Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 13. Приближенные методыПри решении конкретных задач гидродинамики для всех математических моделей (от установившихся движений идеальной жидкости до неустановившихся движений сжимаемой вязкой жидкости — плоских и с осевой симметрией) все большее и большее значение приобретают приближенные решения. За последнее десятилетие в этом направлении достигнуты особенно большие успехи благодаря созданным и освоенным электронно-вычислительным машинам (ЭВМ). Для большого класса задач гидродинамики разработаны программы для численного решения этих задач на ЭВМ. Сущность метода состоит в редукции граничных задач для уравнений гидродинамики к задачам решения систем алгебраических уравнений, которые получаются, если частные производные заменить их конечноразностными приближениями, а граничные условия — условиями в конечной системе точек на границе. Создана новая область — машинная математика со своими специфическими приемами редукции «непрерывных» задач к дискретным, оценками точности, контролем в процессе счета. Для «сильно» устойчивых задач машинная математика достигла предельного успеха, однако осталось немало задач механики, где прямое применение числовых методов не приводит к нужным результатам. Особо важными оказываются проблемы устойчивости решений граничных задач для уравнений — математических моделей движений среды. Большое значение имеют также приемы грубых расчетов, которые могут дать возможность оценки характера искомого решения, а также дать количественную оценку устойчивости задачи. Приведем краткое описание некоторых приемов приближенного построения конформных отображений. Численные методы. Как мы видели, построение конформного отображения односвязной области
и аналогично
Уравнение Лапласа
Оно отражает основное свойство гармонических функций: значение и в каждом узле есть среднее арифметическое ее значений в соседних узлах. Мы можем выписать это уравнение для всех узлов Доказано, что при непрерывных заданиях и на Г эта система всегда разрешима и при Система (1) при малых А содержит большое число неизвестных. Для облегчения ее решения существует несколько приемов. Среди них укажем метод Либмана, который является методом последовательных приближений. По этому методу сначала во всех узлах задаются произвольные значения Описанный метод приближенного решения задачи Дирихле может быть распространен на линейные уравнения второго порядка как в плоском, так и в пространственном случае. Наряду с задачей Дирихле может быть также рассмотрена задача Неймана, когда на границе Г области надо оговорить условия гладкости Г, а также некоторые дополнительные условия на Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. Пусть сначала область
С той же точностью для обратного отображения
В пределах принятой точности
При
если интеграл в ней понимать в смысле главного значения. Впрочем, если учесть, что интеграл от
В том же § 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной: если область Укажем еще процесс приближенного построения конформного отображения на круг областей достаточно широкого класса, основанный на той же идее. Будем предполагать, что граница Г рассматриваемой области Фиксируем натуральное число
Если к Хотя точность этого процесса невелика, он оказывается удобным для прикидочных расчетов и построений конформных отображений на круг ограниченных областей. Описанные приемы распространяются на отображения полос. Если полоса
а обратное отображение — формулой
(см. предыдущий параграф). Последняя формула справедлива в замкнутой полосе
последний интеграл надо понимать в смысле главного значения. При помощи этих формул можно, как и выше, находить отображение на А полос, близких к таким, отображение которых известно. Можно также построить процесс для приближенного конформного отображения на Фиксируем число пив полосе
При достаточно большом Пристрелочный метод. Этот метод основан на решении так называемых некорректных граничных задач теории уравнений с частными производными. Пусть, например, требуется найти конформное отображение криволинейной полосы
которому удовлетворяет функция Мы опишем другой метод решения задачи об отображении, который основан на решении не задачи Дирихле, а задачи Коши для уравнения Лапласа, в которой на оси х задаются значения не только функции
Для описания метода заметим, что в силу условий Коши — Римана
Рис. 34. Будем также считать, что полоса
Перейдем к описанию метода пристрелки. Фиксируем натуральное число криволинейных квадратов, боковые стороны которых ортогональны к оси х, а верхние наклонены к оси х под углом а) Над
Продолжая этот процесс, Таким образом мы получим новое распределение Обобщения. Пристрелочный метод можно применять также для приближенного построения конформного отображения ограниченных двусвязных областей на круговые кольца. Пусть такая область
Рис. 35. Фиксируем натуральное число
которая представляет собой запись производной системы (12) в полярных координатах Внутренние основания этих квадратов мы сглаживаем так, чтобы получилась замкнутая кривая снова строим кольцо криволинейных квадратов (как раньше строили на Г), получаем кривую Метод применим и для построения конформного отображения на круг Важным достоинством метода пристрелки является его универсальность. С небольшими изменениями его можно применять для приближенного решения пространственных задач гидродинамики с осевой симметрией, вихревых задач, а также плоских и с осевой симметрией задач газовой динамики. Например, в случае плоских задач газовой динамики, сводящихся к квазиконформным отображениям на полосу Литература(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|