§ 39. Механизм разрушения

При техническом использовании взрывов среди других возникает такая проблема: как и в каких количествах расположить ВВ в скальном массиве так, чтобы после взрыва получить куски породы заданных размеров. Важно и частичное решение этой проблемы — получить при взрыве из разрушенного массива наибольшее количество кусков данного габарита. Эта проблема тесно связана также с известной проблемой осколочных снарядов: надо добиться, чтобы осколки (или хотя бы большая их часть) имели заданные размеры.

Вероятностный подход. В любом реальном физическом теле всегда имеется большое количество структурных дефектов (в том числе трещин), расположенных хаотически и имеющих различные размеры и форму. Под действием взрыва происходит раскрытие и развитие этих дефектов, которое и приводит к образованию осколков разнообразных форм и объемов.

В простейшем случае, когда материал в достаточно больших объемах обладает изотропными свойствами, можно описать результат осколочного действия взрыва, введя функцию распределения, т. е. вероятность того, что осколок имеет размер, меньший некоторой величины. Как показывают многочисленные эксперименты, эта функция с достаточной точностью может быть представлена в виде:

где характерный размер осколка, а параметры распределения.

Вероятность того, что осколок имеет характерный размер в диапазоне получается дифференцированием функции

Практически эта вероятность определяется как отношение объема всех осколков, имеющих размер в интервале ко всему разрушенному объему:

Справедливы следующие соотношения. Количество частиц, имеющих размер в интервале и средний объем равно

Относительный объем всех частиц, имеющих размер, больший

Последнее выражение используется в горнообогатительной промышленности под названием закона Розина-Раммлера (1933 г.). Из формулы (2) видно, что средний размер осколка

где Г — гамма-функция Эйлера,

Через эту же функцию выражается и дисперсия рассматриваемого распределения:

При справедливы следующие приближенные соотношения:

- числовой коэффициент раскрывающие смысл параметров Мы видим, что это «почти» средний размер осколков, а величина характеризует «кучность» распределения относительно среднего размера: чем больше тем более равномерно произведено дробление.

Модельные задачи. Параметр определяется в основном технологией производства взрывных работ. Величину можно определять из решения модельных задач, причем выбор модели определяется физико-механическими свойствами материала, величиной давления и геометрией конструкции. Если, например, рассматривается разрушение металлов под действием давления порядка то соответствующую задачу можно рассчитать по схеме идеальной несжимаемой

жидкости или вязкопластической среды, в круге идей, в которых в гл. VII мы рассматривали действие кумулятивных зарядов.

Для горных пород в большинстве случаев наиболее подходящей является модель хрупкого тела. Возможны также и комбинации различных моделей. Так, при камуфлетном взрыве в скальном грунте вблизи заряда движение грунта может описываться уравнениями сыпучей или пластической среды, в средней зоне, разрушенной радиальными трещинами, — уравнениями для стержней, а вдали от зарядов — уравнениями теории упругости.

Величина среднего размера осколка в каждой из моделей обычно вычисляется из исследования устойчивости движения по отношению к малым возмущениям синусоидального типа, причем вид движения определяется характером деформации материала. Во многих случаях разрушение тела наступает при растяжении, поэтому особый интерес представляет исследование в различных схемах устойчивости такого движения, при котором все элементы среды испытывают растяжение.

Основные результаты здесь получены для плоского движения, их можно сформулировать следующим образом:

1. Растяжение упругого стержня устойчиво. Этот результат непосредственно следует из задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе (с заменой F на -F).

2. Равномерное растяжение полосы идеальной несжимаемой жидкости устойчиво по отношению к гармоническим возмущениям границ, симметричных относительно средней линии [6].

3. Растяжение вязкопластической полосы абсолютно неустойчиво к возмущениям указанного выше типа. Этот результат получен в пренебрежении инерционными силами. При любом количестве полуволн растяжение приводит к разрыву [5].

Задача о трещинах. Рассмотрим теперь задачу об устойчивости трещин в упругохрупком теле. Простейшая из возможных постановок состоит в следующем.

Пусть в плоскости имеется система параллельных трещин длины , расположенных симметрично относительно оси у на расстоянии h одна от другой. В начальный момент времени внутри трещин создается давление, превосходящее равновесное и остающееся постоянным во все время движения. Требуется описать движение трещин и, в частности, исследовать устойчивость процесса.

Полного решения поставленной задачи в настоящее время нет. Можно, однако, построить приближенное решение, опираясь на качественный анализ проблемы и некоторые точные решения более простых задач. Опишем вкратце схему решения. Сначала решается:

Статическая задача. Пусть задано растягивающее напряжение большее, чем прочность материала на растяжение предполагается, что при этом в материале образуется система параллельных трещин заданной длины. Требуется определить расстояние h между трещинами.

В теории хрупких трещин показывается (см. Л. И. Седов [1]), что равновесие трещины определяется одним параметром — равновесным коэффициентом интенсивности напряжений или модулем сцепления

где Е — модуль Юнга, у — эффективная удельная энергия, идущая на образование единицы поверхности трещины, коэффициент Пуассона (размерность этой величины Прочность материала на растяжение а связана с величиной Ко и длиной трещины соотношением

Поставленная задача в принципе может быть решена методами плоской задачи теории упругости (см. Н. И. Мусхелишвили [3]). Можно показать, что в окрестности носика трещины напряжение стремится к бесконечности по закону малое расстояние от носика, коэффициент интенсивности

напряжений в данный момент времени. Равновесие имеет место, когда Точное решение в конечном виде, однако, в настоящее время не получено. Известно лишь приближенное решение

полученное для или

для (В. М. Кузнецов [7]).

Наряду со статической рассматривается Динамическая задача. Заданы длина трещин и расстояние между ними. Найти скорость при давлениях превышающих равновесное давление

Динамические задачи теории хрупкого разрушения являются более трудными, и до настоящего времени их решено очень мало даже в самых простых предположениях. Имеются, однако, экспериментальные факты, использование которых помогает решению. Оказывается, например, что напряженное состояние в окрестности носика движущейся трещины мало отличается от того, которое наблюдается в случае равновесной неподвижной трещины. Это позволяет на каждом этапе движения трещины искать решение статической задачи, соответствующей данной геометрии.

Можно, далее, показать, что скорость развития трещины не может превышать некоторой величины с (теоретически равной релеевской скорости, практически — всегда составляющей примерно половину ее). Эти соображения приводят к построению следующей формулы для скорости V движения трещины:

где с — предельная скорость, К — коэффициент интенсивности напряжений в данный момент времени, К — равновесная величина того же коэффициента (см. работу [7]).

Устойчивость. Пусть в предыдущей задаче трещины через одну получили одинаковое малое приращение ушны. Как изменится скорость развития трещин?

Оказывается, длинные трещины при этом ускоряются, а короткие замедляются. Качественно этот результат понятен и без выкладок: длинные трещины «экранируют» более короткие и зажимают их. Расчет показывает, что если длина больших трещин в раз превышает длину малых трещин, то наличие последних практически не влияет на напряженное состояние в окрестности носика длинных трещин.

Короткие трещины при этом останавливаются, длинные — продолжают развиваться. Теперь можно рассматривать развитие новой системы трещин, расстояние между которыми равно Эту систему можно подвергнуть возмущениям описанного типа и т. д. Таким образом, неустойчивость развития системы трещин приводит к увеличению расстояния между ними. Если трещины проходят расстояние то число актов удвоения равно а расстояние между трещинами составляет

Длинные осколки в форме пластин разрушаются так же, как стержни под действием продольного удара (см. предыдущий параграф), и при этом образуются осколки, размер которых имеет порядок h. Таким образом, величина h играет роль среднего размера осколка, входящего в формулы (1), (9) и другие.

Влияние масштаба взрыва на размер осколков. Рассмотрим два геометрически подобных взрыва в одинаковых горных породах. Пусть все линейные размеры в одном из них в раз больше, чем в другом. Вес ВВ, который пропорционален объемам, увеличится в раз. А как изменится средний размер куска?

В геометрически подобных точках в обоих случаях напряжения в соответствующие моменты времени будут одними и теми же. Поэтому первоначальная сетка трещин должна быть одинаковой. Однако время действия нагрузок, а следовательно, и время развития трещин будет больше для более крупного взрыва. В силу отмеченной выше неустойчивости расстояние между трещинами

будет возрастать, причем в большей степени для более мощного взрыва.

В идеализированной задаче предыдущего пункта при изменении линейного масштаба в раз расстояние между трещинами изменялось в раз, так же изменялся и размер осколков. Мы сделаем допущение, что и в общем случае при изменении масштаба взрыва в раз средний размер осколков изменится в раз, где

Вот некоторые конкретные примеры.

При взрыве заряда весом в камне весом средний размер осколков см, а при взрыве в камне весом 2130 кг средний размер см. Так как масштаб взрыва пропорционален корню кубическому из зеса ВВ, то масштаб второго взрыва был в 10 раз меньше первого; средний размер осколков изменился при этом примерно в 4 раза.

При взрыве на выброс заряда в 100 г на глубине 40 см средний размер кусков см, при взрыве см. Здесь увеличение масштаба взрыва в 60 раз привело к увеличению среднего размера кусков в 8 раз.

На основании указанных выше соображений и многочисленных экспериментов была построена эмпирическая формула, определяющая средний размер куска в зависимости от удельного расхода ВВ и масштаба взрыва:

Здесь измеряется в см, вес объем взорванной массы .