1.6. Вероятности спонтанных и вынужденных переходов

Рассмотрим простейшую энергетическую систему, состоящую из двух уровней Если система находится в равновесии, то могут существовать три типа переходов (рис. 1.6).

Резонансное поглощение фотона сопровождается переходом атома на более высокий энергетический уровень.

Рис. 1.6. Типы квантовых переходов: а — резонансное поглощение; б — спонтанное излучение; в — вынужденное излучение.

По закону сохранения энергии энергия поля при этом уменьшается: а энергия атома возрастает причем Этот процесс происходит с вероятностью перехода отдельного атома в единицу времени (коэффициент Эйнштейна). Тогда вероятность поглощения фотона за время при средней плотности энергии , составит

т. e. она соответствует изменению населенности уровня

Спонтанное излучение происходит при самопроизвольном переходе атома с более высокого уровня на более низкий т. е. без воздействия внешнего поля излучения. При этом энергия атома уменьшается: а энергия поля возрастает:

Если вероятность перехода между уровнями в единицу времени обозначим (коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения), то число переходов в системе за время составит

отсюда

где — начальное число атомов на уровне 2 при

Тогда мощность спонтанного излучения может быть вычислена по формуле

т. е. спонтанно излученная в единицу времени энергия убывает со временем по экспоненциальному закону.

Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии обратно пропорционально вероятности перехода: Обычно Отсюда

Таким образом, среднее время жизни атома в возбужденном состоянии численно равно времени затухания спонтанного излучения и может быть определено экспериментально.

Поскольку акты спонтанного излучения различных атомов не связаны во времени, то спонтанное излучение некогерентно. Примерами спонтанного излучения являются свечение нагретых тел и люминесценция.

Вынужденное индуцированное излучение происходит в результате перехода, вызванного действием внешнего поля. Если на систему воздействует электромагнитное поле, то в системе кроме спонтанных переходов имеют место и вынужденные переходы, вызванные электромагнитным излучением соответствующей резонансной частоты. При этом, поскольку вынужденные переходы происходят одновременно, и испускаемое излучение по частоте соответствует поглощенному кванту, то вынужденное излучение когерентно.

Полная вероятность того, что атомная система за единицу времени перейдет с уровня 2 на уровень 1, равна сумме вероятностей спонтанного и вынужденного излучений, т. е.

где

Отсюда

Таким образом, при воздействии внешнего электромагнитного поля суммарное излучение состоит из спонтанного и вынужденного; причем когерентным является только вынужденное излучение.

Поэтому соотношение вынужденного и спонтанного излучений в общем суммарном излучении, пропорциональное соотношению вероятностных коэффициентов Эйнштейна, является важной котпчественной характеристикой излучения.

При равновесии состояний 1 и 2 имеем равные числа переходов или Тогда

С другой стороны, по закону Больцмана

Решая оба выражения относительно плотности энергии, получаем

Ветчину можно определить по формуле Планка.

Поскольку при температурах, близких к бесконечно большим величинам спектральная плотность излучения должна неограниченно возрастать, то, полагая знаменатель в выражении (1.46) равным нулю, имеем первое соотношение коэффициентов Эйнштейна:

Сопоставляя выражение (1.46) с формулой Планка, находим второе соотношение коэффициентов Эйнштейна:

Исследуем эти соотношения. Соотношение можно представить как

т. е. соотношение вероятностей вынужденного излучения и поглощения обратно пропорционально соотношению степеней вырождения соответствующих уровней.

Соотношение (1.48) имеет представленный вид только для среды с показателем преломления Поскольку для большинства твердых тел то в формуле (1.48) необходимо заменить скорость света в вакууме с на скорость света в данной среде

Тогда

где коэффициент представляет собой число возможных видов колебаний (мод) в единице объема.

Пользуясь этими соотношениями коэффициентов Эйнштейна и имея возможность вычислить их из экспериментально определенного времени жизнн атомов в возбужденном состоянии (1.41), мы можем рассмотреть закономерности распространения света в веществе в любом конкретном случае. Эти соотношения дают количественную характеристику излучения и являются основой теорнн оптических квантовых генераторов.