§ 13. Приближенные методы

При решении конкретных задач гидродинамики для всех математических моделей (от установившихся движений идеальной жидкости до неустановившихся движений сжимаемой вязкой жидкости — плоских и с осевой симметрией) все большее и большее значение приобретают приближенные решения. За последнее десятилетие в этом направлении достигнуты особенно большие успехи благодаря созданным и освоенным электронно-вычислительным машинам (ЭВМ).

Для большого класса задач гидродинамики разработаны программы для численного решения этих задач на ЭВМ. Сущность метода состоит в редукции граничных задач для уравнений гидродинамики к задачам решения систем алгебраических уравнений, которые получаются, если частные производные заменить их конечноразностными приближениями, а граничные условия — условиями

в конечной системе точек на границе. Создана новая область — машинная математика со своими специфическими приемами редукции «непрерывных» задач к дискретным, оценками точности, контролем в процессе счета. Для «сильно» устойчивых задач машинная математика достигла предельного успеха, однако осталось немало задач механики, где прямое применение числовых методов не приводит к нужным результатам.

Особо важными оказываются проблемы устойчивости решений граничных задач для уравнений — математических моделей движений среды. Большое значение имеют также приемы грубых расчетов, которые могут дать возможность оценки характера искомого решения, а также дать количественную оценку устойчивости задачи.

Приведем краткое описание некоторых приемов приближенного построения конформных отображений.

Численные методы. Как мы видели, построение конформного отображения односвязной области на канонические области сводится к задаче Дирихле. Поэтому мы остановимся на решении последней задачи: требуется определить гармоническую в функцию принимающую на границе Г области заданные значения. Разностный метод решения этой задачи состоит в следующем. В плоскости строим сетку квадратов с шагом h и со сторонами, параллельными осям координат. Пусть - один из узлов нашей сетки. Теперь положим в точке

и аналогично

Уравнение Лапласа приближенно заменится разностным уравнением

Оно отражает основное свойство гармонических функций: значение и в каждом узле есть среднее арифметическое ее значений в соседних узлах. Мы можем выписать это уравнение для всех узлов расположенных внутри области Для узлов, расположенных от Г на расстоянии, меньшем А, мы можем считать значение известным, приравняв его заданному значению и в точке Г, ближайшей к эгому узлу. Таким образом, для определения мы получим систему линейных уравнений.

Доказано, что при непрерывных заданиях и на Г эта система всегда разрешима и при величина стремится к соответствующему значению искомой функции.

Система (1) при малых А содержит большое число неизвестных. Для облегчения ее решения существует несколько приемов. Среди них укажем метод Либмана, который является методом последовательных приближений. По этому методу сначала во всех узлах задаются произвольные значения Затем последовательно обходятся все узлы, и в каждом из них значения исправляются по формуле (1) через заданные (или уже исправленные) значения в соседних узлах. Этот процесс последовательных исправлений можно облегчить, если изготовить специальные шаблоны с окошечками, в которых видны только нужные значения и. При довольно широких условиях на кривую Г и граничные данные доказано, что при неограниченном повторении обхода узлов с исправлением значений каждая величина будет стремиться к решению системы (1) при фиксированном А.

Описанный метод приближенного решения задачи Дирихле может быть распространен на линейные уравнения второго порядка как в плоском, так и в пространственном случае. Наряду с задачей Дирихле может быть также рассмотрена задача Неймана, когда на границе Г области задана нормальная производная или вообще некоторая линейная комбинация Заметим, что в этих постановках

надо оговорить условия гладкости Г, а также некоторые дополнительные условия на

Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг.

Пусть сначала область близка к кругу в том смысле, что в полярном уравнении ее границы Г функция вместе с двумя производными не превосходит малое число Как показано в предыдущем рараграфе, приближенное с точностью до выражение для конформного отображения этой области на единичный круг с нормировкой имеет вид

С той же точностью для обратного отображения круга на область имеем

В пределах принятой точности можно заменить на и тогда, отделяя в (3) действительные и мнимые части, получим полезные формулы, которые связывают полярные координаты соответствующих друг другу точек

При эти формулы дают параметрические представления линий уровня прообразов окружностей Вторая из них применима и при

если интеграл в ней понимать в смысле главного значения. Впрочем, если учесть, что интеграл от по отрезку в том же смысле равен нулю, то последнюю формулу можно переписать так, чтобы в ней стоял обычный интеграл:

В том же § 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной: если область близка к в смысле близости второго порядка и конформное отображение на единичный круг с нормировкой то область близка к кругу, ее отображение на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция будет отображать на круг.

Укажем еще процесс приближенного построения конформного отображения на круг областей достаточно широкого класса, основанный на той же идее. Будем предполагать, что граница Г рассматриваемой области задается полярным уравнением где функция ограничена: имеет две непрерывные производные.

Фиксируем натуральное число и построим кривых

Если достаточно велико, то кривая близка к окружности и по формуле (2) мы сможем построить приближенное конформное отображение ее внутренности на круг Кривая близк

к и описанным выше приемом можно построить отображение ее внутренности на круг. Поступая так же и дальше, мы через шагов получим приближенное конформное отображение на круг заданной области

Хотя точность этого процесса невелика, он оказывается удобным для прикидочных расчетов и построений конформных отображений на круг ограниченных областей.

Описанные приемы распространяются на отображения полос. Если полоса близка к прямолинейной полосе в смысле близости второго порядка, то ее конформное отображение на полосу приближенно выражается формулой

а обратное отображение — формулой

(см. предыдущий параграф). Последняя формула справедлива в замкнутой полосе и полагая в ней мы найдем соответствие точек прямых и границ полосы

последний интеграл надо понимать в смысле главного значения.

При помощи этих формул можно, как и выше, находить отображение на А полос, близких к таким, отображение которых известно. Можно также построить процесс для приближенного конформного отображения

на полос достаточно широкого класса, для которых также непрерывны и ограничены.

Фиксируем число пив полосе построим кривых

При достаточно большом кривая близка к прямой и для отображения полосы на А можно воспользоваться формулой (7). Функция преобразует кривую в кривую, близкую к прямой и значит, мы можем найти отображение полосы на А. Продолжая процесс, через шагов мы получим приближенное конформное отображение заданной полосы на А.

Пристрелочный метод. Этот метод основан на решении так называемых некорректных граничных задач теории уравнений с частными производными. Пусть, например, требуется найти конформное отображение криволинейной полосы на прямолинейную полосу Мы видим, что эта задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа

которому удовлетворяет функция Уравнение Лапласа — эллиптического типа, и задача Дирихле является для него корректной граничной задачей (ее решение существует, единственно и устойчиво, т. е. непрерывно изменяется при изменении граничных данных).

Мы опишем другой метод решения задачи об отображении, который основан на решении не задачи Дирихле, а задачи Коши для уравнения Лапласа, в которой на оси х задаются значения не только функции но и производной Хотя эта задача является некорректной (она корректна для уравнений гиперболического типа, например, уравнения колебаний струны

все же метод, на ней основанный, оказывается полезным для приложений.

Для описания метода заметим, что в силу условий Коши — Римана можно считать, что на оси х заданы значения растяжения или обратной к нему величины — характеристики Напомним еще, что в случае конформных отображений характеристики и а связаны соотношениями

производную систему (14) § 11).

Рис. 34.

Будем также считать, что полоса асимптотически близка к единичной, т. е. существуют постоянные такие, что для всех х

Перейдем к описанию метода пристрелки. Фиксируем натуральное число и представим себе, что полоса А покрыта сетью квадратов со стороной Задача приближенного построения конформного отображения на А с нормировкой сводится к построению в сети криволинейных квадратов, которая покрывает не выходит за ее пределы и при больших близка к сети прямолинейных квадратов со стороной h. Зададимся положительными величинами и покроем ось х отрезками длины так, чтобы соседние имели общие концы (рис. 34). Эти отрезки мы примем за основания

криволинейных квадратов, боковые стороны которых ортогональны к оси х, а верхние наклонены к оси х под углом а) мы использовали разностный аналог второго уравнения (11). Верхние стороны этих квадратов мы сгладим так, чтобы они образовали плавную линию при больших близкую к прямой

Над построим вторую полосу криволинейных квадратов, боковые стороны которых ортогональны к а верхние имеют длины и наклонены к оси х под углом где

мы использовали разностный аналог уравнений (11). Верхние стороны квадратов снова сгладим и получим линию при больших близкую к прямой

Продолжая этот процесс, шагов мы получим линию и сеть криволинейных квадратов, которая при больших почти точно покрывает соответствующую часть области В конечной части некоторые участки линии в общем случае окажутся выше границы Г области а некоторые ниже этой границы. Если квадрат с верхней стороной оказался выше Г, то мы уменьшим соответствующую величину а если ниже — то увеличим; изменение будем делать пропорционально отклонению верхней стороны квадрата от линии Г.

Таким образом мы получим новое распределение характеристик и, отправляясь от него, повторим описанный процесс. Он даст новую линию (более близкую к Г, чем по которой можно снова ввести поправки к распределению характеристик и т. д. Можно организовать процесс так, чтобы верхние квадраты с данным номером были попеременно то выше, то ниже линии Г, поэтому метод и называется пристрелочным. При плавных границах Г за несколько приемов можно получить достаточно хорошее приближение к искомому конформному отображению (см. рис. 34),

Обобщения. Пристрелочный метод можно применять также для приближенного построения конформного отображения ограниченных двусвязных областей на круговые кольца. Пусть такая область ограничена двумя гладкими кривыми (внутренняя граница) и Г (внешняя) и требуется найти ее конформное отображение на кольцо Число не задается, а должно быть определено в процессе решения задачи (см. Л. и Ш., стр. 160); мы можем задать еще точку соответствующую точке

Рис. 35.

Фиксируем натуральное число и на окружности построим криволинейных квадратов, внешние основания которых равны — (рис. 35). Зададимся положительными величинами и на Г построим криволинейных квадратов, внешние основания которых равны боковые стороны ортогональны к Г, а внутренние основания подсчитываются при помощи разностных аналогов системы

которая представляет собой запись производной системы (12) в полярных координатах на плоскости (см. Л. и Ш., стр. 25).

Внутренние основания этих квадратов мы сглаживаем так, чтобы получилась замкнутая кривая На

снова строим кольцо криволинейных квадратов (как раньше строили на Г), получаем кривую и продолжаем построение. Через шагов кривая будет пересекаться с внутренней границей области Тогда мы выберем новое распределение величин уменьшая их, если соответствующий квадрат попал внутрь и увеличивая в противоположном случае. По этому распределению снова строим сеть криволинейных квадратов, затем еще раз исправляем распределение этом можно также уменьшать шаг строим новую сеть и т. д. При достаточно большом повторяя процесс достаточное число раз, можно получить хорошее приближение искомого конформного отображения.

Метод применим и для построения конформного отображения на круг односвязных ограниченных областей Здесь нужно, кромгочки соответствующей задаться еще точкой, соответствующей и организовать процесс так, чтобы боковые стороны квадратов сходились в одну точку Последнее можно заменить условием, что на предпоследнем шагу кривая сглаживающая внутренние основания квадратов, близка к окружности малого радиуса с центром в точке

Важным достоинством метода пристрелки является его универсальность. С небольшими изменениями его можно применять для приближенного решения пространственных задач гидродинамики с осевой симметрией, вихревых задач, а также плоских и с осевой симметрией задач газовой динамики.

Например, в случае плоских задач газовой динамики, сводящихся к квазиконформным отображениям на полосу изменение описанного выше процесса состоит лишь в том, что вместо квадратов строятся прямоугольники со сторонами а система (14) заменяется более общей системой (14) из предыдущего параграфа.

Литература

(см. скан)

(см. скан)