§ 33. Загадки движения рыб

Много десятков лет назад было обнаружено несоответствие между скоростью движения некоторых видов рыб и их энергетическим потенциалом. Для объяснения этого несоответствия были выделены следующие три фактора: 1) рыбы, способные развивать большую скорость, выделяют смазку — жидкость с особыми свойствами, которая в несколько раз снижает сопротивление; 2) форма тела этих рыб оптимальна; 3) рыбы пользуются особыми способами создания тяговой силы.

Проблемам смазки посвящено много работ, как экспериментальных, так и теоретических. Получены полимерные смазки, введение которых даже в ничтожных количествах в несколько раз снижает сопротивление малых судов. Объяснение этого эффекта находят в том, что длинные молекулы полимеров, из которых состоит смазка, гасят пристеночные пульсации возникающей турбулентности и увеличивают толщину пристеночного слоя, в котором происходит резкое изменение скорости. Это приводит к падению градиента скорости, что влечет за собой падение напряжения трения на обтекаемой поверхности. Не меньшее количество работ посвящено и проблеме определения формы тел с наименьшим сопротивлением при движении в жидкости. Существенно меньше работ посвящено принципам создания тяговой силы.

Наиболее простым способом создания тяговой силы считается принцип машущего крыла: в жидкость

погружается пластинка, которая совершает колебательные движения относительно некоторой оси. Этот принцип применяется, например, во Франции, в Бретани, где поступательное движение рыбацким лодкам сообщают колебательным движением весла, прикрепленного шарнирно к корме. На нем основаны также некоторые игрушки. Однако двигатели, основанные на принципе машущего крыла, имеют очень малый коэффициент полезного действия.

В последние годы появился ряд работ, в которых рассматриваются другие предположения о тяговой силе рыб. Например, в ряде опытов установлено, что дельфин движется, создавая на своей коже поверхностные волны в направлении от головы к хвосту. Но и этот способ движения является недостаточно эффективным.

Здесь будет рассмотрен еще один способ движения (см. работу М. А. Лаврентьева и М. М. Лаврентьева [5]), который основан на следующем наблюдении — ужи и многие виды рыб движутся, производя непрерывные волнообразные движения вдоль линии своего хребта.

Качественная картина движения. Пусть имеется жесткий канал с круговыми сечениями постоянного радиуса и с осевой линией, которая представляет собой плоскую волнистую кривую (например, синусоиду). Представим себе, что в этот канал посажен уж, круговые сечения которого совпадают с сечениями канала, и допустим, что трения между телом ужа и стенками канала нет. Сможет ли в этих условиях уж прийти в движение из состояния покоя и достичь значительной скорости, если длина канала достаточно велика?

Оказывается, сможет, если будет мускульными усилиями напрягать различные участки своего тела таким образом, чтобы выпрямлять тело или делать его более изогнутым. Например, чтобы двигаться слева направо, уж должен делать такие усилия: если вправо от некоторого участка его тела кривизна канала убывает, то уж должен выпрямлять этот участок, если же кривизна канала возрастает, то уж должен направлять усилия на увеличение кривизны этого участка. Короче говоря, уж должен создавать распределение кривизн своего тела,

которое соответствует его новому, продвинутому в желаемом направлении, положению в канале.

Качественное объяснение такого способа движения получить совсем нетрудно. В самом деле, если при новом распределении кривизн своего тела уж продвинется так, что это распределение будет ближе к распределению кривизн канала, то потенциальная энергия напряжения уменьшится, а так как трения нет, то вся высвободившаяся энергия перейдет в кинетическую энергию поступательного движения.

Но откуда же взять ужу в реальных условиях канал? Ответ на этот вопрос также прост: канал в воде он создает передней частью своего тела, вблизи головы, а средней и задней частью совершает изгибные движения, которые и порождают тяговую силу. При этом используется инерционность воды, в силу которой в окрестности головы ужа примыкающие слои воды действуют на остальную часть тела как стенки канала.

Наблюдения показывают, что ужи или рыбы, которые способны создавать вдоль своего тела наперед заданные напряжения, передвигаются в воде с очень большой скоростью. Коэффициент полезного действия при этом оказывается тем выше, чем больше отношение присоединенной массы воды к собственной массе рыбы. У плоских рыб коэффициент полезного действия, очевидно, выше, чем у круглых, но при одинаковой массе у плоских рыб больше поверхность, а значит, больше и сопротивление трения. Таким образом, при заданном коэффициенте трения нужно иметь наиболее оптимальную форму тела. Но это уже другой вопрос, и его мы здесь не касаемся. Перейдем к расчетам.

Движение в твердом канале. Предположим, что в плоскости в момент времени уж занимает положение отрезка кривой

где за параметр принята длина участка тела ужа, отсчитываемая, скажем, от хвоста (длина ужа I считается постоянной). Пусть уж перемещается вдоль фиксированной кривой Г (канала), которая задается уравнением

где известная комплексная функция действительного аргумента а, длины дуги Г, отсчитываемой от какой-либо ее точки (рис. 114).

Движение ужа вполне определяется функцией которая задает положение его хвоста в момент времени в самом деле, мы имеем

Рис. 114.

Ускорение ужа (точнее, касательная составляющая ускорения вдоль Г) равно, очевидно, следовательно, уравнение его движения в канале можно записать в виде

где масса ужа, соответственно внешние и внутренние силы, на него действующие. Суммарная внешняя сила определяется трением ужа о стенки канала, и сначала мы предположим, что она равна нулю.

В соответствии с тем, что говорилось в предыдущем разделе, естественно считать, что внутренние силы, которые определяются мышечными усилиями ужа, пропорциональны производной кривизны линии Г в рассматриваемой точке. Поэтому мы предположим, что суммарная внутренняя сила

где коэффициент пропорциональности функция, которую должен выбирать уж. Так как у нас то согласно уравнению (4) и есть тяговая сила ужа.

Усилие, которое совершает уж на том или ином участке тела, определяется функцией Поэтому суммарное его усилие, затрачиваемое на создание тяговой силы:

где неотрицательная возрастающая функция, которая определяет зависимость изгибающего усилия от напряжения мышц ужа.

Желая экономно расходовать силы, уж должен решить следующую экстремальную задачу: он должен задаться своим суммарным усилием и подобрать функцию так, чтобы величина тяговой силы была наибольшей. Эта задача под силу всякому ужу, который знаком с элементами вариационного исчисления — задача на экстремум функционала (5) при условии

Как и обычные задачи на условный экстремум, она решается методом множителей Лагранжа, т. е. сводится к отысканию обычного экстремума функционала

Теперь экстремальная функция должна удовлетворять соотношениям

Из первого уравнения этой системы мы находим

где функция, обратная к известной функции и тогда подстановка во второе уравнение при заданном усилии позволит подобрать функцию Я. Усилия ужа найдены, и для отыскания его закона движения остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение (4).

Покажем теперь, как можно учесть трение. Мы предположим, что функция является периодической,

с периодом I и что внешняя сила зависит лишь от скорости движения: где известная функция. Если потребовать, чтобы уж двигался с заданной постоянной скоростью о — V, то из уравнения (4) мы получим, что должно выполняться равенство причем обе эти величины постоянны. Учитывая найденное выражение функции (9), в котором теперь можно положить мы получим из (5) и (6) соотношения

Из них можно найти суммарное усилие которое должен затратить уж, чтобы двигаться с заданной скоростью

Движение в воде. По-прежнему будем считать, что уж двигается в плоскости, которую примем за плоскость Пусть в системе координат, движущейся вместе с центром тяжести ужа, его ось симметрии задается уравнением

а его сечение каждой плоскостью представляет собой круг радиуса (рис. 115).

Рис. 115.

Считая движение безвихревым, по теореме о количестве движения можно написать

где масса ужа, V — скорость его центра тяжести, плотность жидкости, занимаемая ужом область, элемент объема. По формуле Стокса

где поверхность тела ужа, единичный вектор внешней нормали к ней, элемент поверхности.

Вычислим компоненту вектора нормали; обозначая через а угол между этим вектором и осью у, а через угол между касательной и кривой (11) и осью будем, очевидно, иметь

если наклон невелик (что мы и предположим). Так как то из (12) получается, следовательно, что

Предположим, что в каждом сечении рассматриваемый поток мало отличается от потока, обтекающего цилиндр радиуса который движется вдоль оси у со скоростью

(см. рис. 115). Тогда на поверхности значение потенциала можно приближенно считать равным

(см. § 23). Подставляя это значение в (13), получим

Далее предположим, что движение ужа имеет характер бегущей волны, т. е. что уравнение (11) представляется в виде

Тогда из (14) мы найдем и после подстановки в (15) будем иметь

Введем еще обозначение

тогда для будем иметь

Величина называется присоединенной массой жидкости. Скорость центра тяжести ужа а при движении в твердом канале При движении ужа в канале вся полезная работа его мышц идет на создание поступательного движения тела и работу против сил трения, а при движении в жидкости некоторая часть мышечной работы идет на сообщение кинетической энергии частицам жидкости. Таким образом, коэффициент полезного действия при движении ужа в твердом канале больше, чем при движении в жидкости. В рассмотренной здесь приближенной схеме движения этот коэффициент нетрудно подсчитать, см. Е. Н. Шер [6],