§ 21. Модель Кирхгофа и другие модели

Классические модели. Модель Кирхгофа была одной из первых попыток избежать парадоксов бесконечных скоростей и нулевого лобового сопротивления в схеме идеальной жидкости.

Рис. 55.

Рассмотрим задачу об обтекании пластинки конечной ширины, расположенной перпендикулярно направлению скорости потока в бесконечности (рис. 55). В простейшей схеме комплексный потенциал течения дает конформное отображение внешности отрезка на внешность отрезка оси и с нормировкой

Такое отображение выписывается элементарно:

В соответствии с общей теорией скорость течения обращается в бесконечность на краях пластинки, а воздействие потока на пластинку равно нулю.

Рис. 56.

Чтобы избавиться от этих противоречащих действительности эффектов, Кирхгоф предложил другую схему течения.

Именно, он предположил, что с краев пластинки происходит срыв струй, т. е. что течение заполняет не все дополнение к отрезку а лишь его часть, ограниченную кривыми , выходящими из концов отрезка; между этими кривыми образуется застойная зона (рис. 56). Кривые заранее не задаются, а находятся из того условия, что на них давление — а по интегралу Бернулли, значит, и скорость — сохраняет постоянное значение.

Рис. 57.

Эта задача также просто решается. Пусть комплексный потенциал течения; он конформно отображает область течения на плоскость с разрезом по положительной полуоси с соответствием точек, указанным на рис. 56 и 57, а. Пусть точка, в которую попадают концы отрезка — это параметр задачи, характеризующий ширину пластинки.

Введем новую переменную которая связана со скоростью течения; плоскость называют плоскостью годографа скоростей. Функции являются сопряженными гармоническими как от переменной так и от ибо конформное отображение,

На границе образа области течения в плоскости на разрезе вдоль полуоси мы знаем одну из этих функций: из физических соображений очевидно, что на участке 2—3 имеем на а на Мы пришли к так называемой смешанной граничной задаче теории гармонических функций: на части границы заданы значения искомой функции, а на остальной части границы — значения сопряженной с ней функции.

В нашем случае заданные значения постоянны и задача решается в элементарных функциях. Очевидно, что ее решение дает конформное отображение плоскости с разрезом рис. 57, а на полуполосу рис. 57, б с указанным на этом рисунке соответствием точек. Такое отображение получается в несколько шагов из стандартных отображений и мы получаем

Мы нашли скорость течения, правда, в зависимости от переменной а не от Мы могли бы подставить в (2) и решить полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными — тогда мы найдем Однако мы знаем общий характер зависимости а для качественного исследования задачи этого достаточно. Так, из (2) мы видим, что на участке 1—2 скорость падает от до 0, оставаясь положительной. На участках 2—3 и 2—3 она снова растет по модулю, но не до бесконечности, как в первой схеме, а только до величины К». Далее, согласно интегралу Бернулли при росте скорости давление падает, а минимальное давление с левой стороны пластинки, которое достигается на ее концах (и, соответствует скорости оказывается равным (постоянному) давлению с правой стороны. Таким образом, давление потока на пластинку слева больше, чем справа, — мы получаем эффект лобового сопротивления. (Пользуясь формулой (2) и формулой Чаплыгина (3) из § 18, можно подсчитать величину лобового сопротивления, но мы не будем этого делать.)

Таким образом, в схеме Кирхгофа удается избежать обоих отмеченных выше парадоксов. Поэтому понятно, что математики пытались решить в этой схеме задачу обтекания со срывом струй для возможно более широкого класса контуров. Прежде всего описанный выше метод был распространен на случай, когда контур состоит из конечного числа отрезков (см. Л. И. Седов [5]). Вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу также для широкого круга гладких дуг (см. М. А. Лаврентьев [2] и Биркгоф и Сарантонелло [4]).

Однако модель Кирхгофа имеет несколько существенных дефектов даже в простейшем случае обтекания плоской пластинки. Например, застойная зона, которая в действительности имеет конечные размеры, в схеме Кирхгофа бесконечна и для ее создания в этой схеме требуется бесконечно большая энергия.

Новые модели. В силу этого за последние 20—30 лет появилось много новых моделей, трактующих ту же задачу. Опишем сначала более старую модель, которая была предложена Рябушинским еще в начале этого столетия. Наряду с основной обтекаемой пластинкой I (рис. 58) он вводит еще равную ей по ширине фиктивную пластинку II и располагает вторую пластинку за первой на расстоянии Я от нее. Линии тока (струи) должны быть определены так, чтобы на них давление, а значит, и скорость, были постоянными. В этой схеме задача решается до конца и в том случае, когда обтекаемый контур представляет собой ломаную с прямолинейными звеньями. Теорему существования и единственности и приближенное решение задачи можно получить вариационным методом, а также методом интегральных уравнений.

Рис. 58.

В сороковые годы Эфрос предложил новую модель, в которой срывающаяся с пластинки струя у

возвращается обратно к пластинке и, проходя через нее, уходит в вдоль оси симметрии (рис. 59). Предполагается, что вдоль этой струи скорость постоянна и, кроме того, что скорости всюду в потоке меняются непрерывно. Эта модель дает хорошо согласующееся с опытом распределение давления на пластинке; наличие обратной струйки также наблюдается экспериментально. Дефектом модели является физически невозможное предположение о том, что обратная струя «отсасывается» пластинкой и после прохождения пластинки течет по уже занятому течением пространству, не смешиваясь со старым течением.

Рис. 59.

Дефект устраняется в следующей схеме (М. А. Лаврентьев, 1958), которая дает примерно такое же распределение давления на пластинке, что и схема Эфроса. В ней делается допущение, что за обтекаемой пластинкой возникают два жидких кольца которые ограничены пластинкой, отрезком оси симметрии, струями сходящими с краев пластинки, и замкнутыми линиями тока ограничивающими кольца изнутри (рис. 60). Неизвестные линии определяются из следующих условий: 1) на скорость имеет заданную постоянную величину, 2) на скорость движения в кольцах совпадает со скоростью основного потока, обтекающего пластинку, дополненную линиями . Расчет по этой схеме делается методами, о которых говорилось выше.

Рис. 60.