ГЛАВА VI. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ

§ 1. Тензор инерции

1. Рассмотрим движение твердого тела закрепленного в одной точке, которую мы обозначим буквой О и примем за начало координат. В каждый момент времени движение этого тела можно рассматривать как вращение с угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через точку О. Линейная скорость точки М этого тела, определяемой радиусом-нектором как известно из механики, будет вычисляться по формуле

Найдем кинетическую энергию рассматриваемого тела. Для этого выделим элемент гела в окрестности точки М. Кинетическая энергия этого элемента будет равна

Поэтому кинетическая энергия всего тела может быть найдена в виде

или в виде

где интегрирование ведется по телу (если тело трехмерное, то интеграл будет если тело

представляет собой кусок поверхности, интегрирование будет вестись по этой поверхности; если тело представляет собой некоторую линию, то интеграл будет криволинейным, и, наконец, если тело состоит из конечного числа точечных масс, интеграл превратится в простую сумму).

Преобразуем теперь подынтегральное выражение. Имеем (упр. 7 на стр. 30)

Пусть — неподвижный базис с началом в точке О. Запишем разложения векторов по этому базису в виде

Тогда выражения и могут быть записаны так:

Поэтому выражение для принимает вид

Подставим это выражение в иитеграл (1). Здесь переменными интегрирования являются координаты вектора координаты вектора следует считать постоянными. Поэтому их можно вынести из-под знака интеграла и записать равенство (1) следующим образом:

Это выражение не зависит от координат вектора так как по ним производится интегрирование, а зависит только от координат вектора Кинетическая энергия Т представляет собой квадратичную форму относительно координат этого вектора. Ее коэффициенты образуют симме.тричный тензор второй валентности. Этот тензор, умноженный на два, называют тензором инерции тела Если обозначить компоненты тензора инерции через то получим для них

следующее выражение:

Кинетическая энергия вращающегося тела запишется теперь в виде

или в виде

где через обозначен симметричный линейный оператор, порожденный тензором

Простой подсчет показывает, что формулы (2) для вычисления компонент тензора инерции могут быть переписаны следующим образом:

Величины являются моментами инерции тела относительно осей Величины носят название полярных моментов инерции.

2. Найдем величину момента инерции тела относительно любой оси, проходящей через точку О. Рассмотрим ось, проходящую через точку О, определяемую единичным вектором (рис. 13). Пусть снова М — произвольная точка тела определяемая радиусом-вектором и — элемент массы, сосредоточенной в окрестности точки М. Момент инерции этого элемента относительно оси будет равен

где расстояние от точки М до оси Но, как известно (см. упр. 12 на стр. 50), это расстояние может быть вычислено по формуле

или, так как по формуле

Следовательно,

и момент инерции тела относительно оси определится так:

Рис. 13.

Сравним полученное выражение для момента инерции I с формулой (1) для кинетической энергии Т тела Это выражение для 1 получается формулы (1) отбрасыванием множителя у и заменой вектора на вектор Поэтому и окончательное выражение для момента инерции 1 получится из выражения (3) для кинетической энергии Т путем такой же замены и будет иметь вид

Эта формула показывает, что момент инерции тела относительно произвольной, оси, проходящей через точку О, определяется только при помощи тензора инерции этого тела.

3. Как и всякий симметричный тензор второй валентности, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем ортогонального преобразования базиса. Оси определяемые точкой О и собственными векторами тензора инерции, называются главными осями инерции тела

Собственные значения тензора инерции являются моментами инерции тела относительно главных осей инерции. Поэтому они удовлетворяют условию 0. Они называются главными моментами инерции.

Полярные моменты инерции тела вычисленные в базисе будут равны нулю. Поэтому выражение для кинетической энергии тела примет в этом базисе вид

здесь — координаты вектора относительно базиса Так как то эта квадратичная форма является положительно определенной.

Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называется асимметричным волчком. Если дна главных момента инерции тела равны между собой, но не равны третьему, то тело называется симметричным волчком. При любая ось, проходящая через точку О и лежащая в плоскости векторов будет главной осью инерции. Если, наконец, все главные моменты инерции тела равны между собой, то тело называется шаровым волчком. В этом случае любая ось, проходящая через точку О, будет главной осью инерции тела.

Рассмотрим характеристическую поверхность второго порядка, определяемую тензором инерции Ее уравнение записывается в виде

или, в координатной форме, в виде,

Так как собственные значения тензора положительны, то эта поверхность является эллипсоидом и называется эллипсоидом инерции данного тела. Оси симметрии этого эллипсоида совпадают с главными осями инерции тела Эллипсоид инерции позволяет геометрически найти величину момента инерции относительно произвольной оси, проходящей через точку О.

Действительно, если — радиус-вектор точки М эллипсоида инерции, имеющей направление вектора то

где

Поэтому

так как (ср. стр. 80). Таким образом, момент инерции относительно равен единице, деленной на квадрат расстояния от точки О до той точка М эллипсоида инерции, в которой ее пересекает прямая

4. Предположим, что точка О является центром инерции (центром массы) тела и найдем, как изменится тензор инерции тела при переходе от точки О к некоторой другой точке определяемой радиусом-вектором . Пусть — произвольная точка тела и Тогда

и момент инерции тела относительно оси проходящей через точку О, направление которой задается единичным ве:ктором , определится по формуле, аналогичной формуле (4):

Это выражение может быть переписано в виде

(здесь используется то, что при интегрировании векторных выражений остаются справедливыми хорошо известные из анализа свойства определенного интеграла). Но гак как О — центр инерции тела, то

и, кроме того,

где через обозначена масса тела Поэтому выражение для принимает вид

или

Так как выражение ; равно квадрату расстояния от точки О до то это равенство выражает известную теорему Штейнера о том, что момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, увеличенному на произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пусть и . Тогда может быть преобразовано так:

Теперь, используя формулу (5), получим для момента инерции I выражение

Отсюда ясно, что при переходе точки О к точке тензор инерции преобразуется следующим образом:

Отнесем тензор к главным осям инерции. Тогда его матрица будет иметь вид

Компоненты тензора инерции в этом случае будут:

Эти формулы показываю что главные оси тензора вообще говоря, не совпадают с главными осями тензора Легко видеть, что главные оси обоих тензоров совпадают тогда и только тогда, когда точка О лежит на одной, из главных осей инерции тензора . В самом деле, пусть, например, точка лежит на оси Обратно, если при то две из трех координат должны быть равны нулю.

5. С тензором инерции тела связан его момент импульса. Пусть тело вращается с угловой скоростью относительно оси, проходящей через его произвольную точку О. Элемент массы этого тела, сосредоточенный в окрестности точки М, движется с линейной скоростью и несет импульс, равный Момент этого импульса относительно точки О равен векторному произведению радиуса-вектора точки М на этот импульс:

А полный момент импульса тела относительно точки М находится интегрированием:

Но

Поэтому

Это выражение показывает, что момент импульса М линейно зависит от вектора угловой скорости Следовательно, векторы и М связаны некоторым линейным преобразованием. Покажем, что матрица этого линейного преобразования совпадает с тензором инерции тела

Для этого преобразуем подынтегральное выражение предыдущего интеграла, пользуясь выведенной ранее формулой для двойного векторного произведения (гл. 1, стр. 29):

Если то это равенство может быть записано в таком виде:

Подставляя найденное выражение интеграл (6), получим следующие формулы для вычисления координат вектора М:

Сравнивая эти формулы с выражениями (2) для компонент тензора инерции, убеждаемся, что

что и требовалось доказать. Формулы (7) могут быть переписаны в виде

где симметричный линейный оператор, соответствующий тензору

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)