Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Тензоры напряжений и деформации1. Рассмотрим однородное тело, находящееся пол воздействием внешних сил. На элемент объема этого тела действуют силы двух типов. К первому типу относятся силы, величина которых пропорциональна объему элемента. Такие силы называются объемными. К ним, например, относятся сила тяжести, силы притяжения, центробежные силы и т. д. Ко второму типу относятся силы, действующие на поверхность элемента со стороны окружающих его частей тела и пропорциональные площади поверхности элемента. Такая сила, отнесенная к единице площади, называется напряжением. Мы будем рассматривать однородное напряжение, считая, что его действие на поверхность элемента определенной формы и ориентации не зависит от положения этого элемента и теле. Будем считать, кроме того, что тело под действием указанных выше сил находится в статическом равновесии. Пусть М — произвольная точка рассматриваемого однородного тела и
Рис. 15. Сила
где
Так как мы рассматриваем однородное напряжение, то эта функция будет одинаковой во всех точках тела. Оказывается, эта функция а будет линейной вектор-функцией аргумента Рассмотрим, далее, ортогональную систему координат с началом в точке М и базисными векторами (рис. 16). Рассмотрим, какие силы действуют на элемент объема нашего тела, заключенного внутри тетраэдра. На него, во-первых, действует объемная сила
Рис. 16. Первое слагаемое этой суммы имеет более высокий порядок малости, чем остальные. Поэтому им можно пренебречь и написать предыдущее равенство в виде
Но легко проверить, что
где
Запишем разложение некторов
Подставляя эти разложения в предыдущее равенство и приравнивая коэффициенты при линейно независимых векторах
Это равенство доказывает наше утверждение: напряжение
Рис. 17. 2. Докажем теперь, что тензор напряжений
Вычисляя входящие сюда векторные произведения по известным формулам (стр. 27), получим
Но так как выделенный кубик находится в статическом равновесии, то
Диагональные компоненты Тензор папряжеиий
при помощи ортогонального преобразования. При этом сдвиговые компоненты тензора Уравнение характеристической поверхности тензора напряжений записывается в виде
Эта поверхность называется поверхностью напряжений. Если принять за базисные главные направления тензора о, то уравнение этой поверхности примет вид
Так как числа Отметим еще некоторые частные формы тензора напряжений. Будем считать при этом, что за базисные направления а) Линейное напряженное состояние (одноосное напряжение) характеризуется тензором
Такое строение тензор напряжений имеет, например, в длинном однородном вертикальном стержне, к концу которого подвешен груз. б) Плоское напряженное состояние (двуосное напряжение) характеризуется тензором
Частным случаем плоского напряженного состояния является чистый сдвиг, при котором тензор напряжений имеет вид
Путем поворота базиса на 45° вокруг вектора
в) Объемное напряженное состояние (трехосное напряжение) - наиболее общая система напряжений с тремя отличными от нуля главными напряжениями. Его частным случаем является гидростатическое сжатие, при котором тензор
где 3. Предположим, что тело подвергается однородной малой деформации. В результате этой деформации точка М тела с радиусом-вектором х переходит в точку
где вектор и, определяющий перемещение точки М, зависит от вектора
Рис. 18. Она перейдет в точку М с радиусом-вектором
где
где
Вектор
Покажем, что зависимость вектора Итак, пусть
Тогда
Складывая эти равенства, получим
Но
что совпадает с первым условием, которому удовлетворяет линейная вектор-функция. Для доказательства выполнения второго ее свойства заметим, что из предыдущего равенства следует, что
при целом а. Далее, если
откуда
Сопоставляя предыдущие равенства, получим
т. е. второе условие, определяющее линейную вектор-функцию, выполняется для рациональных множителей
Таким образом, мы доказали, что при однородной деформации вектор
где
Так так деформация предполагается малой, то компоненты тензора Тензор
Так как деформация малая, то третьим слагаемым в правой части равенства можно пренебречь, и мы получим
откуда
Полученная величина характеризует чистую деформацию окрестности точки М. Правая часть этого выражения может быть записана в виде
Разложим теперь тензор
где
Подставляя это разложение тензора
гак как 4. Рассмотрим отдельно случаи, когда тензор является симметричным или кососиммегричным тензором. Пусть сначала
В самом деле, если
Поэтому
и
Рис. 19. Но легко видеть, что последнее преобразование представляет собой попорот на малый угол Пусть теперь
Вектор
При этом с точностью до величин второго порядка малости
Следовательно, компонента Найдем теперь относительное удлинение тела вдоль произвольного направления, определяемого единичным вектором
Удлинение тела вдоль направления вектора I равно проекции вектора
Относительное удлинение тела вдоль направления вектора I равно отношению этой проекции к первоначальной длине вектора
Легко найти величину относительного удлинения
Используя результат, полученный в § 5 гл. II, можно написать, что
где Определим еще, как изменится объем при деформации тела, определяемой тензором (стр. 96), коэффициент искажения объемов при линейном преобразовании равен определителю матрицы этого линейного преобразования. Если обозначить через
где в правой части отброшены слагаемые, содержащие произведения компонент тензора деформации, являющиеся величинами не ниже второго порядка малости. Из этого соотношения видно, что коэффициент объемного расширения тела при деформации, определяемой тензором
Приведем симметричный тензор
Собственные значения 5. Вернемся теперь к общему случаю. Пусть однородная малая деформация тела определяется уравнениями
где
то произвольная деформация окрестности точки М представляет произведение чистой деформации, определяемой симметричным тензором деформации кососимметричным тензором Рассмотрим поверхность, в которую перейдет сфера радиуса
Чтобы получить уравнение искомой поверхности, нужно в уравнении (6) выразить координаты вектора
Подставляя эти выражения в уравнение (6) и снова отбрасывая члены второго порядка малости, получаем
Но так как
Таким образом, при рассматриваемой деформации сфера с центром в точке М, определяемая уравнением (6), переходит в центральную поверхность второго порядка с центром в точке
Пользуясь малостью величин
А это уравнение представляет собой уравнение эллипсоида, полуоси которого 6. Заметим, что рассмотренные тензоры напряжений и деформации не связаны с симметрией кристалла. Это происходит потому, что указанные тензоры описывают не свойства кристалла, а первый из них описывает внешнее воздействие на кристалл, а второй — реакцию кристалла на это или какое-либо другое воздействие. Такие тензоры в кристаллографии называют полевыми тензорами. Тензоры же, описывающие свойства кристалла, называют материальнымп тензорами. К ним относятся рассмотренные выше тензор удельной электропроводности, тензор теплопроводности, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и целый ряд тензоров, которые будут рассмотрены и следующем параграфе. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|