§ 7. Представление невырожденного линейного преобразования в виде произведения симметричного и ортогонального преобразований

1. В предыдущем параграфе было доказано, что симметричное линейное нреобразопапие представляет собой три последовательных растяжения или сжатия относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Если же преобразование А не является симметричным, то такое представление для него невозможно. Однако оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема. Всякое невырожденное линейное преобразование можно представить в виде произведения ортогонального и симметричного линейных преобразований.

Пусть А — любое невырожденное линейное преобразование, заданное в некотором ортонормированном базисе Тогда преобразование где А — преобразование, сопряженное А, будет симметричным. В самом деле, поскольку для любых линейных преобразований А и В

(гл. III, стр. 114), то для преобразований А и А имеем

что и доказывает симметричность преобразования Симметричное преобразование всегда имеет три единичных взаимно перпендикулярных собственных вектора (§ 4, стр. 156), так что

Докажем теперь, что собственные значения этого преобразования будут положительными. Действительно, умножая обе части каждого из равенств (1) скалярно на вектор получим

мы воспользовались здесь результатом упр. 8 к § о гл. III, согласно которому для любых векторов и любых линейных преобразований А и В

Рассмотрим теперь линейное преобразование Н, которому в базисе соответствует матрица

Заметим, что Н — симметричное линейное преобразование, поскольку Н — симметричная матрица. Далее, преобразованию в базисе будет соответствовать матрица

т. е. та же матрица, которая в этом базисе соответствует преобразованию Поэтому

Отсюда следует, что

Осталось показать, что преобразование будет ортогональным. Пусть Рассмотрим преобразование сопряженное преобразованию

Здесь мы воспользовались тем, что и симметричностью преобразования Н. Отсюда вытекает, что

т. е. S — ортогональное преобразование. Таким образом, линейное преобразование А представлено в виде

где Н — симметричное, - ортогональное линейные преобразования. Сформулированная теорема доказана.

Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в том, что произвольное невырожденное линейное преобразование можно осуществить, произведя последовательно три растяжения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и совершив затем поворот пространства вместе с этими осями.

Заметим, что точно так же доказывается аналогичная теорема для плоскости

Отметим, наконец, что при доказательстве теоремы мы указали эффективный способ построения симметричного и ортогонального преобразований, в произведение которых

раскладывается данное невырожденное линейное преобразование. Нужно только иметь в виду, что для получения матрицы, соответствующей ортогональному преобразованию надо найти матрицу преобразования Н в базисе по формуле

где — матрица перехода от базиса к базису .

2. Рассмотрим два числовых примера.

а) Линейное преобразование А плоскости имеющее в некотором ортонормировашюм базисе матрицу

разложить и произиедение симметричного и ортогонального преобразований.

Решение. Найдем сначала симметричное преобразование и приведем его к простейшему виду. Это преобразование имеет матрицу

Его характеристическим уравнением будет

или

Собственные значения Соответствующие едииичные собственные векторы . В базисе матрицей преобразования будет матрица

Искомое симметричное преобразование Н имеет в базисе матрицу

а в базисе — матрицу

Построим теперь ортогональное преобразование Имеем

Заметим еще, что матрица 5 может быть представлена в виде

Следовательно, линейное преобразование А можно осуществить, совершив сначала растяжение вдоль оси с коэффициентом 1, затем растяжение вдоль оси с коэффициентом 2, затем отражение плоскости относительно оси и, наконец, поворот плоскости вокруг точки О на угол

б) Линейное преобразование А пространства имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу

Разложить преобразование А в произведение симметричного и ортогонального преобразований.

Решение. Симметричное преобразование имеет в базисе матрицу

Характеристическим уравнением этого преобразования будет уравнение

Его собственные значения Соответствующими единичными собственными векторами будут Матрицей преобразования в базисе будет матрица

Симметричное преобразование Н — один из множителей, на которые мы раскладываем преобразование А — и базисе имеет матрицу

а в базисе — матрицу

Вычисляем матрицу ортогонального преобразования второго из множителей, на которые мы раскладываем А:

Таким образом, линейное преобразование А разлагается в совокупность трех последовательных растяжений вдоль осей коэффициентами 1, 2, 3 соответственно и ортогонального преобразования пространства, определяемого матрицей 5.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)