§ 43. Камуфлетный взрыв

Здесь мы рассмотрим задачу о расширении полости, которая возникает при подземных взрывах, не сопровождающихся образованием воронки на поверхности Земли, — они называются камуфлетными взрывами.

Паковка. Одной из характерных особенностей деформации грунта, отличающих его от воды и упругих тел, является так называемая паковка: если грунт сильно сжать, а затем снять давление, то конечный объем грунта будет меньше первоначального.

Введем величину

характеризующую сжатие грунта плотность в отсутствии дополнительного давления). Зависимость сжатия от величины давления показана на рис. 148. В первом приближении эта зависимость схематизируется ломаной, изображенной на рис. 148 пунктиром. При давлениях, непревышающих некоторого критического значения плотность грунта практически равна ее первоначальному значению (т. е. ). Когда давление достигает происходит мгновенная деформация грунта — плотность возрастает до величины и при дальнейшем увеличении давления практически не меняется.

Рис. 148.

Такое поведение грунта и объясняет эффект паковки — при снятии давления плотность близка к

Задача о расширении полости. Пусть в грунте, обладающем описанными выше свойствами, в начальный момент имеется сферическая полость радиуса заполненная газом с давлением большим критического давления Требуется определить движение полости и ее конечный радиус.

Прочностными и пластическими свойствами грунта мы пренебрегаем, а давление в полости считаем

меняющимся по адиабатическому закону:

где у — постоянная, переменный радиус полости.

Сразу же после заполнения полости газами по грунту распространяется ударная волна, которая называется волной паковки. Фронт этой волны мы будем считать сферическим, а радиус сферы збозначим через

Будем считать, что в шаровом слое движение среды описывается уравнениями гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости — уравнением движения

(где — скорость точек среды) и уравнением неразрывности, которое можно записать в виде

где К — некоторая функция от времени.

К этим уравнениям следует добавить граничные условия. На внутренней границе сфере радиуса давление должно удовлетворять условию (2), а на внешней границе должны выполняться обычные условия на фронте ударной волны. Первое из этих условий выражает закон сохранения масс и записывается в виде

где скорость волны паковки (точка обозначает дифференцирование по времени), а Второе условие выражает закон сохранения количества движения; в предположении, что давление перед фронтом волны паковки равно критическому давлению оно имеет вид

где массовая скорость и давление на фронте волны.

Из (4) следует, что

а (5) переписывается в виде где — сжатие грунта. Получаем дифференциальное уравнение решая которое при начальном условии находим зависимость между а и R?:

Далее, подставляя (4), где положено в уравнение движения (3) и интегрируя его по в пределах от до мы найдем

Здесь R можно выразить через а по формуле также выражается через а по формуле (2), а из (5), (6) и (7) следует, что

Таким образом, (9) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для радиуса газовой полости. При задано значение из (10) при мы получаем

так что начальные условия для этого уравнения известны и, следовательно, закон изменения газовой полости вполне определен.

Приближенное решение. Опыты показывают, что радиус полости довольно быстро становится в 10—20 раз больше первоначального. Поэтому на протяжении большей части движения в (8) можно пренебречь вторым слагаемым в правой части. Мы получим, что и тогда (9) после простых преобразований примет вид

где

Полагая и замечая, что , мы получаем для уравнение типа Бернулли

Оно решается обычным методом вариации постоянного, и его решение, удовлетворяющее начальному условию которое следует из (11), имеет вид

Простой анализ этого выражения показывает, что скорость расширения газовой полости а сначала увеличивается, затем достигает максимального значения и убывает до нуля. Конечный радиус полости можно определить из (13), полагая там

Замечания. Уравнение (9) можно получить и непосредственно из энергетических соображений. При этом можно подсчитать энергию, затрачиваемую на необратимую деформацию грунта. Расчеты показывают, что доля энергии ВВ, передаваемая грунту, в диапазоне значений составляет величину что неплохо согласуется с экспериментальными данными.

Излагаемая здесь модель камуфлетного взрыва была впервые предложена А. Ю. Ишлинским, Н. В. Зволинским и И. 3. Степаненко в 1954 году [2]. Позднее появились более сложные модели, учитывающие пластические свойства грунта, переменную паковку, прочностные характеристики и разрушение среды. Эти усложнения модели имеют целью лучшее приближение к натуре. Однако современное состояние наших знании

о физико-механических свойствах грунтов и продуктов детонации ВВ еще не позволяет поставить и решить задачу точно.

Перегрузка задачи большим количеством трудно определяемых параметров часто оказывается вредной. Конечно, при соответствующей подгонке этих параметров всегда можно добиться совпадения данных расчетов с данными эксперимента. Но цель построения механической модели физического явления состоит в выяснении того вклада, который вносит в общую картину процесса то или иное свойство среды: сжимаемость, прочность и т. д.

Иногда бывает и так, что различные модели формально сводятся к одним и тем же соотношениям. Например, модель грунтовой среды с условием пластичности Прандтля и с постоянной паковкой приводит к дифференциальному уравнению такого же вида, как (9). Разница состоит только в выражениях для коэффициентов.