§ 4. Прямоугольный базис в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов

Рассмотрим а трехмерном пространстве базис, состоящий из трех попарно ортогональных единичных векторов

Такой базис называется ортонормированным (прямоугольным), а составляющие его векторы — ортами. Разложение произвольного вектора х по ортонормированному базису ничем не отличается от его разложения по произвольному базису и записывается в виде

Числа теперь называются прямоугольными координатами вектора х.

Базис называется правым, если из конца вектора поворот на 90° от вектора к вектору виден против часоной стрелки. Если же этот поворот от вектора к вектору из конца вектора виден по часовой стрелке, базис называется левым.

Рассмотрим, как запишется в наших обозначениях хорошо известное из аналитической геометрии скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов обычно определяется формулой

где — длины заданных векторов, а — угол между ними.

Как известно, скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Скалярные произведения базисных векторов ортонормированного базиса определяются из следующей таблицы умножения:

Введем величины определяемые равенствами

Тогда скалярные произведения базисных векторов могут быть записаны в виде

Величины называются симметричными символами Кронекера.

Пусть — два произвольных вектора пространства. Тогда

и так как скалярное произведение обладает свойствами 2) и 3), то в правой части этого равенства можно раскрыть скобки (читателю эту выкладку рекомендуется проделать подробно):

Теперь здесь стоит сумма, состоящая из девяти слагаемых, так как индексы и независимо друг от друга пробегайзт значения от 1 до 3, Но отличными от нуля будут лишь три из этих слагаемых, так как при Поскольку в не равных нулю слагаемых мы получим

— хорошо знакомое из аналитической геометрии выражение для скалярного произведения векторов. Если применить здесь снова соглашение о суммировании, то это выражение можно переписать в виде

Найдем скалярное произведение произвольного вектора на базисный вектор

Выражение есть сумма трех слагаемых, два из которых при равны нулю, так как при не равным нулю будет лишь одно слагаемое, получающееся при Поскольку то Следовательно,

Это означает, что прямоугольные координаты вектора X представляют ортогональные проекции этого вектора на соответствующую ось.

Запишем в новых обозначениях некоторые хорошо известные из аналитической геометрии геометрические факты, вытекающие из определения скалярного произведения векторов:

а) Длина вектора вычисляется по следующей формуле:

или

б) Косинус угла между векторами вычисляется так:

Поэтому условием ортогональности векторов служит равенство

в) Если а — единичный вектор, то его координаты будут равны косинусам углов, которые этот вектор образует с базисными векторами

При этом, так как то

г) Проекция вектора на вектор определяется формулой

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)