ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ТЕНЗОРЫ ВТОРОЙ ВАЛЕНТНОСТИ

§ 1. Линейные преобразования

1. До сих пор мы рассматривали линейном пространстве I. скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов. В настоящей главе будут рассматриваться векторные функции одного векторного аргумента. Изучение таких функций оказывается важным для многих разделов геометрии, механики и физики. Как мы увидим далее, важнейшие из таких функций — линейные — связаны с тензорами второй валентности, которые уже рассматривались в предыдущей главе.

Говорят, что в линейном пространстве задана векторная функция векторного аргумента х, если каждому вектору х этого пространства поставлен в соответствие некоторый вектор того же пространства. Векторная функция А называется линейной, если она обладает следующими двумя свойствами:

где х и у — два любых вектора пространства и а — любое действительное число. Линейную вектор-функцию называют также линейным преобразованием пространства или линейным оператором в этом пространстве. В дальнейшем при обозначении линейной вектор-функции мы будем опускать

скобки всюду, где это не может принести к недоразумениям, и записывать ее в виде

Геометрически первое из свойств, определяющих линейную вектор-функцию, означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах х и у, при линейном преобразовании А переходит в диагональ параллелограмма, построенного на векторах . Второе же свойство означает, что если длину вектора х увеличить в несколько раз, то длина вектора увеличится по столько же раз (рис. 5, б).

Рис. 5.

Отсюда следует, что при линейном преобразовании коллипеарпые векторы переходят в коллинсарные, а компланарные — в компланарные.

2, Рассмотрим некоторые примеры линейных преобразований.

а) Преобразование, которое ставит в соответствие вектору х сам этот вектор, очевидно, является линейным. Оно называется тождественным преобразованием и обозначается буквой , так что

б) Преобразование, которое ставит в соответствие вектору х вектор также является линейным. В самом деле, если то

Геометрически линейное преобразование представляет собой однородное растяжение (или сжатие) всех векторов пространства с одинаковым коэффициентом растяжения. Такое преобразование называется гомотетией. растяжение всех векторов пространства сопровождается отражением их от начала координат.)

в) При линейное преобразование, рассмотренное в предыдущем примере, ставит в соответствии любому вектору х нулевой вектор 0. Это преобразование обозначают буквой и называют нулевым преобразованием, так что

г) Преобразование при не является линейным, так как

Рис. 6

Рассмотрим еще несколько примеров линейных преобразований в двумерном пространстве в котором задан ортонормированный базис

д) Преобразование А, которое вектору ставит в соответствие вектор представляет собой геометрическое растяжение (сжатие) плоскости в направлении, параллельном вектору (рис. 6). Докажем, что это преобразование будет линейным:

е) При рассмотренное выше преобразование сжатия переходит в преобразование

Это преобразование представляет собой проектирование вектора х на ось порождаемую вектором Проектирование, следовательно, является линейным преобразованием.

ж) Преобразование, которое ставит в соответствие каждому вектору х плоскости вектор и, получающийся из вектора х поворотом на угол а, будет, как легко проверить с помощью геометрического построения, линейным преобразованием (рис. 7). Его называют преобразованием поворота.

Рис. 7.

з) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор хгеъ носит название преобразование сдвига, линейность этого преобразования доказывается так же, как в примере д).

Рис. 8.

При этом преобразовании конец вектора х перемещается по прямой, параллельной оси на величину (рис. 8, а); квадрат, построенный на векторах и переходит в параллелограмм, построенный на векторах (рис. 8, б).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)