С другой стороны, условие соответствия верхних берегов полос
по формуле (18) предыдущего параграфа записывается в виде
(мы воспользовались тем, что у нас
имеет период 2, и известным свойством интегралов от периодических функций). По теореме об оценке интеграла из предыдущего неравенства мы получаем условия для
Рис. 44.
Если функция
то в силу ее периодичности Ф непременно обращается в нуль, меняя знак; из формулы (16) предыдущего параграфа видно, что тем же свойством обладает и якобиан
отображения В этом случае величина скорости V не может иметь предела в бесконечности (течение пульсирует). Поэтому единственным решением, для которого существует предел скорости в бесконечности (пульсация отсутствует), будет решение с
т. е. поступательное движение газа.
Тот же вывод относится и к течению в полуплоскости
если потребовать существования предела V на бесконечности, не зависящего от способа удаления точки в бесконечность, то единственным решением
задачи будет поступательное движение, для которого
В этой же модели задача о сверхзвуковом течении в криволинейном канале
была решена М. М. Лаврентьевым [7]. Эта задача приводится к нелинейному функциональному уравнению, содержащему еще интегралы от неизвестной функции, которое решается методом последовательных приближений. Существование решения доказано в предположении, что
достаточно быстро убывает при
Как и в простейшем случае прямолинейного канала, единственность доказывается в классе течений, для которых существует предел скорости при
.
Обтекание угла. Пусть угол имеет вид, изображенный на рис. 44, причем уравнением участка
пусть будет
Зададим на отрезке
оси и функцию
определяющую соответствие этого отрезка и участка
границы течения. Тогда на
определятся функции
и
а следовательно, и функции
бесконечности и тогда, ограничиваясь решениями без пульсаций, получим, что в зоне I
т. е. движение поступательно. В зоне
значение не меняется и остается равным
но значение
начинает меняться по закону (4) — движение такого типа называется простой волной. В зоне
по-прежнему
а функция
определяется ее значениями на участке границы
снова предполагая, что в зоне III нет пульсаций, мы заключаем, что
принимает здесь
постоянное значение
угол поворота участка
величина
определяется скоростью поступательного движения в зоне
зоне
мы имеем, таким образом, поступательное движение.
В зоне
значение
меняется по закону (4) — здесь мы снова имеем простую волну. В зоне II обе функции
меняются по закону (4), и мы имеем сложный поток, и наконец, в зоне III — поступательное движение с
На рис. 44 приведены также образы рассматриваемого течения в плоскости
комплексного потенциала и плоскости годографа со. Отображение
гомеоморфно, а
имеет ряд особенностей: зоны
и
поступательного движения переходят в точки, зоны III и
простой волны — в дуги, и лишь зона сложного потока
вообще говоря, преобразуется в область.
Функция
задающая соответствие
в описанном решении остается произвольной — нужно лишь обеспечить, чтобы скорость V менялась в нужных пределах
а это достигается простыми ограничениями, на которых мы не останавливаемся. Однако в газовой динамике обычно делают дополнительное предположение о том, что поворот потока в зоне
осуществляется простой волной. Тогда из бесконечного множества решений задачи останутся возможными только два:
а) Простая волна
Здесь, как видно из первого уравнения (4),
а так как а на участке
убывает, то
возрастает, а с ней возрастает и скорость
мы имеем так называемое течение разрежения. Соответствие определяется теперь однозначно по формулам, приведенным выше.
б) Простая волна
все аналогично случаю а), только скорость убывает, и мы имеем течение сжатия.
Если сделать еще предположение, что на первой характеристике
(рис. 44) режим течения не меняется, то случай б) отпадет и мы будем иметь единственное решение.