§ 6. Центральные и нецентральные поверхности второго порядка

1. Рассмотрим сначала поверхность второго порядка, в общем уравнении которой отсутствуют члены с первыми степенями координат:

Если на такой поверхности лежит точка с координатами то на пей же лежит и точка с координатами симметричная с нерной точкой относительно начала координат. Таким образом, в рассматриваемом случае ьачало координат служит центром симметрии поверхности.

Легко доказать, что и, обратно, если начало координат служит центром симметрии поверхности второго порядка, то ее уравнение имеет вид (1).

Если существует в пространстве точка, относительно которой поверхность второго порядка симметрична, то эту точку называют центром поверхности. Следовательно, в случае, когда поверхность второго порядка определена уравнением (1), начало координат является ее центром.

Пусть теперь поверхность второго порядка в некоторой прямоугольной системе координат задана своим общим уравнением

Очевидно, что если поверхность, определенная уравнением (2), имеет центр, то, перенося начало координат в центр, мы должны прийти к уравнению вида (1). При этом формулы преобразования координат, как мы знаем (гл. I, стр. 42), имеют вид

где — координаты нового начала в старой системе.

При таком преобразовании системы координат коэффициенты уравнения поверхности второго порядка преобразуются по формулам (3) § 1. Из этих формул нам сейчас понадобится формула преобразования коэффициентов при членах первой степени:

Чтобы новое начало координат было центром заданной поверхности второго порядка, необходимо и достаточно обращение в пуль коэффициентов Поэтому координаты центра по отношению к старой системе координат должны удовлетворять системе уравнений

которая более подробно записывается так:

Мы докажем далее, что вопрос о существовании центра поверхности второго порядка тесно связан с той классификацией этих поверхностей, которая была проведена в §§ 2 и 3. Исследование разрешимости системы уравнений (4), определяющей координаты центра, сводится к сравнению рангов матриц

которые мы обозначим соответственно через . А именно, как известно из алгебры (см., например, [8]), система уравнений (4) имеет решение только в том случае, когда и не имеет решения при Причем в первом случае при она имеет единственное решение, при совокупность ее решений геометрически представляет собой прямую линию, а при -плоскость.

Докажем сначала, что ранги меняются при преобразованиях прямоугольной системы координат. В самом деле, так как при параллельном переносе компоненты матрицы А вообще не меняются, то, значит, не меняется и ее ранг. При повороте системы координат компоненты матрицы А преобразуются, как компоненты матрицы линейного оператора, поэтому ранг ее не меняется (ср. с § 3 гл. III). Таким образом, инвариантность ранга доказана.

Что касается матрицы то при параллельном переносе первые три ее столбца не меняются, а последний

преобразуется по формулам (3), и это, как легко видеть, не меняет ее ранга. При повороте системы координат, определяемом ортогональной матрицей элементы матрицы преобразуются по формулам (2) § 1, первые из которых можно записать в виде

Поэтому преобразование матрицы А в матрицу можно разбить на два последовательных преобразования, первое из которых переводит матрицу в матрицу а второе — матрицу в А. Столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы и поэтому ее ранг не превосходит Строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы и поэтому ее ранг не превосходит Таким образом, Но при обратном повороте новой системы координат, определяемом ортогональной матрицей матрица переходит в , следовательно, Поэтому что окончательно доказывает инвариантность ранга

2. Теперь легко убедиться, что существует следующая связь между принадлежностью поверхности второго порядка к одному из пяти типов, введенных в § 2, и значениями рангов и Г; матриц А и

для поверхностей 1 типа

для поверхностей 11 типа

для поверхностей 111 типа

для поверхностей IV типа

для поверхностей V типа

Чтобы доказать это предложение, следует перейти к той системе координат, в которой уравнение поверхности имеет простейший вид, записать соответствующие ему матрицы А и и непосредственно подсчитать ранги.

После этого уже легко решить вопрос о существовании центра поверхности второго порядка. Если поверхность принадлежит первому типу, то и система (4) имеет единственное решение. Следовательно, поверхность имеет единственный центр. Если поверхность принадлежит третьему типу, то система (4) имеет одпопараметрическое семейство решений, а поверхность — однопараметрическое семейство центров, расположенных на одной прямой. Эту

прямую называют прямой центров. Если поверхность принадлежит пятому типу, то и совокупность ее центров образует плоскость — плоскость центров. Наконец, так как для поверхностей 11 и IV типов то эти поверхности центров не имеют.

Поскольку отмеченные здесь случаи исчерпывают все возможности, имеют место и обратные предложения. Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Поверхность второго порядка имеет единственный центр тогда и только тогда, когда она принадлежит типу 1; имеет прямую центров, когда она принадлежит типу 111; имеет плоскость центров, когда она принадлежит типу V. Она не имеет центра тогда и только тогда, когда принадлежит типам 11 или IV.

Заметим, что поверхности, имеющие единственный центр симметрии, называются центральными поверхностями второго порядка.