§ 3. Определение типа поверхности второго порядка при помощи инвариантов

1. В этом параграфе с помощью инвариантов и семиинвариантов будут даны необходимые и достаточные условия принадлежности поверхности второго порядка к одному из пяти полученных в § 2 типов и указано, как можно выразить коэффициенты уравнений (1) — (V) через эти инварианты.

Прежде всего докажем, что семиинвариант будет инвариантом для поверхностей III, IV, V типов, а семиинвариант будет инвариантом для поверхности V тина.

Для доказательства первого утверждения заметим, что поверхности III, IV и V типов характеризуются тем, что в их простейших уравнениях отсутствует переменное Добиться этого можно только за счет поворота осей координат (при параллельном переносе осей, очевидно, количество переменных, входящих в уравнение, остается неизменным). Поэтому существует такой базис, получающийся из исходного поворотом (при этом не меняется), в котором общее уравнение поверхностей III, IV, V типов имеет вид

Тогда

Инвариантность же полученного определителя при параллельном переносе может быть доказана или непосредственно, или тик, как была доказана в § 1 инвариантность при параллельном переносе.

Для доказательства второго утверждения заметим аналогично, что поскольку в простейших уравнениях поверхностей V типа отсутствуют то существует базис, получающийся из исходного только поворотом (при этом не меняется), в котором общее уравнение поверхности V типа имеет вид

Следовательно, в этом случае

После параллельного переноса осей в точку координаты преобразуются по формулам

а уравнение поверхности (1) примет вид

Поэтому

2. Следующая теорема дает необходимые и достаточные признаки принадлежности поверхности второго порядка к одному из пяти указанных в § 2 типов.

Теорема. Для того чтобы поверхность второго порядка принадлежала 1, 11, 111, IV или V типу, необходимо и достаточно выполнение следующих признаков-.

Заметим сразу, что достаточно доказать необходимость этих признаков, так как достаточность будет тогда вытекать из того, что эти признаки попарно несовместимы и в совокупности исчерпывают все возможности. (Случай, когда приводит к обращению в нуль всех коэффициентов при членах второй степени общего уравнения поверхности второго порядка и поэтому исключается из рассмотрения.)

Докажем необходимость указанных признаков для каждого из пяти типов. Достаточно проверить их выполнение в какой-нибудь одной системе координат; в других системах эти признаки будут выполнены автоматически, поскольку имеют инвариантную формулировку, В качестве этой системы координат для каждого из пяти типов поверхностей возьмем ту систему, в которой уравнение поверхности имеет простейший вид (см, формулы (I) — (V) § 2). Тогда необходимость условия доказываемой теоремы проверяется простым подсчетом инвариантов для каждого из этих случаев.

Установленные признаки позволяют легко определить, к какой из пяти групп относится поверхность второго порядка: для этого надо последовательно вычислять

Поверхность будет относиться к группе, номер которой совпадает с порядковым номером первого отличного от нуля из этих пяти инвариантов.

3. Покажем теперь для каждого из пяти типов поверхностей, как с помощью инвариантов можно сразу перейти общего уравнения поверхности второго порядка к ее простейшему уравнению.

I. Простейшее уравнение имеет вид

Как мы уже отмечали, являются корнями характеристического уравнения

Поскольку в этом случае коэффициент выражается так: и поэтому простейшее уравнение

поверхности I типа имеет вид

II. В этом случае

где X, и корни квадратного уравнения

(это следует из того, что Далее, как легко видеть,

и поэтому

Таким образом, простейшее уравнение поверхности 11 типа принимает вид

III. Теперь

где и по-прежнему корни уравнения

Для определения заметим, что кроме того, подсчет величины которая является инвариантом для поверхностей типа, дает Поэтому простейшее уравнение поверхности типа примет вид

IV. Простейшее уравнение имеет вид

где, поскольку

Подсчет инварианта для поверхностей этого тина дает Отсюда следует, что и окончательно простейшее уравнение поверхностей IV типа примет вид

V. Поверхности этого типа имеют простейшее уравнение

где, как и в случае IV, Величина К которая является инвариантом для поверхностей V типа, оказывается равной и поэтому Таким образом, простейшее уравнение для поверхностей V типа будет выглядеть так:

4. Кривые второго порядка, как отмечалось в конце предыдущего параграфа (стр. 186), можно разделить на три типа по виду их простейших уравнений. Для кривых III типа

можно доказать, что семиинвариант

является инвариантом. Необходимые и достаточные условия принадлежности кривых к одному из этих трех типов с помощью инвариантов (см. § 1, стр. 181) могут быть сформулированы следующим образом:

Что касается записи простейших уравнений кривых второго порядка этих трех типов через инварианты и семиинвариант (который входит только в простейшее уравнение кривых третьего типа), то она имеет вид

где и - корни уравнения

Доказательство всех этих утверждений для кривых второго порядка мы предоставляем читателю.