§ 2. Билинейные формы

1. Скалярная функция двух векторных аргументов и у называется билинейной функцией, или билинейной формой, если она линейна по каждому своему аргументу, т. е. если

Приведем три примера билинейных форм.

а) Скалярное произведение векторов х и у является билинейной формой, так как оно обладает всеми перечисленными выше свойствами.

б) Пусть а — постоянный вектор, и у — переменные векторы. Смешанное произведение как легко проверить, также является билинейной формой.

а) Пусть — линейные формы переменных векторов х и у. Их произведение является билинейной формой, так как

и аналогично для второго аргумента.

2. Отнесем теперь линейное пространство к прямоугольной декартовой системе координат с базисом и найдем выражение билинейной формы в этой системе координат. Мы имеем в ней

и так как функция линейна относительно обоих своих переменных, то

Обозначим значения билинейной формы от базисных векторов через

Билииейная форма теперь запишется в виде

или, подробнее,

Это выражение линейно относительно двух рядов переменных

Коэффициенты билинейной формы могут быть записаны в виде таблицы

которая, как мы знаем (гл. I, стр. 33), называется квадратной матрицей третьего порядка. Будем называть эту матрицу матрицей билинейной формы

Таким образом, в пространстве 1.3 билинейной форме соответствует в каждом базисе определенная матрица третьего порядка.

Посмотрим, как запишутся в координатной форме рассмотренные выше билинейные формы, и найдем их матрицы.

а) Билииейная форма в ортонормированном базисе записывается в виде

Следовательно, ее матрица выглядит так:

б) Рассмотрим билинейную форму Вспомнив, как выражается смешанное произведение векторов в координатной форме (гл. I, стр. 29), получим

(здесь, по сравнению со стр. 29, изменено обозначение индексов суммирования). Поэтому матрица коэффициентов этой формы имеет вид

в) В ортонормированном базисе линейные формы можно (см. § 1) записать в виде

Билинейная форма теперь имеет вид

Матрица этой билинейной формы будет выглядеть так:

3. Рассмотрим, как преобразуются коэффициенты билинейной формы при преобразовании базиса. В новом базисе эта билинейная форма запишется в виде

где

Но при переходе к новому базису

Поэтому, используя основные свойства билинейной формы, получим

Следовательно, при переходе к новому базису коэффициенты билинейной формы преобразуются по закону

Сравнивая эти формулы с формулами преобразования коэффициентов линейной формы, мы видим, что обе эти группы формул устроены аналогичным образом.

Докажем теперь обратное: если элементы матрицы А при преобразовании базиса пространства преобразуются по закону (1), то этой матрице отвечает билинейная форма.

Пусть — два базиса в пространстве и у — два его произвольных вектора. Тогда

Рассмотрим билинейное выражение Чтобы доказать, что это выражение действительно является билинейной формой в пространстве следует доказать, что оно не меняется при преобразовании базиса, т. е. что его величина зависит только от выбора векторов х и у, но не зависит от выбора базиса. После преобразования базиса это выражение перейдет в выражение Следовательно, мы должны доказать, что . В самом деле, из соотношений (1) и (7) § 6 гл. I следует, что

Но в силу свойств ортогональной матрицы (см. формулы (6) на стр. 34)

Поэтому

Но

вследствие чего

что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)