§ 6. Обратное линейное преобразование и обратная матрица

1. Рассмотрим некоторое линейное преобразование Преобразование В называется обратным для преобразования А, если т. е. если оно возвращает вектор в исходное положение х. Таким образом, обратное преобразование В определяется равенством

где — тождественное преобразование. Легко видеть, что преобразование В, обратное А, будет линейным преобразованием. Не для всякого линейного преобразования А существует

обратнсе. Пусть, например, преобразование А — проектирование пространства на плоскость Тогда образы всех векторов пространств лежат на этой плоскости, и если мы позьмем вектор у, не лежащий на ней, то он не будет иметь прообраза. Далее мы докажем, что каждое невырожденное преобразование имеет обратное.

Преобразование, обратное преобразованию А, обозначают через так что

Очевидно, что и

Пусть преобразование А имеет обратное и А — матрица преобразования А в некотором базисе Матрицу преобразования называют обратной матрицей для матрицы А и обозначают через Так как при перемножении преобразований их матрицы перемножаются, то

где Е — единичная матрица.

Из последнего равенства следует, что

т. е. произведение определителей взаимно обратных матриц равно единице. Значит, если матрица А имеет обратную, ее определитель отличен от нуля:

2. Докажем теперь, что если А—невырожденное линейное преобразование, то оно имеет обратное преобразование и притом только одно.

Линейное преобразование в произвольном базисе записывается в форме

где - матрица преобразования А. Найти обратное преобразование — это значит найти вектор х но заданному вектору у. Эта задача будет решена, если выразить координаты вектора х через координаты вектора у, т. е. если разрешить предыдущие уравнения относительно Но система, состоящая из трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение при любых если только определитель этой системы отличен от пуля, т. е. если А — невырожденное линейное преобразование.

Найдем теперь матрицу преобразооания обратного А, считая, что Для этого перепишем уравнения (1) более подробно в виде

Так как определитель этой системы отличен от пуля, то для ее решения можно применить известные формулы Крамера. Например,

Если обозначить через алгебраическое дополнение элемента в определителе то предыдущее выражение примет вид

Аналогично для получим

Коэффициенты при стоящие в этих разложениях, и являются элементами искомой обратной матрицы. Если обозначить элементы обратной матрицы через то можно записать

т. е. элемент обратной, матрицы равен алгебраическому дополнению элемента исходной матрицы, деленному на ее определитель.

Матрица линейного преобразования является тензором второй валентности. Этот тензор называется обратным для тензора соответствующего линейному преобразованию А.

Пусть теперь

— матрица второго порядка. Для нее обратная матрица найдется аналогичным способом. Но

Поэтому

Пусть, например, Гогда Нспосредстпепным умножением легко проверить, что

Найдем соотношения, которым удовлетворяют элементы взаимно обратных матриц. Пусть Тогда Пользуясь правилом умножения матриц, выведенным в предыдущем параграфе, мы получим отсюда

где в левой части по индексу как всегда, производится суммирование, а в правой — стоит симметричный символ Кронекера.

Отметим еще одно соотношение, связанное с обращением произведения линейных преобразонаний:

которое доказывается непосредственно:

Аналогичное соотношение имеет место и для матриц.

Обратим внимание еще на то, что матрица матрица перехода от нового базиса к старому базису (см. стр. 33 и 116) - будет обратной матрицей по отношению к матрице Г перехода от старого базиса к новому. Поэтому

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)