§ 4. Дальнейшие свойства кристаллов

1. В § 2 мы рассмотрели некоторые свойства кристаллов. Все они были связаны с воздействием на кристалл некоторой векторной величины, вызывающей в ней эффект, характеризуемый снова векторной величиной. Такие свойства кристаллов описываются тензорами второй валентности. Сейчас мы рассмотрим свойства кристаллов, которые связаны либо с воздействием на кристалл не векторных величин, либо с тем, что эффект, вызываемый в кристалле этим воздействием, характеризуется не векторной величиной.

Самым простым свойством такого рода является тепловое расширение кристалла. При изменении температуры кристалла на величину происходит деформация кристалла, описываемая тензором деформации которая для малых значений пропорциональна изменению температуры. Поэтому должно иметь место соотношение

Так как — скаляр, симметричный тензор второй валентности, то также симметричным тензором второй валентности, который называется тензором теплового расширения. Главные направления тензора называются главными направлениями теплового расширения, а его собственные значения главными коэффициентами расширения. Характеристическая поверхность тензора расширения имеет уравнение

Форма и положение этой поверхности в кристалле, согласно принципу Неймана (стр. 232), связаны с симметрией, которой обладает кристалл.

2. В некоторых кристаллах под действием напряжений возникает электрическая поляризация. Это явление называется прямым пьезоэлектрическим эффектом. Напряжение в кристалле описывается тензором напряжений а электрическая поляризация — вектором Связь между этими величинами при достаточно малых напряжениях оказывается линейной, и поэтому

где — тензор валентности три. Компоненты этого тензора называют пьезоэлектрическими модулями, а сам тензор тензором пьезоэлектрических модулей кристалла. Так как тензор напряжений симметричен относительно индексов и то и тензор будет симметричен по этим индексам, Поэтому он имеет 18 независимых компонент.

Если пьезоэлектрический кристалл помещен в электрическое поле, то его форма меняется в нем возникает деформация. Это явление называется обратным пьезоэлектрическим эффектом. Напряженность электрического поля описывается вектором а деформация кристалла — тензором деформации Так как зависимость между этими величинами при достаточно малых напряжениях Е линейная, она может быть выражена уравнениями

где — тензор валентности три, симметричный по индексам и А. В кристаллофизике доказывается (см., например, [17], стр. 242), что прямой и обратный пьезоэлектрические

эффекты описываются одним и тем же тензором, т. е. что Поэтому связь между напряжением электрического поля и деформацией кристалла записывается в виде

где — снова тензор пьезоэлектрических модулей.

Рассмотрим теперь, как влияет симметрия кристалла на строение тензора Предположим, что кристалл переводится в себя ортогональным преобразованием с матрицей А. В силу принципа Неймана пьезоэлектрические свойства кристалла при этом не изменяются. Произведем преобразование ортонормированного базиса связанного с кристаллом, при помощи матрицы Тогда в новом базисе компоненты тензора пьезоэлектрических модулей должны совпадать с соответствующими компонентами и старом базисе, т. е.

где Но если матрица Г имеет вид то при преобразовании базиса компоненты тензора преобразуются по обычным формулам:

Сравнивая два последних соотношения, найдем условие инвариантности пьезоэлектрических свойств кристалла по отношению к преобразованию А:

Пусть, например, преобразование А представляет собой симметрию кристалла относительно некоторой точки — центра симметрии кристалла. Тогда матрица А имеет вид

и . Поэтому уравнения (3) принимают вид

откуда следует, что . Это означает, что кристалл, обладающий центральной симметрией, не может быть пьезоэлектриком.

Предположим, далее, что кристалл имеет ось симметрии второго порядка, пусть этой осью будет ось Тогда этот кристалл переходит в себя при преобразовании А с матрицей

В этом случае снова и из условия (3) инвариантности тензора получим

Отличными от нуля будут лишь те восемь компонент тензора в которых либо один, либо все три индекса принимают значение 3. Подобным образом можно определить строение тензора для всех кристаллографических классов.

Рассмотрим характеристическую поверхность тензора пьезоэлектрических модулей. Ее уравнение записывается в виде (гл. II, стр. 79)

Выясним, какой физический смысл имеет эта поверхность.

Предположим, что кристалл подвергается однородному растяжению вдоль направления, определяемого единичным вектором Обозначим через а величину нормального напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную этому направлению.

Тогда тензор напряжения этого кристалла имеет вид

(см. упр. 1 на стр. 247). Поэтому уравнение (1) перепишется в форме

Найдем составляющую вектора электрической поляризации кристалла по направлению вектора I. Так как

то эта составляющая определяется но формуле

Но, как мы видели ранее (гл. II, стр. 81),

где — расстояние от начала координат до точки М характеристической поверхности тензора в которой она пересекается с прямой Поэтому

т. е. при растяжений пьезоэлектрического кристалла отношение проекции вектора электрической поляризации на направление растяжения к величине нормального напряжения кристалла равно единице, деленной на куб расстояния от начала координат до лежащей в направлении удлинения точки характеристической поверхности тензора пьезоэлектрических модулей.

Пусть, далее, Е—напряженность электрического поля, в котором находится кристалл, и где I — единичный вектор с координатами Формула (2) теперь имеет вид

Найдем относительное удлинение кристалла в направлении вектора I, которое произойдет в нем под воздействием напряженности Е. Это относительное удлинение, как было показано в § 3 (стр. 244), равно

Поэтому

Пользуясь соотношением (4), мы получим, что

где — расстояние от начала координат до точки характеристической поверхности тензора пьезоэлектрических модулей, лежащей в направлении вектора I.

Заметим, что так как тензор не является симметричным, то его характеристическая поверхность описывает не все свойства этого тензора, а только свойства его симметричной части.

3. В предыдущем параграфе мы рассматривали тензоры напряжения и деформации однородного тела независимо друг от друга. Но обычно напряжения, которые возникают в теле, вызывают его деформацию. Если величины напряжений не превышают некоторых предельных значений, то деформация тела является обратимой, т. е. она исчезает при снятии напряжений. Такая деформация называется упругой. Упругая деформация тела линейно зависит от его напряжений, Так как деформация тела описывается тензором деформации а его напряженное состояние — тензором напряжения то линейная зависимость между этими тензорами может быть записана в ниде

Как следует из теоремы, доказанной в гл. II (стр. 69), входящие в эти соотношения коэффициенты образуют тензор четвертой валентности. Этот тензор называют тензором модулей податливости кристалла.

Так как тензоры симметричны, то и тензор будет симметричным по двум первым и двум последним индексам;

Но в теории упругости показывается например, [17], стр. 52), что тензор обладает еще одной симметрией:

Тензор имеет всего компоненту. Но в силу указанных здесь симметрий число различных из этих компонент значительно уменьшается. Как показывает несложный подсчет, число различных компонент этого тензора в общем случае равно .

Часто вместо уравнений (5) рассматривают выражение тензора деформации через тензор напряжения. Это выражение может быть записано в виде

Входящие сюда коэффициенты также образуют четырехвалентный тензор, который называют тензором модулей упругости. Этот тензор обладает такими же симметриями, как и тензор Тензор является в некотором смысле

обратным тензором для тензора Если подставить выражения тензора по формулам (8) в уравнения (5), то получатся соотношения

Отсюда следует, что

где в правой части этого равенства произведено симметрирование по индексам и I. Здесь

— тензор, симметричный по индексам и и не меняющийся также при перестановке этих пар индексов.

4. Из принципа Неймана (стр. 232) следует, что наличие той или иной симметрии у кристалла влечет за собой соответствующую симметрию его упругих свойств, т. е. приводит к появлению определенных зависимостей между компонентами тензоров и Будем для определенности рассматривать тензор модулей упругости При переходе от базиса к новому базису коэффициенты тензора преобразуются по формулам

Если свойства кристалла относительно обоих рассматриваемых базисов оказываются одинаковыми, то имеют место соотношения

где Сравнивая два предыдущих равенства, мы найдем искомые соотношения между компонентами тензора в виде

где преобразование координат, определяемое матрицей принадлежит точечной группе преобразований кристалла.

Посмотрим, как отразится на строении тензора наличие некоторых элементов симметрии в кристалле. Заметим прежде всего, что наличие центра симметрии не влияет на

строение этого тензора, так как центральная симметрия определяется матрицей подстановка которой в равенства (9) приводит к тождеству. Предположим, далее, что кристалл имеет ось симметрии. Примем эту ось за ось Тогда матрица Г будет иметь вид

вследствие чего равенства (9) запишутся так:

где равно числу единиц или двоек среди индексов . Поэтому обратятся в нуль все те компоненты тензора которых три или один индекс равны трем. В силу условий симметрии (6) и (7) эти равенства могут быть записаны в виде

где индексы принимают только значения Мы имеем здесь 8 независимых соотношений для компонент тензора Следовательно, при наличии оси симметрии тензор модулей упругости имеет только 13 независимых компонент вместо 21 в общем случае.

Покажем теперь, что если тензор допускает симметрию кристалла относительно некоторой оси, то он допускает также его симметрию относительно плоскости, перпендикулярной этой оси. В самом деле, переход к новой системе координат, симметричной исходной относительно плоскости определяется матрицей

и легко проверить, что Но так как тензор инвариантен по отношению к преобразованиям, определяемым матрицами и , то он будет инвариантен и по отношению к произведению этих преобразований.

Очевидно, что справедливым будет и обратное предложение: если тензор допускает симметрию относительно некоторой плоскости, то он допускает симметрию и относительно любой перпендикулярной ей оси. Отсюда вытекает, что если кристалл допускает симметрию относительно плоскости то тензор модулей упругости этого кристалла снова связан восемью соотношениями (10) и имеет только 13 независимых компонент.

Подобным же образом, пользуясь соотношениями (9), можно найти зависимость между компонентами тензора при наличии других элементов симметрии в кристалле и найти эти зависимости для всех кристаллографических систем и классов.

5. Рассмотрим еще вопрос о том, каково будет строение тензора в изотропной среде. Для такой среды уравнения (9) должны выполняться тождественно. Однако эти уравнения содержат четвертые степени величин которые к тому же не являются независимыми, а связаны соотношениями

(гл. I, стр. 34). Поэтому непосредственное их исследование оказывается трудным.

Чтобы облегчить решение задачи, будем считать, что преобразование ортонормированного базиса, определяемое матрицей Г, есть бесконечно малый поворот вокруг некоторой оси. Тогда эта матрица может быть записана в виде

где — матрица, квадратами и произведениями компонент которой мы можем пренебречь. Основное соотношение

которому удовлетворяет ортогональная матрица, теперь может быть переписано в виде

откуда

Отбрасывая в этом равенстве матрицу , компонентами которой будут величины второго порядка малости, мы

получим отсюда, что

т. е. — кососимметричная матрица.

Теперь компоненты матрицы могут быть записаны виде

Подставляя значения этих компонент в равенства (9) и отбрасывая в них величины, порядок малости которых выше первого, получим

Отсюда следуют соотношения

которые должны выполняться тождественно относительно трех независимых компонент матрицы 2. Индексы в этих соотношениях могут принимать независимо друг от друга любые значения из 1, 2, 3. Поэтому число этих соотношений равно Однако в силу условий симметрии (6) и (7), которым удовлетворяет тензор количество этих соотношений снижается до 21. Рассмотрим соотношения (11) для всех возможных значений индексов

а) Пусть Тогда соотношения (11) принимают вид

где только по индексу производится суммирование. Распишем эту сумму подробно, учитывая, что

Здесь мы считаем, что по индексам суммирование не производится, они не равны между собой и представляют некоторую комбинацию из чисел 1, 2, 3. Так как величины независимы, а эти соотношения должны выполняться тождественно, то получпм отсюда, что

б) Пусть Тогда соотношения (11) перепишутся в виде

Расписывая подробно эту сумму, учитывая, что и что выполняются соотношения (12), получим

где снова некоторая комбинация из разных чисел

1, 2, 3 и суммирования по этим индексам нет. Гак как и величины независимы, то отсюда следуют два равенства:

в) Пусть . Тогда соотношения (11) дают

Если записать эту сумму подробно, как было сделано выше для предыдущих случаев, и использовать независимость величин то отсюда получим новые соотношения

где — произвольная комбинация из трех разных чисел 1, 2, 3.

г) При соотношения (11) дадуг

Заметим, что в силу (15) и (16) соотношения (14) удовлетворяются тождественно.

д) Пусть, наконец, Тогда получим

где суммирование производится только по индексу Рассуждения, подобные проведенным выше, показывают, что из этих соотношений следуют равенства

Перепишем (13) в виде

Вычитая эти соотношения из исходных равенств (13) и учитывая, что в силу (17)

получим

Больше никаких соотношений на компоненты тензора получить нельзя, так как мы использовали все независимые соотношения (11), общее число которых, как уже указывалось ранее, равно 21.

Соотношения (17) можно переписать в виде

а соотношения (18) — в виде

Тогда равенства (13) дадут

Таким образом, для изотропной среды тензор имеет всего две независимые компоненты, 9 отличных от нуля компонент, и 15 его компонент равны пулю. Величины X и через которые выражаются компоненты этого тензора, называются коэффициентами Ламе.

Рассмотрим теперь тензор

Он обладает симметриями типа и (7). Непосредственной проверкой легко убедиться, что компоненты этого тензора в точности совпадают с полученными выше значениями компонент тензора Поэтому для изотропной среды тензор модулей упругости может быть записан в виде

Соотношения (8), которые связывают тензор деформации и тензор напряжений в изотропной среде могут быть переписаны так:

Представим деформацию, определяемую тензором виде суммы деформации чистого сдвига и всестороннего сжатия (см. упр. 7 на стр. 248). Тогда

где

Подставляя это разложение в соотношения (19), получим

Коэффициент называют модулем всестороннего сжатия упругой среды, а коэффициент а — модулем сдвига.

Соотношения (19) и (20) позволяют получить обратные формулы, выражающие тензор деформации через тензор напряжений Свертывая соотношения (20) по индексам и у и учитывая, что мы получим

откуда

Подставляя это соотношение в (19), заменим там коэффициент X через и разрешим полученпое соотношение относительно Тогда найдем

Первый член суммы, стоящей в правой части, определяет всестороннее сжатие тела, а второй — его деформацию сдвига.

Последнее соотношение может быть переписано также в форме

Отсюда ясно, что тензор модулей податливости однородной изотропной среды может быть записан в виде

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)