§ 2. Матрица линейного преобразования

1. Предположим, что и пространстве выбран некоторый ортонормировапный базис Разложение произвольного вектора х по этому базису имеет вид

Рассмотрим теперь в пространстве линейное преобразование

Обозначим через координаты вектора и относительно базиса Тогда

Мы хотим найти зависимость координат вектора и от координат исходного вектора х.

Гак как преобразование А линейное,

Запишем разложение векторов по исходному базису в виде

или в сокращенной форме:

Подставляя эти разложения в выражение для вектора найдем

или, сокращенно,

Но поэтому координаты вектора и имеют вид

или, короче,

Полученные формулы дают возможность определить координаты вектора а, связанного с данным вектором х линейным преобразованием Они показывают, что координаты вектора и выражаются через координаты вектора х линейно и однородно.

Запишем коэффициенты формул, связывающих координаты векторов и и х, в виде матрицы

Эта матрица называется матрицей линейного преобразования А и обозначается буквой А, так что

Так как в матрице А число строк и столбцов одинаково и равно трем, то она будет квадратной матрицей третьего порядка.

Таким образом, мы доказали, что если в пространстве задан базис, то всякому линейному преобразованию А этого пространства соответствует определенная квадратная матрица третьего порядка.

Обратно, если дана квадратная матрица А третьего порядка, то при заданном базисе ей будет соответствовать определенное линейное преобразование. В самом деле, если дана матрица А, то с ее помощью можно построить векторную функцию определяемую формулами (1). В силу линейности однородности этих формул построенная вектор-функция будет линейной.

Итак, если в пространстве задан некоторый базис то между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами третьего порядка устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим теперь линейное преобразование на плоскости Легко индеть, что если на этой плоскости задан базис , то ее линейное преобразование А может быть записано в виде

При

Следовательно, в заданном базисе линейное преобразование плоскости 14 описывается квадратной матрицей второго порядка

Вообще, линейном пространстве линейное преобразование при заданном базисе записывается в виде

где индексы I и принимают значения от 1 до и по индексу производится суммирование. Матрицей линейного преобразования в этом случае будет квадратная матрица А порядка

2. Найдем теперь матрицы линейных преобразований, рассмотренных в предыдущем параграфе.

а) Так как при тождественном преобразовании то и в любом базисе матрица тождественного преобразования имеет вид

Если использовать введенный в предыдущей главе симметричный символ Кронекера

при то эту матрицу можно переписать в виде

Матрица Е называется единичной.

б) При подобном преобразовании координаты векторов и и х связаны соотношениями Поэтому матрица подобного преобразования в любом базисе имеет вид

или

в) При нулевом преобразовании Поэтому матрица пулевого преобразования состоит из одних нулей:

Матрица называется нулевой.

Заметим, что матрицы тождественного, подобного и нулевого преобразований имеют указанный выше вид не только в трехмерном пространстве, по и в пространстве любого числа измерений.

г) Геометрическое растяжение (сжатие) плоскости и направлении, параллельном вектору е.ъ ставит в соответствие вектору . Поэтому

и матрица этого преобразования имеет вид

д) При геометрическое сжатие становится проектированием на ось параллельно вектору Матрица этого проектирования имеет вид

е) Чтобы найти матрицу поворота плоскости рассмотрим на ней ортонормироваппый базис Если преобразование А — поворот на угол а, то

(рис. 9). Поэтому

и

Следовательно, матрица поворота плоскости в прямоугольном базисе имеет вид

ж) Сдвиг плоскости в направлении вектора ставит в соответствие вектору вектор

Поэтому

н матрица сдвига записывается так:

з) Рассмотрим на плоскости еще преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор . Это преобразование также будет линейным (упр. 5з) к § 1), и его матрица имеет вид

Рис. 9.

Геометрически это преобразование представляет собой совокупность двух геометрических растяжений (сжатий) плоскости относительно взаимно перпендикулярных осей с коэффициентами, соответственно равными Если какой-нибудь из коэффициентов растяжения отрицателен, например то растяжение в раз сопровождается огражением от прямой

и) Точно так же в пространстве преобразование, представляющее собой совокупность трех геометрических растяжений (сжатий) относительно взаимно перпендикулярных осей ставит к соответствие вектору вектор

Это преобразование будет линейным, и его матрица записывается так:

Матрицы такого вида, у которых элементы вне главной диагонали раины нулю, называются диагональными матрицами. В частности, ссли рассматриваемое преобразование становится преобразованием гомотетии. Если то это преобразование будет преобразованием гомотетии только в плоскости векторов

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)