§ 3. Ортогоналыше криволинейные системы координат

1. До сих пор положение точки в пространстве определяли ее радиусом-вектором относительно некоторого неподвижного ортонормировапного базиса с началом точке О; числа это прямоугольные декартовы координаты точки М.

Во многих случаях бывает полезно определять положение точки в пространстве не тремя декартовыми координатами а какими-нибудь тремя другими числами которые более тесно связаны с рассматриваемой задачей. Будем предполагать, что не только каждой точке М соответствуют три числа по и, обратно, каждой такой тройке чисел ил соответствует определенная точка М. При иногда приходится ограничивать область изменения переменных чтобы достичь нзаимной однозначности соответствия между точками и тройками чисел

Числа назынаются криволинейными координатами точки М (основание для такого названия координат будет выяснено ниже).

Поскольку всякой точке М соответствуют координаты то каждая из этих координат является функцией от прямоугольных декартовых координат

Но задание чисел определяет положение точки М, и поэтому ее прямоугольные декартовы координаты будут функциями от

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы соотношения (1) были разрешимы относительно т. е. чтобы из них можно было вывести формулу (2), необходимо и достаточно, чтобы определитель

был отличен от нуля:

Точно так же должен быть отличен от нуля и определитель

В дальнейшем будем всюду предполагать неравенство нулю этих определителей и считать функции (1) и (2), определяющие связь между декартовыми и криволинейными координатами точки М, по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми.

2. Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла криволинейных координат. Рассмотрим уравнение

где Как известно, такое уравнение в пространстве определяет поверхность. При различных значениях получаем некоторое семейство поверхностей. Если точка М имеет первой координатой то это значит, что она лежит на поверхности этого семейства. Аналогично уравнения

являются уравнениями двух других семейств поверхностей. Если точка М имеет координаты то это означает, что она лежит на определенных поверхностях этих трех

семейств, т. е. является пересечением трех поверхностей, взятых по одной из каждого семейства (рис. 21).

Указанное выше отличие от нуля определителя является гарантией того, что три поверхности из разных семейств пересекаются в одной и только в одной точке.

Назопем поверхности указанных трех семейств координатными поверхностями и для краткости будем называть их поверхностью, -поверхностью, -поверхностью.

Рис. 21.

Если рассмотреть попарное пересечение поверхностей разных семейств, то получим координатные линии. Через каждую точку М проходят три координатные линии. Вдоль координатной линии, которая является пересечением -поверхности и -поверхности, изменяется лишь координата остаются постоянными. Эту координатную линию будем называть линией Диалогично определяются координатные линии Легко видеть, что координатные линии будут, вообще говоря, кривыми линиями. Отсюда и происходит название криволинейной координаты.

Найдем векторы, касательные к координатным линиям криволинейной системы координат, проходящим через некоторую точку М. Параметрические уравнения координатной линии которая проходит через точку записываются в виде

Как известно из курса анализа (см. [2], стр. 229), касательным вектором к этой линии в точке М будет вектор

который мы обозначим через Точно так же касательными к линиям проходящим через точку М, будут векторы

Теперь легко видеть, что

и неравенство нулю определителя, стоящего в правой части этого соотношения, равносильно линейной независимости векторов и

3. Рассмотрим несколько примеров криволинейных систем координат.

а) Прямоугольная декартова система координат. Ее тоже можно рассматривать как частный случай криволинейной системы координат. Координатными поверхностями здесь служат плоскости, параллельные координатным плоскостям (-поверхности — плоскости, параллельные плоскости

Рис. 22.

Координатными линиями служат прямые линии, параллельные осям координат (например, координатные линии — прямые линии, параллельные

б) Цилиндрическая система координат.

Пусть в пространстве дана прямоугольная декартова система координат с началом в О. Рассмотрим тройку чисел где и поставим в соответствие этой тройке чисел такую точку М, что ее аппликата равна а проекция на плоскость имеет полярные координаты , (рис. 22). Очевидно, что при этом каждой тройке чисел соответствует определенная точка

и, обратно, каждой точке М отвечает определенная тройка чисел таких, что

(лишь в случае, если точка М лежит на оси координаты определяются однозначно, а координата неопределенна: ей можно приписать любое значение).

Введенные таким образом числа называются цилиндрическими координатами точки М. (Обычно цилиндрические координаты обозначают буквами Легко видеть, что эти координаты связаны с прямоугольными декартовыми координатами точки М соотношениями

и, обратно,

Определитель в этом случае будет вычисляться следующим образом:

Отсюда ясно, что этот определитель отличен от нуля всюду, за исключением прямой которая совпадает с осью На этой прямой, как мы видели выше, нарушается взаимная однозначность соответствия между точками и их цилиндрическими координатами.

Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат служат: -поверхностями — круговые цилиндры с общей осью ; -поверхностями — полуплоскости, ограниченные осью -поверхностями — плоскости, параллельные плоскости Название «цилиндрическая система координат» как раз и объясняется тем, что среди ее координатных

поверхностей имеются цилиндрические поверхности. Координатными линиями в цилиндрической системе координат служат: линиями лучи, выходящие из произвольной точки оси и параллельные плоскости линиями — окружности с центром на оси расположенные в плоскостях, перпендикулярных линиями —прямые, параллельные оси

в) Сферическая система координат.

Рис. 23.

Рис. 24.

Зададим три числа определяющие положение точки М в пространстве, следующим образом: — расстояние от начала координат О до точки — угол между вектором и радиусом-вектором точки угол между положительным направлением оси и проекцией радиуса-вектора точки М на плоскость (рис. 24). Эти три числа называются сферическими координатами точки М. (Обычно сферические координаты обозначают буквами

Нетрудно видеть, что это географические широта и долгота точки М на сфере с центром в точке М и радиусом

Далее, очевидно, что каждой точке пространства соответствует определенная тройка чисел где

и обратно, каждой такой тройке чисел отвечает определенная точка пространств (эта однозначность нарушается, как и в случае цилиндрической системы координат, лишь для точек оси для которых координата неопределенна).

Легко установить связь между сферическими и прямоугольными декартовыми координатами точки:

и, обратно,

Определитель в этом случае будет равен и Он обращается в нуль только на оси в точках которой нарушается взаимная однозначность соответствия между декартовыми и сферическими координатами.

Координатными поверхностями в сферической системе координат служат: -поверхностями — сферы с центром в начале координат, -гповерхностями — полуплоскости, ограниченные осью и -поверхностями — конические поверхности с образующими, составляющими постоянный угол с осью Название «сферическая система координат» опять-таки объясняется тем, что среди координатных поверхностей имеются сферы.

Координатными линиями в сферической системе координат служат: линиями — лучи, выходящие из начала координат; линиями — полуокружности с центром в начале координат, лежащие в полуплоскостях, ограниченных осью , наконец, линиями — окружности с центром на оси расположенные в плоскостях, перпендикулярных (рис. 25).

Во всех рассмотренных примерах криволинейных систем координат координатные линии, проходящие через

произвольную точку пространства, ортогональны друг другу. Системы криволинейных координат, обладающие таким свойством, называются ортогональными.

Рис. 25.

Векторы касательные к координатным линиям такой системы координат, будут попарно ортогональны к каждой точке пространства. Неортогональные системы криволинейных координат мы рассматривать не будем.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)