границей, имеющие существенно пространственный характер. Первая из них относится к нелинейной теории волн в тяжелой жидкости. Общая постановка задачи такова.

Требуется найти поверхность так, чтобы при движении жидкости в слое всюду на Г выполнялось соотношение

где потенциал течения, а постоянные. Считается заданной скорость на бесконечности и средняя глубина водоема.

Из сказанного выше ясно, что в такой общей постановке эта задача также неопределенна, как предыдущая, и ее решение также неустойчиво. Приведем постановку, по-видимому, свободную от этих недостатков.

Рассмотрим две системы установившихся плоских волн, которые распространяются со скоростью в направлениях, образующих с осью х соответственно углы Их суперпозиция дает существенно пространственную картину. Вдоль оси х возмущение распространяется со скоростью поэтому, выбрав систему координат, движущуюся вдоль оси х с этой скоростью, мы получим неподвижную волновую поверхность, которая дает решение задачи в линейной постановке. Если за амплитуду волны принять число , за период и за среднюю глубину водоема Н, то уравнением этой поверхности будет

Задача. Доказать, что при малых углах а и малом отношении существует решение нелинейной задачи (16), близкое к решению (17) в линейной постановке. Выяснить класс поверхностей, в котором имеет место единственность и устойчивость решения.

Рис. 76.

Вторая задача представляет собой пространственный вариант классической задачи Кирхгофа об обтекании со срывом струй.

Задача. Построить течение идеальной жидкости со скоростью в равной 1 и направленной вдоль оси х, область которого ограничена наклонной эллиптической пластинкой и неизвестной поверхностью Г, вдоль которой скорость равна 1 (Г примыкает к границе пластинки, см. рис. 76).

Здесь не вполне ясны вопросы единственности и устойчивости. Представляет интерес даже изучение случая, когда пластинка вертикальна и близка к круговой (число мало).

Литература

(см. скан)