Глава V. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ

В предыдущих главах уже не раз говорилось об этих задачах в их классической постановке. Здесь мы продолжим разбор, причем наряду с классическими рассмотрим и некоторые новые задачи.

§ 18. Парадоксы в схеме идеальной жидкости

Парадокс подъемной силы. Напомним, что величина давления в установившемся безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется из интеграла Бернулли:

где А — некоторая постоянная, плотность жидкости, -величина скорости течения (действием сил тяжести мы пренебрегаем). Пользуясь этой формулой, нетрудно вычислить результирующую силу давления, действующую на обтекаемое тело в целом. Так как давление на контур у направлено внутрь по его нормали, то сила, действующая на элемент контура, равна

а результирующая сила, действующая на весь контур:

(мы учитываем, что интеграл от по замкнутому контуру равен нулю). Составляющая X вектора F

называется лобовым сопротивлением, подъемной силой.

Преобразуем эту формулу, введя в нее комплексный потенциал течения. Мы знаем, что вектор скорости учитывая, что в силу условия обтекания контура на нем где получаем в точках у

Подставим это в (2) и перейдем к комплексно сопряженным величинам: мы получим классическую формулу С. А. Чаплыгина (1910 г.):

Применим ее к простейшему случаю бесциркуляционного обтекания круглого цилиндра. Здесь комплексный потенциал равен

(где V - скорость на бесконечности), а его производная Подставляя это в формулу (3), мы приходим к парадоксальному результату: и подъемная сила, и лобовое сопротивление в этой задаче оказываются равными нулю!

Как мы сейчас убедимся, парадокс не исчезнет, если мы будем рассматривать бесциркуляционное обтекание произвольного замкнутого контура у. В самом деле, для любого течения во внешности у производная комплексного потенциала течения должна быть аналитической функцией в этой внешности, а в окрестности бесконечности должна иметь разложение вида

где вектор скорости течения в бесконечности.

Интеграл от по любому замкнутому контуру, охватывающему у, равен где Г — циркуляция, поток через этот контур (см. гл. II). В нашем случае,

так как имеется обтекание у, то вдоль у и, следовательно,

С другой стороны, как видно из (5),

(так как по теореме Коши интеграл не меняется при изменении контура вне у, мы можем считать, что он расположен в той области, где (5) уже действует). Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что и интегрируя (5), получаем следующее разложение комплексного потенциала нашего течения в окрестности бесконечности:

здесь с — произвольная постоянная.

Мы видим, что в отсутствии циркуляции при обтекании произвольного контура у разложение в бесконечности не содержит степени Поэтому интеграл в формуле Чаплыгина равен 0, и в этом случае парадокс сохраняется для любого контура.

Условие Чаплыгина. Эти же выкладки показывают, что в случае циркуляционного обтекания произвольного замкнутого контура у в окрестности бесконечности

Подставляя это в формулу (3) и переходя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе (1904 г.)

Как мы показали в гл. III, комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра равен

а критические точки потока —

(переход от рассмотренного там случая к рассматриваемому здесь элементарен). Общий случай обтекания произвольного контура у сводится к предыдущему при помощи конформного отображения внешности у на внешность окружности с нормировкой величина R вполне определяется условиями нормировки. Подставляя в (8) вместо получим комплексный потенциал течения:

полученное представление действует во всей внешности контура, а (6) дает разложение этой функции в окрестности бесконечности.

Подсчитаем число параметров, определяющих это решение задачи обтекания. Функция и радиус R полностью определяются видом обтекаемого контура у и принятыми условиями нормировки. Вектор скорости в бесконечности остается свободным параметром — мы можем задавать его произвольно. Остается выяснить ситуацию с величиной циркуляции Г. Как видно из (9), эта величина полностью определится, если известен аргумент образа точки разветвления или схода потока при отображении В принципе эти точки можно задавать произвольно, так что Г также является свободным параметром.

Однако в приложениях к авиации дело обстоит не так. Обтекаемый контур — профиль крыла самолета — здесь обычно имеет острую кромку, скажем, точку с углом между касательными как на рис. 49. Как мы видели в гл. III, из этого вытекает, что производная отображающей функции обращается в этой точке в бесконечность. Отсюда, вообще говоря, следует физически невозможный вывод о том, что скорость течения в точке бесконечно велика.

Этот парадокс проанализировал С. А. Чаплыгин. Он ввел условие, что точка 20 является точкой схода потока — как показывает простой подсчет, при этом

условии скорость оказывается конечной. В самом деле, в окрестности точки мы имеем и следовательно,

(А и В — некоторые постоянные, Но как видно из решения задачи об обтекании круглого цилиндра в гл. III, производная комплексного потенциала имеет в точке нуль первого порядка, т. е. в окрестности этой точки где С — постоянная.

Рис. 49.

Тогда в окрестности по правилу дифференцирования сложных функций

и эта производная действительно конечна в точке

Гипотеза Чаплыгина достаточно хорошо оправдывается на опыте. По-видимому, это объясняется тем, что если точка схода не совпадает с острием, то вследствие очень больших скоростей вблизи этой точки при сколь угодно малой вязкости образуются вихри, которые и смещают точку схода к острию (подробнее мы рассмотрим это явление в гл. VII в связи с задачей обтекания тел струями). Следствием гипотезы Чаплыгина является то, что циркуляция Г перестает быть свободным параметром задачи — ее величина определяется по формуле (9), если точка известна. Значит, по формуле (7)

определится и величина результатирующей силы, которая действует на крыло:

Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах.

Заметим, однако, что проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмотрим в дальнейшем изложении.

Пространственный случай. В заключение отметим, что способ устранения парадокса нулевой подъемной силы, который был описан выше, в пространственных задачах неприменим. Рассмотрим причину этого на примере обтекания шара. В плоской задаче обтекания круга для устранения парадокса на бесциркуляционное течение мы наложили течение вида все векторы скорости которого направлены по окружности и имеют постоянную длину. В пространстве аналогичного течения нет — это вытекает из геометрической теоремы, по которой на сфере не существует непрерывного касательного векторного поля отличных от нуля векторов (ее называют теоремой о невозможности причесать ежа). Поэтому в пространственных задачах устранить парадокс описанным выше способом не удается.

Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений.