Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава V. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИВ предыдущих главах уже не раз говорилось об этих задачах в их классической постановке. Здесь мы продолжим разбор, причем наряду с классическими рассмотрим и некоторые новые задачи. § 18. Парадоксы в схеме идеальной жидкостиПарадокс подъемной силы. Напомним, что величина давления в установившемся безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется из интеграла Бернулли:
где А — некоторая постоянная,
а результирующая сила, действующая на весь контур:
(мы учитываем, что интеграл от называется лобовым сопротивлением, Преобразуем эту формулу, введя в нее комплексный потенциал
Подставим это в (2) и перейдем к комплексно сопряженным величинам: мы получим классическую формулу С. А. Чаплыгина (1910 г.):
Применим ее к простейшему случаю бесциркуляционного обтекания круглого цилиндра. Здесь комплексный потенциал равен
(где V - скорость на бесконечности), а его производная Как мы сейчас убедимся, парадокс не исчезнет, если мы будем рассматривать бесциркуляционное обтекание произвольного замкнутого контура у. В самом деле, для любого течения во внешности у производная комплексного потенциала
где Интеграл от так как имеется обтекание у, то
С другой стороны, как видно из (5),
(так как по теореме Коши интеграл не меняется при изменении контура вне у, мы можем считать, что он расположен в той области, где (5) уже действует). Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что
здесь с — произвольная постоянная. Мы видим, что в отсутствии циркуляции Условие Чаплыгина. Эти же выкладки показывают, что в случае циркуляционного обтекания произвольного замкнутого контура у в окрестности бесконечности
Подставляя это в формулу (3) и переходя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе (1904 г.)
Как мы показали в гл. III, комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра
а критические точки потока —
(переход от рассмотренного там случая
полученное представление действует во всей внешности контура, а (6) дает разложение этой функции в окрестности бесконечности. Подсчитаем число параметров, определяющих это решение задачи обтекания. Функция Однако в приложениях к авиации дело обстоит не так. Обтекаемый контур — профиль крыла самолета — здесь обычно имеет острую кромку, скажем, точку Этот парадокс проанализировал С. А. Чаплыгин. Он ввел условие, что точка 20 является точкой схода потока — как показывает простой подсчет, при этом условии скорость оказывается конечной. В самом деле, в окрестности точки
(А и В — некоторые постоянные,
Рис. 49. Тогда в окрестности
и эта производная действительно конечна в точке Гипотеза Чаплыгина достаточно хорошо оправдывается на опыте. По-видимому, это объясняется тем, что если точка схода не совпадает с острием, то вследствие очень больших скоростей вблизи этой точки при сколь угодно малой вязкости образуются вихри, которые и смещают точку схода к острию (подробнее мы рассмотрим это явление в гл. VII в связи с задачей обтекания тел струями). Следствием гипотезы Чаплыгина является то, что циркуляция Г перестает быть свободным параметром задачи — ее величина определяется по формуле (9), если точка определится и величина результатирующей силы, которая действует на крыло:
Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах. Заметим, однако, что проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмотрим в дальнейшем изложении. Пространственный случай. В заключение отметим, что способ устранения парадокса нулевой подъемной силы, который был описан выше, в пространственных задачах неприменим. Рассмотрим причину этого на примере обтекания шара. В плоской задаче обтекания круга для устранения парадокса на бесциркуляционное течение мы наложили течение вида Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений.
|
1 |
Оглавление
|