§ 2. Приведение к простейшему виду общего уравнения поверхности второго порядка

1. Пусть в некоторой прямоугольной системе координат с базисными векторами и началом О общее уравнение поверхности второю порядка имеет вид

где и индексы I и у принимают значения 1, 2, 3. В предыдущем параграфе было показано, что это уравнение

может быть переписано в виде

где — радиус-вектор точки поверхности, -квадратичная, — линейная формы от х.

С другой стороны, в § 6 гл. IV мы показали, что, перейдя к другому ортонормироианному базису с тем же началом О (т. е. совершая поворот осей координат), можно принести квадратичную форму к сумме квадратов:

При этом векторы будут единичными собственными векторами симметричного линейного преобразования соответствующего квадратичной форме Собственные значения этого преобразования определяются из уравнения

где величины задаются формулами (4) § 1. Координаты же самих векторов являются нормированными решениями системы (3) § 1 гл. IV (стр. 136).

Относительно прямоугольной системы координат с началом в точке О и базисом уравнение (1) будет иметь вид

здесь — коэффициенты линейной формы в базисе , а — свободный член, который не меняется при повороте осей (см. § 1, стр. 178).

2. Рассмотрим все возможные случаи, которые могут представиться в зависимости от того, сколько имеется нулевых собственных значений.

1. Пусть

В этом случае уравнение (2) можно записать в виде

где Совершим перенос начала координат в точку ; при этом координаты подвергнутся преобразованию

к уравнение (3) примет вид

Новые оси координат будут осями симметрии поверхности второго порядка. Их называют главными осями этой поверхности. Точка О будет центром симметрии поверхности.

II. Пусть в уравнении (2)

Последнее условие означает, что вектор не перпендикулярен вектору Уравнение этом случае может быть записано в виде

где

Приняв точку за новое начало координат, т. е. совершив параллельный перенос системы координат, определяемый формулами

мы приведем уравнение (2) к виду

Теперь только ось будет осью симметрии поверхности, точка О — расположена в ее вершине.

III. Пусть теперь в уравнении (2)

Последнее условие означает перпендикулярность векторов I и Уравнение (2) имеет в данном случае вид

где Выбирая за новое начало точку т. е. совершая преобразование координат по формулам

мы приведем уравнение (2) к виду

Рассматриваемая поверхность является цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Эта ось является осью симметрии поверхности.

IV. Пусть, далее, в уравнении (2)

последнее условие означает, что вектор I не коллинеарен вектору Если повернуть базис вокруг вектора на угол определяемый равенствами

то уравнение (2) примет вид

где

После параллельного переноса начала координат в точку это уравнение примет вид

где

и

Поверхность четвертого типа тоже является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси но у этого цилиндра нет оси симметрии, параллельной образующей, а имеется только одна плоскость симметрии — эта плоскость определяется точкой О и векторами

V. Пусть, наконец, в уравнении (2)

Последние условия означают, что вектор коллинеарен вектору Уравнение (2) в этом случае может быть записано в виде

где Перейдя к новому началу , т. е. совершив преобразование координат по формулам

мы приведем уравнение (2) к виду

В дальнейшем будет показано, что поверхности этого тина представляют собой пару плоскостей (действительных, мнимых или совпадающих), расположенных симметрично относительно плоскости

3. Объединим полученные в этом параграфе результаты в теорему. Условимся при этом обозначать и уравнениях (I) все индексы по-прежнему без штрихов.

Теорема. Общее уравнение (1) поверхности второго порядка, заданное относительно некоторой прямоугольной системы координат, при помощи поворота и параллельного переноса этой системы, координат может быть приведено к одному из следующих пяти типов:

Эти пять типов уравнений поверхности второго порядка будем называть простейшими.

Очевидно, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости

с помощью поворота осей и их параллельного переноса может быть приведено к одному из следующих трех простейших типов:

Доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству такого же утверждения для поверхности второго порядка, предоставляем читателю.