5. Теорема Коши.

В дальнейшем мы постоянно будем иметь дело с функциями, регулярными в некоторых областях. Границей области может быть весьма сложное множество. Мы в дальнейшем будем предполагать, если не оговорено особо, что граница области состоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых, гладких или кусочно гладких [4]. Определим точно понятие простой замкнутой кривой. Пусть замкнутой кривой I соответствует параметрическое представление при котором параметр t меняется на промежутке причем Кривая называется простой, если ни для какой пары различных значений (кроме концов ) точки и не совпадают. В некоторых случаях, которые будут оговариваться особо, замкнутая кривая может вырождаться в точку. Например, если область есть круг с исключенной точкой граница состоит из окружности и точки

Поставим теперь основной вопрос о том, при каких условиях контурный интеграл (16) не зависит от пути. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы оба криволинейных интеграла, стоящих в правой части и дающих вещественную и мнимую части контурного интеграла, не зависели от пути. Применяя указанный в [II, 74] критерий независимости криволинейного интеграла от пути, приходим к уравнениям

а это суть в точности условия (12) из [2]. Итак, окончательно, условие независимости контурного интеграла от пути совпадает с условием регулярности f(z). Это является основным фактом интегрального исчисления теории функций комплексного переменного.

Отметим, что при выводе условий независимости криволинейного интеграла от пути мы пользовались формулой

При выводе этой формулы мы предполагали непрерывность не только самих функций но и их частных производных, поскольку они входят под знак двойного интеграла. В данном случае это будет иметь место, так как для регулярной функции функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка. В дальнейшем мы будем применять интегрирование и по самому контуру области В. Это будет вполне законным, если предположить, что регулярна в замкнутой области В. Мы понимаем под этим, что регулярна в несколько более широкой области, содержащей область В вместе с ее контуром внутри себя, т. е. называется регулярной в замкнутой области В, если она регулярна внутри некоторой области, содержащей В вместе с ее контуром внутри себя.

Для более подробного исследования вопроса необходимо принять во внимание вид области, в которой функция регулярна, а именно существенную роль играет здесь, так же как и при исследовании вещественных контурных интегралов, то обстоятельство, является ли область односвязной или многосвязной. Напомним относящиеся сюда основные определения и сформулируем результаты, которые совершенно аналогичны соответствующим результатам для вещественных контурных интегралов

Если ограниченная область плоскости z имеет контуром одну замкнутую кривую (иначе говоря, область не имеет дыр), то область называется односвязной.

Если при этом регулярная функция в такой области и некоторая точка этой области, то интеграл

{через обозначена переменная интегрирования), взятый по любой кривой внутри этой области, не зависит от пути и дает однозначную функцию своего верхнего предела z. При этом, конечно, величина интеграла по любому замкнутому контуру внутри области будет равна нулю. Если наша функция регулярна в замкнутой области, то мы можем интегрировать и по самому контуру области и результатом интегрирования будет нуль.

Положим теперь, что наша область В многосвязна и ограничена одним замкнутым внешним контуром и несколькими замкнутыми внутренними контурами. Положим для определенности, что имеется лишь один внутренний контур [область двусвязна (рис. 4)].

Проведем в нашей области разрез X, соединяющий внешний контур с внутренним.

Рис. 4.

Таким образом разрезанная область будет уже односвязной, и выражение (20) будет давать однозначную функцию от в

Если предположить, что регулярна в замкнутой области, то можно интегрировать и по самому контуру области. Мы можем при этом утверждать, что интеграл по всему контуру односвязной области должен равняться нулю. При этом, как указано на рисунке, нам придется интегрировать по внешнему контуру против часовой стрелки, по внутреннему контуру — по часовой стрелке и по разрезу X — два раза в противоположных направлениях. Интегралы по разрезу взаимно уничтожатся, и мы будем, следовательно, иметь

где внешний контур, — внутренний и стрелками обозначено направление интегрирования. Как непосредственно следует из чертежа, это направление для обоих контуров можно определить из одного и того же условия, а именно из того условия, что при обходе контура область остается слева. Такое направление назовем положительным относительно области. Пользуясь равенством (21), можем сказать, что и для случая многосвязной области интеграл по контуру будет равняться нулю, если интегрировать везде в положительном относительно области направлении.

Если изменить направление интегрирования по внутреннему контуру, то вместо формулы (21) мы можем написать

т. е. интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (здесь только один), если согласиться интегрировать по всем контурам против часовой стрелки.

Полученные нами результаты составляют основную для теории функций комплексного переменного теорему, которая называется обычно теоремой Коши. Мы ее формулируем несколькими различными способами.

Теорема Коши I. Если функция регулярна в замкнутой односвязной области, то интеграл от нее по контуру этой области равен нулю.

Теорема Коши II. Если функция регулярна в замкнутой многосвязной области, то интеграл от нее по всему контуру этой области в положительном направлении равен нулю.

Теорема Коши III. Если функция регулярна в замкнутой многосвязной области, то интеграл от нее по внешнему контуру равен сумме интегралов по всем внутренним контурам при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки.

Выясним одно практически важное следствие теоремы Коши. Пусть два разных контура имеют одни и те же концы А и В. Положим, что V можно непрерывной деформацией перевести в не покидая области, где регулярна, и сохраняя неизменными концы А и В. Из теоремы Коши непосредственно вытекает, что при этом величина интеграла от не будет меняться, т. е. если некоторый контур при закрепленных концах непрерывно деформируется и при этом не выходит из области регулярности функции то при такой деформации величина интеграла от функции по контуру не меняется. То же самое имеет место и при деформировании замкнутого контура, если при этом он все время остается замкнутым.

В заключение сделаем одно замечание, имеющее принципиальное значение. При выводе теоремы Коши мы пользовались, как указывалось, не только существованием, но и непрерывностью производной Эта непрерывность входит в определение регулярной функции. Применяя другой метод доказательства, можно доказать теорему Коши, пользуясь только существованием но не ее непрерывностью. Но в дальнейшем мы увидим, что из теоремы Коши вытекает, что имеет производные всех порядков, откуда сразу следует, что непрерывна.

Таким образом, второе доказательство теоремы Коши, которое мы не приводим, имеет то принципиально важное значение, что оно не пользуется непрерывностью но из него, как следствие, вытекает, что из наличия производной следует и ее непрерывность.

В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем всегда считать, что при интегрировании по замкнутому контуру направление обхода берется против часовой стрелки.