§ 16. Примеры сверхзвуковых задач

Течение в канале. Рассмотрим в принятой модели простейшую задачу о сверхзвуковом течении в канале с плоскими стенками Примем, что функция тока равна 0 на нижней и 1 на верхней стенке, так что задача сведется к отображению полосы на полосу Из условия обтекания стенок получаем соотношения

справедливые для всех из которых следует, что и что произвольная периодическая с периодом 2 функция. Условие того, что скорость V — сверхзвуковая выражается неравенством которое эквивалентно неравенству

С другой стороны, условие соответствия верхних берегов полос по формуле (18) предыдущего параграфа записывается в виде

(мы воспользовались тем, что у нас имеет период 2, и известным свойством интегралов от периодических функций). По теореме об оценке интеграла из предыдущего неравенства мы получаем условия для

Рис. 44.

Если функция то в силу ее периодичности Ф непременно обращается в нуль, меняя знак; из формулы (16) предыдущего параграфа видно, что тем же свойством обладает и якобиан отображения В этом случае величина скорости V не может иметь предела в бесконечности (течение пульсирует). Поэтому единственным решением, для которого существует предел скорости в бесконечности (пульсация отсутствует), будет решение с т. е. поступательное движение газа.

Тот же вывод относится и к течению в полуплоскости если потребовать существования предела V на бесконечности, не зависящего от способа удаления точки в бесконечность, то единственным решением

задачи будет поступательное движение, для которого

В этой же модели задача о сверхзвуковом течении в криволинейном канале была решена М. М. Лаврентьевым [7]. Эта задача приводится к нелинейному функциональному уравнению, содержащему еще интегралы от неизвестной функции, которое решается методом последовательных приближений. Существование решения доказано в предположении, что достаточно быстро убывает при Как и в простейшем случае прямолинейного канала, единственность доказывается в классе течений, для которых существует предел скорости при .

Обтекание угла. Пусть угол имеет вид, изображенный на рис. 44, причем уравнением участка пусть будет Зададим на отрезке оси и функцию определяющую соответствие этого отрезка и участка границы течения. Тогда на определятся функции и

а следовательно, и функции

бесконечности и тогда, ограничиваясь решениями без пульсаций, получим, что в зоне I

т. е. движение поступательно. В зоне значение не меняется и остается равным но значение начинает меняться по закону (4) — движение такого типа называется простой волной. В зоне по-прежнему а функция определяется ее значениями на участке границы снова предполагая, что в зоне III нет пульсаций, мы заключаем, что принимает здесь

постоянное значение

угол поворота участка величина определяется скоростью поступательного движения в зоне зоне мы имеем, таким образом, поступательное движение.

В зоне значение меняется по закону (4) — здесь мы снова имеем простую волну. В зоне II обе функции меняются по закону (4), и мы имеем сложный поток, и наконец, в зоне III — поступательное движение с

На рис. 44 приведены также образы рассматриваемого течения в плоскости комплексного потенциала и плоскости годографа со. Отображение гомеоморфно, а имеет ряд особенностей: зоны и поступательного движения переходят в точки, зоны III и простой волны — в дуги, и лишь зона сложного потока вообще говоря, преобразуется в область.

Функция задающая соответствие в описанном решении остается произвольной — нужно лишь обеспечить, чтобы скорость V менялась в нужных пределах а это достигается простыми ограничениями, на которых мы не останавливаемся. Однако в газовой динамике обычно делают дополнительное предположение о том, что поворот потока в зоне осуществляется простой волной. Тогда из бесконечного множества решений задачи останутся возможными только два:

а) Простая волна Здесь, как видно из первого уравнения (4),

а так как а на участке убывает, то возрастает, а с ней возрастает и скорость мы имеем так называемое течение разрежения. Соответствие определяется теперь однозначно по формулам, приведенным выше.

б) Простая волна все аналогично случаю а), только скорость убывает, и мы имеем течение сжатия.

Если сделать еще предположение, что на первой характеристике (рис. 44) режим течения не меняется, то случай б) отпадет и мы будем иметь единственное решение.