§ 5. Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования

1. Пусть А — симметричное линейное преобразование пространства По теореме 4 существуют три взаимно ортогональных собственных вектора линейного преобразования А. Пронормируем эти векторы, положив

Тогда векторы также будут собственными векторами линейного преобразования А, и, кроме того, они образуют ортонормированный базис. Так как

то в этом базисе линейное преобразование А будет описываться диагональной матрицей

Поскольку исходный базис и ноный базис япляются ортопормированными, переход от одного базиса к другому задается ортогональном матрицей так что

Поэтому матрицы преобразования. А в старом и попом базисах связаны зависимостью (гл. III, стр. 116)

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Матрица симметричного линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду путем ортогонального преобразования базиса.

Геометрически эта теорема означает, что симметричное линейное преобразование представляет собой совокупность трех последовательных растяжений или сжатий относительно трех взаимно перпендикулярных осей, определяемых векторами е.у, так как именно такое линейное преобразование описывается диагональной матрицей (§ 2, гл. III, стр. 94, пример и).

2. Далее встает вопрос: единственным ли образом может быть выбран базис в котором матрица симметричного линейного преобразования А имеет диагональный вид? Здесь могут представиться три случая.

1) Если то этим собственным значениям соответствует единственная система (с точностью до изменения направления и нумерации векторов), состоящая из трех взаимно ортогональных собственных векторов . В самом деле, вектор а, не коллииеарный одному из этих трех векторов, не может быть собственным вектором преобразования А. Пусть, например,

в этом случае вектор

не коллинеарен вектору а, если , значит, вектор а не является собственным.

2) Пусть - единичные собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям. Тогда любой вектор, лежащий в плоскости и,

порожденной векторами будет собственным но отношению к преобразованию А. В самом деле, если

то

Поэтому любая взаимио ортогональиая пара единичных векторов, лежащая в плоскости может быть принята за векторы .

Симметричное линейное преобразование А представляет собой в этом случае произведение двух преобразований: подобия с коэффициентом X в плоскости, перпендикулярной оси и растяжения с коэффициентом X, вдоль этой оси.

Сделаем одно замечание, облетающее нахождение собственных векторов в этом случае. Поскольку в плоскости т. любой вектор — собственный, то при подстановке в систему (2) из § 1 собственного значения мы получим только одно существенное уравнение (два других будут ему пропорциональны):

Всякое ненулевое решение этого уравнения определит собственный вектор, отвечающий собственному значению Уравнение означает, что нее таким образом полученные собственные векторы перпендикулярны вектору Заметим, что поскольку уравнение не может иметь все коэффициенты равными пулю. Следовательно, вектор а, — собственный вектор, соответствующий собственному значению X. Для построения искомого базиса остается пронормировать вектор взять в качестве координат вектора , любое нормированное решение уравнения и найти как векторное произведение

3) Пусть, наконец, . В этом случае любой вектор пространства будет собственным (см. пример а) § 1). Преобразование А есть подобие во всем пространстве с коэффициентом X. В качестве базиса можно взять любую тройку единичных и попарно ортогональных векторов.

3. При изучении симметричных линейных преобразований в плоскости могут представиться следующие два случая:

1) . В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица преобразования А будет иметь вид

а само преобразование А есть произведение двух растяжений вдоль двух перпендикулярных собственных направлений.

2) . В этом случае любой вектор плоскости будет собственным. В любом ортонормированием базисе преобразованию А, являющемуся подобием, соответствует матрица

4. В заключение рассмотрим несколько примеров.

а) В ортонормированием базисе линейное преобразование А плоскости 1.2 имеет матрицу

Найти новый ортонормированный базис, в котором матрица преобразования А будет диагональной, и найти эту матрицу.

Решение. Матрица преобразования А симметрична, поэтому поставленная задача может быть решена. Составляем характеристическое уравнение:

или

Корни этого уравнения Далее находим соответствующие этим собственным значениям собственные векторы:

1) При система § 1 принимает вид

В качестве ее решения можно взять Нормируя это решение, находим единичный собстнепный вектор, соответствующий собственному значению

2) При мы получим

откуда переходе к базису координаты всех векторов преобразуются по

формулам (гл. I, стр. 37)

где

В базисе матрица линейного преобразования А будет иметь вид

Заметим, что матрицу А можно было написать и не производя этой выкладки, так как ее диагональными элементами являются собственные значения матрицы А. Преобразование А сводится к растяжению вдоль вектора с коэффициентом 4 и последующему растяжению вдоль вектора ел, с коэффициентом — 1.

б) В ортонормированном базисе дано линейное преобразование А пространства имеющее матрицу

Найти новый ортонормированный базис, в котором матрица преобразования А будет диагональной, и найти эту матрицу.

Решение. В силу симметричности матрицы А поставленная задача имеет решение. Находим характеристическое уравнение:

или

Корни этого уравнения Так как они различны, то преобразование А принадлежит первому типу. Выпишем систему уравнений, из которой определяются координаты собственных

векторов для нашей задачи:

Подставляя в эту систему поочередно и находя каждый раз ее нормированные решения, получим векторы нового ортонормированного базиса:

Заметим, что вектор можно найти как векторное произведение Матрица Г в данном случае имеет вид

В базисе преобразование А будет иметь матрицу

Преобразование А геометрически представляет собой произведение трех растяжений вдоль осей коэффициенты этих растяжений равны соответственно 3, 6, —2.

а) В ортонормированном базисе матрица

задает линейное преобразование А пространства Найти новый ортонормированный базис, в котором преобразование А задавалось бы диагональной матрицей.

Решение. В силу симметричности матрицы А решение возможно. Найдем характеристическое уравнение преобразования А:

или

Корни этого уравнения и наша задача соответствует второму случаю; согласно сделанному при его рассмотрении замечанию запишем систему, соответствующую собственному значению . В этой системе будет только одно существенное уравнение:

Отсюда следует, что вектор — собственный вектор с собственным значением Соответствующий вектору единичный вектор будет

Возьмем теперь любое решение уравнения (1), например пронормировав его, получим вектор

Наконец, находим вектор как векторное произведение:

Матрица Г имеет в данном случае вид:

В базисе преобразованию А соответствует матрица

Следовательно, преобразование А можно осуществить, производя последовательно растяжение вдоль оси с коэффициентом затем — гомотетию с коэффициентом 6 в плоскости векторов

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)