56. Сходимость в среднем.

Мы введем сейчас новое понятие сходимости в классе .

Определение. Говорят, что последовательность функций из сходится в среднем к функции из или просто сходится в к функции если

Отметим, прежде всего, что если мы заменим эквивалентной ей функцией то интеграл, входящий в формулу (70), не изменится, и функция будет также пределом в среднем для . В дальнейшем мы будет отождествлять эквивалентные функции, т. е. будем считать эквивалентные функции, принадлежащие за одну и ту же функцию. Докажем теперь единственность предела, т. е. докажем следующую теорему:

Теорема 5. Если последовательность из сходится в к двум функциям то эти функции эквивалентны.

Напишем очевидную формулу

и применим к правой части неравенство (69)

При правая часть стремится к нулю, а левая не зависит от и, следовательно, имеем

В силу свойства 8 из [52], отсюда следует, что разность эквивалентна нулю, и тем самым функции эквивалентны. Доказанная теорема устанавливает единственность предела в но, конечно, не всякая последовательность функций имеет предел в среднем. Отметим, что из сходимости почти везде не следует сходимость в среднем и из сходимости в среднем следует сходимость почти везде. Докажем в связи с этим теорему.

Теорема 6. Если последовательность из стремится к в среднем на , то из нее можно выделить подпоследовательность которая сходится почти везде к на

Из (70) следует, в силу свойства 10 из [51], что по мере на , и теорема 6 есть следствие теоремы 7 из [44].

Следствие. Если стремится в среднем к и стремится почти везде на к то эквивалентны на . Если почти везде, то тем более почти везде. Но, как мы видели, почти везде, откуда и следует, что эквивалентны.

Для сходимости в среднем можно установить необходимое и достаточное условие, аналогичное условию Коши существования предела для числовых последовательностей [I; 36]. Предварительно введем новое определение.

Определение. Говорят, что последовательность функций из сходится в среднем в себе, если для любого заданного положительного существует такое N, что

Теорема 7. Для того чтобы последовательность сходилась в среднем к некоторой функции из необходимо, чтобы она сходилась в среднем в себе.

Дано, что последовательность сходится в среднем к некоторой функции Представим разность в виде

и применим неравенство (69).

Пусть — заданное положительное число. В силу сходимости в среднем к существует такое что при интегралы, стоящие под радикалами в правой части последнего неравенства, При этом последнее неравенство приводит непосредственно к неравенству (71), и теорема доказана. Докажем теперь обратную теорему.

Теорема 8. Для того чтобы последовательность сходилась в среднем к некоторой функции, достаточно, чтобы она сходилась в среднем в себе.

Дано, что сходится в себе, и надо доказать, что она сходится в среднем к некоторой функции. В силу сходимости в себе, существует такая возрастающая последовательность значков что

Применяя неравенство (67) в случае получим

или, в силу предыдущего неравенства,

Отсюда следует сходимость ряда

и, в силу теоремы 3 из [54], ряд

сходится почти везде на g. Тем более, почти везде сходится ряд

сумма первых членов которого равна т. е. почти везде на

последовательность

стремится к некоторой функции с конечными значениями. Мы покажем, что и что сходятся в среднем к . В силу того, что последовательность сходится в себе, для любого заданного положительного существует такое N, что

Устремляя в этом неравенстве к бесконечности и пользуясь теоремой 4 из [54], получим

Отсюда следует, между прочим, что разность Но также принадлежит . Складывая получим, в силу теоремы 2, что и Неравенство (72) показывает, наконец, что в среднем стремится к Последние две теоремы приводят к следующему утверждению: сходимость последовательности в среднем в себе является необходимым и достаточным условием того, что эта последовательность сходится в среднем к некоторой функции.

Теорема 9. Если в среднем, то

Вводя для любых функций из обозначение можем записать неравенство Буняковского в виде

Положим теперь

По условию Составим разность

откуда

Правая часть стремится к нулю при , откуда что и требовалось доказать.