§ 5. Умножение линейных преобразований и умножение матриц

1. Пусть пространстве задано дна линейных преобразования А и В. Возьмем произвольный нектор х пространства и подвергнем его преобразованию А. Он перейдет этом в нектор Подвергнем нектор у преобразованию В. Получим третий вектор Вектор можно рассматривать как вектор-функцию векторного аргумента

Легко видеть, что функция С будет линейным преобразованием, так как

Линейное преобразование С называется произведением линейных преобразований А и В:

В этом произведении сомножители пишутся справа налево в том порядке, в каком производятся соответствующие преобразования.

Отметим основные свойства умножения линейных преобразований:

а) Произведение линейных преобразований обладает сочетательным свойством:

В самом деле, пусть — произвольный вектор. Тогда

б) Умножение любого преобразования на тождественное не меняет этого преобразования:

Действительно,

Таким образом, при умножении линейных преобразований тождественное преобразование играет роль единицы.

в) Умножение линейных преобразований не коммутативно, т. е., вообще говоря,

Покажем на примере справедливость этого неравенства. Пусть преобразование А — поворот плоскости на 90° вокруг точки О, а преобразование В — проектирование векторов этой плоскости на ось их — произвольный вектор. Тогда легко видеть (рис. 12), что вектор направлен по оси а вектор — по оси Позтому

и, следовательно,

Рис. 12.

Преобразования, для которых выполняется равенство называются перестановочными. Например, мы уже видели, что

Точно так же, если преобразование А представляет собой геометрическое растяжение плоскости вдоль оси геометрическое растяжение вдоль оси то снова

В самом деле, если то

и

2. Пусть теперь и пространсчне задан базис Линейным преобразованием А и В в этом базисе

соответсгвуют матрицы А и В, а преобразованию матрица С. Эта матрица называется произведением матриц В и . Найдем, как выражаются элементы матрицы С через элементы матриц В и А.

Пусть Тогда в базисе линейное преобразование записывается в виде

а линейное преобразование в виде

Линейное преобразование получим, исключая из этих соотношений

Следевательно, элементами матрицы С будут величины

Отсюда видно, что величины представляют собой компоненты тензора второй валентности, который получается при свертывании тензоров по индексу Запишем подробнее элементы матрицы С:

Так как

то можно заметить, что элемент матрицы С получается путем умножения элементов строки матрицы В на соответствующие элементы столбца матрицы сложения полученных произведений.

Подобным же путем можно определить умножение квадратных матриц любого порядка. Например, для матриц второго порядка оно будет выглядеть так:

Отмеченные выше основные свойства умножения линейных преобразований автоматически переносятся на умножение

матриц. Матрица тождественного преобразования играет в этом умножении роль единицы, поэтому-то она и называется единичной матрицей. Умножение матриц, как и умножение преобразований, нообгце говоря, не является перестановочным. Подтвердим этот факт следующим числовым примером:

Найдем линейное преобразование, сопряженное произведению линейных преобразований А и В. Это преобразование определяется билинейной формой

Но . Поэтому

Отсюда следует, что

Так как это соотношение должно выполняться для любых х и у, то

Аналогичное соотношение имеет место и для матриц.

3. Докажем теперь следующее важное предложение:

При умножении матриц их определители перемножаются.

Пусть А и В — произвольные квадратные матрицы третьего порядка. В прямоугольном базисе им будут соответствовать линейные преобразования А и В. Произведение этих матриц соответствует линейному преобразованию Рассмотрим произвольный параллелепипед, образованный векторами и обозначим ориентированный объем через При преобразовании А векторы перейдут в векторы образующие параллелепипед, объем которого . А векторы

при преобразовании В перейдут в векторы образующие параллелепипед с объемом . Но, с другой стороны, и поэтому Следовательно, что и требовалось доказать.

Эта теорема может быть доказана и чпето алгебраически, если воспользоваться хорошо нзпестпымп свойствами определителей. Проведем доказательство для матриц второго порядка. Пусть

Тогда

Первый и четвертый из этих определителей равны нулю, так как их столбцы прош рцнональпы. Следовательно,

Доказанное предложение называют также теоремой об умножении определителей. Из этой теоремы следует, что Кроме того, ясно, что если хотя бы одно из преобразований А или В вырожденное, то вырожденным будет и их произведение.

4. Умножение матриц, определенное в этом параграфе, дает возможность записать в новом виде формулы преобразования компонент матрицы линейного оператора А при переходе к новому базису. Как мы уже видели, матрица

линейного преобразования А представляет собой тензор второй валентности. При переходе от ортонормироваппого базиса к ортопормированному базису определяемому уравнениями

компоненты такого тензора, как было показано в гл. II (стр. 57), преобразуются по формулам

здесь — компоненты ортогональной матрицы определяющей преобразование базиса. Но для ортогональной матрицы Г справедливы соотношения

где — элементы матрицы Г определяющей переход от нового базиса к старому. В силу этих соотношений формулы (1) могут быть переписаны в виде

Рассмотрим теперь правую часть последних формул, легко видеть, что она представляет собой результат умножения матриц Г, А и Если через А обозначить матрицу линейного преобразования А в новом базисе то можно переписать эти формулы в виде

Такая запись формулы преобразования матрицы линейного оператора при переходе к новому базису оказывается очень удобной.

Докажем, пользуясь этой записью, что определитель матрицы линейного преобразования не меняется при переходе к новому . В самом деле, из теоремы об умножении определителей и равенства (2) следует, что

Но

Поэтому

Это равенство показывает, что определитель линейного

преобразования является инвариантом, и поэтому он должен иметь определенный геометрический смысл. И действительно, выше (§ 3) мы видели, что определитель линейного преобразования ранен коэффициенту искажения объемов при этом преобразовании.

Заметим, что матрица определяющая переход от базиса к новому базису не является тензором, так как ее индексы и относятся к различным системам координат, и она не определяет билииейной формы в пространств

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)